2023-2024学年广东省珠海市斗门区第一中学高一上学期阶段性（11月）考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省珠海市斗门区第一中学高一上学期阶段性（11月）考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用一元二次不等式的解法及对数函数的定义域求得集合M、N，再根据交集的概念计算即可.
【详解】由，所以，
由对数函数的定义域知，即,
所以.
故选：D
2．对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断.
【详解】对于A选项，若或，或显然无意义.故A选项错误；
对于B选项，若，则.故B选项错误；
对于C选项，因为，所以各项同时乘以得.故C正确；
对于D选项，因为，所以，所以，
所以，即.因为根据题意不知道的符号，
所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误.
故选：C.
3．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ）
A．1B．3
C．D．
【答案】D
【分析】由偶函数的性质得列式求解．
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，解得．
故选：D
4．“”是“，为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立求出m的范围，然后可得.
【详解】由“，为真命题”得，解得，
因为必有，反之不成立，
所以“”是“，为真命题”的必要不充分条件.
故选：B
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
【答案】A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
6．若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由分段函数单调性，结合各区间函数的性质列不等式组求参数范围.
【详解】要使在上单调递增，
故在上递增，在上递增，且，
所以.
故选：C
7．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数结合指数幂的运算，利用中间量法即可得出答案.
【详解】，
，
因为，所以，
所以.
故选：D.
8．定义在R上的偶函数满足：对任意的，（），都有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性和单调性作出函数草图，借助图形分段讨论可得.
【详解】因为函数满足对任意的，（），都有，
所以在上单调递减，
又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，作函数的草图如图，
所以，当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当或或时，.
综上，不等式的解集为.
故选：C．

二、多选题
9．在下列四组函数中，与是同一函数的有（ ）
A．B．与
C．与D．
【答案】CD
【分析】根据相同函数的定义域、对应法则都相同判断各项函数是否相同即可.
【详解】A：定义域为R，定义域为，不为同一函数；
B：定义域为或，定义域为，不为同一函数；
C：，，定义域、对应法则都相同，是同一函数；
D：与定义域、对应法则都相同，是同一函数；
故选：CD
10．下列各结论中正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数在定义域内是增函数；
C．命题“”的否定是“”；
D．函数的值域为．
【答案】AD
【分析】A由抽象函数定义域求法判断；B确定的定义域，判断其单调性；C由全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可判断；D由指数复合函数的值域求法求值域.
【详解】A：由题设，则，即的定义域为，对；
B：由定义域为，且在和都递增，但在定义域上不单调，错；
C：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，错；
D：令，故，即的值域为，对.
故选：AD
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．存在最小值，则
C．的单调递减区间为D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据分段函数解析式直接求得函数值可判断AD选项，再根据分段函数的单调性判断方法分别判断BC选项.
【详解】A选项：，，所以，解得，A选项正确；
B选项：当时，，所以，即函数在上的最小值为，
又当时，，所以函数在上单调递减，所以当时，，
所以若函数存在最小值，则，B选项正确；
C选项：在上单调递减，在上单调递减，不能说函数在上单调递减；
D选项：由已知得，所以，
又函数在上的最小值为，
所以，解得，D选项正确；
故选：ABD.
12．若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为9
C．的最小值为D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】根据基本不等式“1”的妙用与逐项判断即可.
【详解】因为，均为正数，且，所以，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以A错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
，
当且仅当，即，时，等号成立，所以C正确；
，
当且仅当，即，时，等号成立，
而，均为正数，故等号不成立，所以D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】由对数复合函数的性质求递增区间即可.
【详解】令，则或，
所以定义域为，
在上递减，上递增，在定义域上递增，
所以在上递增.
故答案为：
14．已知定义在上的奇函数，当时，，则 ；当时，的解析式为 ．
【答案】 0
【分析】由奇函数性质即可确定，应用奇函数性质求时的解析式.
【详解】因为是定义在上的奇函数，故，
令，则，故.
故答案为：0，
15．已知函数（且）的图象恒过定点A，若幂函数的图象也经过该点，则 ．
【答案】
【分析】令，求得，设幂函数，则，从而可得，进而可求解.
【详解】因为函数（且）的图象恒过定点A，
令，得，此时，所以.
设幂函数，则，解得，
所以，则.
故答案为：.
16．已知函数的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】14
【分析】构造，利用奇偶性定义判断为奇函数，结合奇函数的对称性求即可.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，又存在最值，故也存在对应最值，
结合奇函数的对称性知：，
所以.
故答案为：14
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根式以及指数幂的运算法则即可化简求解，
（2）根据对数的运算法则和性质即可求解.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
.
18．已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为．
(1)当时，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）由题知，，再根据集合运算求解即可；
（2）由题知，再分时和时两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）解：要使函数有意义，则，解得，
所以，所以或，
当时，，
所以或．
（2）解：由（1）得，或
因为是的充分条件，则，
①当时，，则，所以；
②当时，，则，所以；
综上所述，实数的取值范围是．
19．某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品．
(1)请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域；
(2)在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？
【答案】(1)
(2)时，利润最大.
【分析】（1）A，B对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可；
（2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值.
【详解】（1）由题意，万元投入A产品，则万元投入B产品，则
，.
（2）由（1）得，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，公司利润最大.
20．已知不等式的解集为．
(1)求m，b的值；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1);
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设的解集为，结合对应方程的根为，应用根与系数关系列方程求参数；
（2）由（1）有，讨论参数a，应用一元二次不等式的解法求对应解集.
【详解】（1）由题设的解集为，
所以是的两个根，且，，
所以，满足，故.
（2）由（1）知：，
当，则，即，解集为；
当，则，
若，则，可得，解集为；
若，则，
当，即时，可得或，解集为；
当，即时，可得，解集为；
当，即时，可得或，解集为；
21．已知函数．
(1)求证：是奇函数；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析.
(2)在上单调递减
(3).
【分析】（1）根据奇函数的定义，先明确函数的定义域，探究与的关系，可得答案；
（2）利用分离常数项整理函数解析式，根据函数单调性的定义，结合作差法以及奇函数的性质，可得答案；
（3）利用奇函数的性质，整理化简不等式，结合单调性，可得答案.
【详解】（1）由函数，则，解得，
所以函数的定义域为，显然其关系原点对称，
，所以函数为奇函数.
（2），取，不妨设，
，
由，则，所以，，
故在上单调递减，由于是奇函数，则在上单调递减.
（3）由不等式，则，
由是奇函数，则，
由，，且在上单调递减，
则，解得.
22．已知函数，.
(1)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围；
（2）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集，列不等式组求解.
【详解】（1）不等式对恒成立，
令，即对恒成立，
因为函数开口向上，则当且仅当，即，解得，
所以的取值范围为.
（2）当时，的图象开口向上，对称轴为，
当时，，，即函数的值域是，
当时，，由对任意，总存在，使成立，
得函数的值域是函数的值域的子集，即，
因此，解得，
所以的取值范围为.