2023-2024学年湖南省永州市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2B．C．D．﹣3
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．1cm，2cm，20cm，40cm
C．4cm，2cm，5cm，3cmD．5cm，10cm，15cm，20cm
4．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定
5．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17B．（x﹣4）2＝17C．（x+4）2＝15D．（x﹣4）2＝15
6．如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（ ）
A．500寸B．450寸C．100寸D．50寸
8．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝⋯＝A2022A2023，过点A1，A2，A3，A4，A5，…，A2022，A2023分别作x轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，…，P2022，P2023，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，…，A2022P2023A2023，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，…，S2023，则S2023的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
9．若＝，则＝ ．
10．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0的一个根，则a的值为 ．
11．已知关于x的方程x2﹣kx+6＝0的两根分别是x1，x2，则x1x2的值是 ．
12．已知点C是线段AB的黄金分割点，AB＝1cm，AC＞BC，则AC＝ ．
13．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
14．反比例函数y＝（x＞0）与正比例函数y＝x的交点坐标为 ．
15．如图：△ABO∽△CDO，若AB＝10，CD＝4，AO＝6，则OC的长为 ．
16．如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，第17、18题每小题5分，第19、20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，共72分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤）
17．解方程：2x2﹣4x+1＝0．
18．已知反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（﹣1，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC边上一点，CD＝2．
求证△ABC∽△DAC．
20．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6cm，点P，Q同时从B，A出发，分别向终点A，C移动，P，Q的速度分别是2cm/s，1cm/s，问经过几秒后，三角形APQ的面积是4cm2？
21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值．
22．如图，已知△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
（1）求证：△ADE∽△EFC；
（2）AD：DB＝2：3，AB＝15，BC＝10，求四边形BDEF的周长．
23．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，3），B（n，2）两点．
（1）求一次函数表达式和反比例函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集；
（3）求△AOB的面积．
24．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．商场为了减少库存开始降价销售，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）在商场日盈利达到2100元时，每件商品应该降价多少元？
（2）若商场要保证每天销售量不少于100件，每件商品最多能盈利多少元？
25．如图，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限内，已知反比例函数（x＞0）的图象经过线段OA的中点D，交直线AB于点C．若△OAB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）若AC＝OB，求点A的坐标．
26．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AB•AE；
（3）MN交AC点O，若＝k，则＝ （直接写答案、用含k的代数式表示）．
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣
【分析】根据反比例函数的定义（形如y＝k为常数，k≠0的函数称为反比例函数）逐一判断即可得答案．
解：A、y＝中，y是x的反比例函数，故该选项符合题意；
B、y＝﹣中，y是x2的反比例函数，故该选项不符合题意；
C、y＝是一次函数，故该选项不符合题意；
D、y＝中，y是x+1的反比例函数，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2B．C．D．﹣3
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．
解：一元二次方程的一次项系数是，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．1cm，2cm，20cm，40cm
C．4cm，2cm，5cm，3cmD．5cm，10cm，15cm，20cm
【分析】理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘时，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等．
解：根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
A，1×4≠2×3，所以四条线段不成比例；
B，1×40＝2×20，四条线段成比例；
C，4×3≠2×5，所以四条线段不成比例；
D，5×20≠10×15，所以四条线段不成比例．
故选：B．
【点评】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义．
4．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出y1，y2的值，然后比较大小即可．
解：∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝3，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17B．（x﹣4）2＝17C．（x+4）2＝15D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6．如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
解：根据题意可得：，∴，
A．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
C．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似．
D．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（ ）
A．500寸B．450寸C．100寸D．50寸
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长＝150寸，标杆长＝15寸，影长＝5寸，
∴，
解得x＝450．
答：竹竿长为450寸，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
8．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝⋯＝A2022A2023，过点A1，A2，A3，A4，A5，…，A2022，A2023分别作x轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，…，P2022，P2023，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，…，A2022P2023A2023，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，…，S2023，则S2023的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数y＝中k的几何意义再结合图象即可解答．
解：∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝|k|，
∴S1＝1，S△OA2P2＝1，
∵OA1＝A1A2，
∴S△OA2P2＝，
同理可得，S2＝S1＝，S3＝S1＝，S4＝S1＝，
以此类推，Sn＝，
∴S2023＝．
故选：C．
【点评】主要考查了反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
9．若＝，则＝ ．
【分析】根据比例设a＝2k，b＝3k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．
解：∵＝，
∴设a＝2k，b＝3k（k≠0），
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．
10．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0的一个根，则a的值为 2 ．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有一个根为2，将x＝2代入方程即可求得a的值．
解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0的一个根，
∴（﹣1）2+3×（﹣1）+a＝0，
解得，a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解得含义．
11．已知关于x的方程x2﹣kx+6＝0的两根分别是x1，x2，则x1x2的值是 6 ．
【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．
解：∵x2﹣kx+6＝0的两根分别是x1，x2，
∴x1x2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查根的系数的关系，解答的关键是熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．已知点C是线段AB的黄金分割点，AB＝1cm，AC＞BC，则AC＝ cm ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝1cm，AC＞BC，
∴AC＝AB＝cm，
故答案为：cm．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 20% ．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2＝16，
解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
14．反比例函数y＝（x＞0）与正比例函数y＝x的交点坐标为 （3，1） ．
【分析】解析式联立成方程组，解方程组即可求得．
解：由解得或，
∵x＞0，
∴反比例函数y＝（x＞0）与正比例函数y＝x的交点坐标为（3，1），
故答案为（3，1）．
【点评】此题考查的是正比例函数和反比例函数的交点问题，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，也是基本的方法，需熟练掌握．
15．如图：△ABO∽△CDO，若AB＝10，CD＝4，AO＝6，则OC的长为 2.4 ．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．
解：∵△ABO∽△CDO，
∴，
∵AB＝10，CD＝4，AO＝6，
∴，
解得：CO＝2.4．
故答案为：2.4．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．
16．如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为 3 ．
【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S△AOD，得到S△EOC，求出k的值．
解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，
∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，
则∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠DAO+∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴＝＝＝tan60°＝，
∴＝（）2＝3，
∵点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD＝×|xy|＝，
∴S△EOC＝，即×OE×CE＝，
∴k＝OE×CE＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE是解题关键．
三、解答题（本大题共10个小题，第17、18题每小题5分，第19、20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，共72分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤）
17．解方程：2x2﹣4x+1＝0．
【分析】先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解：由原方程，得
x2﹣2x＝﹣，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣2x+1＝，
配方，得
（x﹣1）2＝，
直接开平方，得
x﹣1＝±，
x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
18．已知反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）判断点B（﹣1，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）首先利用待定系数法求出k的值；
（2）利用解析式算出当x＝﹣1时，函数的值即可判断．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）．
∴1﹣k＝2×（﹣4），
∴k＝9；
（2）把x＝﹣1代入反比例函数解析式y＝﹣得，y＝8≠5，
所以点B（﹣1，5）不在这个函数的图象上．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点，都能满足解析式．
19．如图，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC边上一点，CD＝2．
求证△ABC∽△DAC．
【分析】由题意可得＝，∠C＝∠C，可得结论．
【解答】证明：∵BC＝8，AC＝4，CD＝2，
∴＝＝2，＝＝2．
∴＝，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
20．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6cm，点P，Q同时从B，A出发，分别向终点A，C移动，P，Q的速度分别是2cm/s，1cm/s，问经过几秒后，三角形APQ的面积是4cm2？
【分析】在Rt△ABC中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可求出AB的长度，过点Q作QM⊥AB于点M，设运动时间为ts，则AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝tcm，QM＝tcm，根据三角形APQ的面积是4cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6cm，
∴AB＝2BC＝2×6＝12（cm）．
过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
设运动时间为ts，则AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝tcm，QM＝AQ＝tcm，
根据题意得：×t•（12﹣2t）＝4，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
答：经过2s或4s后，三角形APQ的面积是4cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及含30度角的直角三角形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1•（m+1）
＝m2+2m+5
＝（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，
又∵x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，
∴[﹣（m+3）]2﹣2（m+1）＝4，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系．
22．如图，已知△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
（1）求证：△ADE∽△EFC；
（2）AD：DB＝2：3，AB＝15，BC＝10，求四边形BDEF的周长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，∠EFC＝∠B，∠ADE＝∠B，等量代换得到∠ADE＝∠EFC，即可求解；
（2）由DE∥BC，EF∥AB，推出四边形BDEF是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE＝BF，BD＝EF，由于△ADE∽△EFC，△ADE∽△ABC，AD：DB＝2：3，得到BD＝9，DE＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，∠EFC＝∠B，∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
（2）解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE＝BF，BD＝EF，
∵△ADE∽△EFC，△ADE∽△ABC，AD：DB＝2：3，
∴AD：AB＝2：5＝DE：BC，
∵AB＝15，BC＝10，
∴AD＝6，BD＝9，DE＝4，
∴四边形BDEF的周长＝2×（BD+DE）＝24．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，3），B（n，2）两点．
（1）求一次函数表达式和反比例函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）将点A（1，3）代入反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B坐标可得直线解析式；
（2）根据图象得出不等式kx+b＜的解集即可；
（3）先求得直线与x轴的交点C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可．
解：（1）把A（1，3）代入，得：m＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
把B（n，2）代入y＝，解得：n＝，
∴B（，2），
把A（1，3）、B（，2）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+5；
（2）观察图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞；
（3）令y＝0，即﹣2x+5＝0，
解得：x＝，
∴C（，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×3﹣×2＝．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、三角形面积等问题，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
24．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．商场为了减少库存开始降价销售，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）在商场日盈利达到2100元时，每件商品应该降价多少元？
（2）若商场要保证每天销售量不少于100件，每件商品最多能盈利多少元？
【分析】（1）利用销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×日销售量列方程即可解得答案；
（2）列出函数关系式，根据一次函数性质即可得到答案．
解：（1）设每件商品降价m元时，商场日盈利可达到2100元，
根据题意得：（50﹣m）（30+2m）＝2100，
解得m＝15或m＝20，
∵为了尽快减少库存，
∴销量尽可能大，m取20，
答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元；
（2）设每件商品降价x元，每件商品盈利为y元，
则y＝50﹣x，
∵商场要保证每天销售量不少于100件，
∴30+2x≥100，
解得：x≥35，
∵﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝35时，y最大，最大值为15，
∴商场要保证每天销售量不少于100件，每件商品最多能盈利15元．
【点评】本题考查一元二次方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．
25．如图，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限内，已知反比例函数（x＞0）的图象经过线段OA的中点D，交直线AB于点C．若△OAB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）若AC＝OB，求点A的坐标．
【分析】（1）设点D的坐标为（m，），则点A的坐标为（2m，），由△OAB的面积为6即可得到×2m×＝6，求得k＝3；
（2）表示出点C的纵坐标为，AC＝＝，由AC＝OB，求得，即可求得点A的坐标为（3，4）．
解：（1）设点D的坐标为（m，），
∵点D是OA的中点，
∴点A的坐标为（2m，），即OB＝2m，AB＝．
∵△OAB的面积为6，
∴×2m×＝6，
∴k＝3；
（2）由（1）可知，双曲线的解析式为：，
∵点C是AB和双曲线的交点，
∴点C的纵坐标为，
∴AC＝＝，
由AC＝OB，得：，
解得：或（舍去），
∴点A的坐标为（3，4）．
【点评】本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确表示出点C的坐标是解题的关键．
26．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AB•AE；
（3）MN交AC点O，若＝k，则＝ （直接写答案、用含k的代数式表示）．
【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；
（2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AM2＝AE•AC，再根据AC＝AB可得结论；
（3）过点M作MF∥AB交AC于点F，设BM＝a，由＝k，BM＝a，BC＝（k+1）a，再根据可得答案．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN．
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM•AN＝AC•AE，
∵AN＝AM，AC＝AB，
∴AM2＝AB•AE；
（3）＝．
理由：如图，过点M作MF∥AB交AC于点F，
设BM＝a，
∵＝k，
∴BM＝a，BC＝（k+1）a，
即ND＝BM＝a，AB＝CD＝BC＝（k+1）a，
∵MF∥AB∥CD，
∴，
∴MF＝ka，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BAM∽△FAO是解本题的关键．