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2023-2024学年湖南省永州市新田县云梯学校九年级（上）入学数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省永州市新田县云梯学校九年级（上）入学数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，四象限的是，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖南省永州市新田县云梯学校九年级第一学期入学数学试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
3．下列反比例函数图象一定在二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣2
5．下列各组种的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm
6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．上述结论中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
7．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象交于点（m，﹣4），则对于不等式kx﹣b＜﹣2x，下列说法正确的是（ ）
A．当k＜﹣2时，x＞2 B．当k＜﹣2时，x＜2
C．当k＞﹣2且k≠0时，x＞﹣2 D．当k＞﹣2且k≠0时，x＜﹣2
8．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
10．若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝ ．
11．关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则a＝ ．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．
14．已知方程3x2﹣9x+m＝0的一个根是1，则m的值是 ，另一根为 ．
15．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标为（12，6），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边BC、AB于点D、E，连接DE，△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上时，则k的值为 ．
三、解答题（共72分，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分、24、25各10分）
16．反比例函数的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）请判断点B（1，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
17．解下列方程：
（1）2x2+4x﹣6＝0（用配方法）；
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．
19．如图，已知直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+b交于点A（1，2），直线l2与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）将线段OA沿直线y＝ax折叠，点A恰好落在点F（2，m）处，求a的值．【提示：已知A（x1，y1），B（x1，y1），则线段AB的中点坐标为．
20．某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时进行了抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 名学生，并补全频数分布直方图；
（2）n＝ ；
（3）若该中学共有1000名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数．
21．如图，已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）判断四边形AEFB的形状并求它的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC＝15°，求AC的长．
22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
23．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
24．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，AD＝5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE上BP，P为垂足，PE交DC于点E．
（1）△ABP和△DPE是否相似？请说明理由；
（2）设AP＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；
（4）请你探索在点P的运动过程中，△BPE能否构成等腰三角形？如果能．求出AP的长；如果不能，请说明理由．
参考答案
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A．是中心对称图形；
B．不是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、ax2+bx+c＝0当a＝0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、+＝2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．下列反比例函数图象一定在二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的图象和性质解答即可．
解：A．反比例函数中﹣k不一定小于零，故A选项不符合题意；
B．反比例函数中﹣（k+1）不一定小于零，故B选项不符合题意；
C．反比例函数中﹣（k2+1）一定小于零，故C选项符合题意；
D．反比例函数中﹣（k﹣1）不一定小于零，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数，当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
4．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣2
【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．
解：方程x2﹣4x+2＝0，
变形得：x2﹣4x＝﹣2，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．下列各组种的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．上述结论中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【分析】只要证明△ADE≌△ADF，推出AE＝EF，DE＝DF，推出AD垂直平分线段EF，即可判定②③正确，利用勾股定理即可判定④正确，①不一定成立故错误．
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，故②正确，
∵∠EAF＝90°时，∠EAF＝∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确，
∵AE2+DF2＝EO2+AO2+OD2+OF2，
DE2+AF2＝OE2+OD2+OA2+OF2，
∴AE2+DF2＝AF2+DE2，故④正确，
∵AD垂直平分EF，EF不一定垂直平分AD，故①错误，
故选：D．
【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象交于点（m，﹣4），则对于不等式kx﹣b＜﹣2x，下列说法正确的是（ ）
A．当k＜﹣2时，x＞2 B．当k＜﹣2时，x＜2
C．当k＞﹣2且k≠0时，x＞﹣2 D．当k＞﹣2且k≠0时，x＜﹣2
【分析】先求出m的值，再求出y＝kx﹣b和y＝﹣2x的图象的交点，最后根据k值的取值范围，分类讨论，结合图象解决问题．
解：由题知，
点（m，4）在y＝﹣2x的图象上，
则﹣2m＝﹣4，m＝2．
故交点坐标为（2，﹣4）．
又y＝﹣2x得图象关于坐标原点中心对称，
且y＝kx+b和y＝kx﹣b的图象也关于坐标原点中心对称．
所以y＝kx﹣b和y＝﹣2x的图象交点坐标为（﹣2，4）．
则将点（﹣2，4）代入y＝kx﹣b得 b＝﹣2k﹣4．
所以y＝kx+2k+4．
（1）当，即﹣2＜k＜0时，
如图所示 图象在直线x＝﹣2左侧部分满足不等关系kx﹣b＜﹣2x．
则得出此时x的取值范围是：x＜﹣2．
（2）当，即k＜﹣2时，
如图所示 图象在直线x＝﹣2右侧部分满足不等关系kx﹣b＜﹣2x．
则得出此时x的取值范围是：x＞﹣2．
（3）当k＞0时．
如图所示 图象在直线x＝﹣2左侧部分满足不等关系kx﹣b＜﹣2x．
则得出此时x的取值范围是：x＜﹣2．
综上所述 x的取值范围是：
当k＞﹣2且k≠0时，x＜﹣2．
当k＜﹣2时，x＞﹣2．
因此此题的答案为：C．
故答案为：C．
【点评】本题考查了一次函数和一元一次不等式，以及用数形结合、分类的数学思想解决问题．
8．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
解：由题意得：E、M、D位于反比例函数的图象上，
则S△OCE＝|k|，S△OAD＝|k|．
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG＝|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO＝4S矩形ONMG＝4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则k+k+9＝4k，
解得：k＝3．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；
②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
③由根与系数的关系，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，变形得出﹣＝＝+，＝＝•，即可得出方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④利用求根公式，可得出x0＝，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
解：①∵a+b+c＝0，
∴当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＝0，
∴x＝1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故说法①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故说法②错误；
③∵若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴﹣＝＝+，＝＝•，
∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，，故说法③正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴x0＝，
∴±＝2ax0+b，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故说法④正确．
∴正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
10．若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝ ﹣2 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
解：由题意，得
b＝﹣3，a﹣2+a＝0，
解得a＝1，
a+b＝﹣3+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11．关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则a＝ ﹣ ．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且Δ＝12﹣4（a+1）＝0，然后解关于a的方程即可．
解：根据题意得a+1≠0且Δ＝12﹣4（a+1）＝0，
解得a＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 4 ．
【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝3，根据线段的和差即可得到结论．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．
【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．
解：∵AC＝8，BD＝6，
∴BO＝3，AO＝4，
∴AB＝5．
AO•BO＝AB•OH，
OH＝．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．
14．已知方程3x2﹣9x+m＝0的一个根是1，则m的值是 6 ，另一根为 2 ．
【分析】欲求m，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值．
解：设方程的另一根为x1，
又∵x＝1，
∴，
解得．
故答案为：6，2．
【点评】本题考查一元二次方程的解，正确列出方程组是解题关键．
15．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标为（12，6），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边BC、AB于点D、E，连接DE，△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上时，则k的值为 27 ．
【分析】由于四边形是矩形OABC，且△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上，可得△DGF∽△FAE，然后把D和E点坐标表示出来，再由三角形相似对应边成比例即可求出AF的长．然后利用勾股定理求出k＝27．
解：过点D作DG⊥OA垂足为G（如图所示）
由题意知D（，6），E（12，），DG＝6
又∵△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上
∴DF＝DB，∠B＝∠DFE＝90°
∵∠DGF＝∠FAE＝90°，∠DFG+∠EFA＝90°
又∵∠EFA+∠FEA＝90°
∴∠GDF＝∠EFA
∴△DGF∽△FAE
∴＝，即，
解得：AF＝3，
∵EF2＝EA2+AF2
即＝（）2+9
解得：k＝27
故答案为：27
【点评】本题主要利用图形的对称，三角形相似及反比例函数的性质来解决问题．把各个边的长表示来，再利用勾股定理即可解决．
三、解答题（共72分，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分、24、25各10分）
16．反比例函数的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）请判断点B（1，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）先把A点的坐标代入反比例函数y＝中，求出k，即可求出函数解析式；
（2）再把B点的横坐标代入反比例函数的解析式，可求出y，若y的值与B点的纵坐标相等，则说明B在函数的图象上，否则就不在函数图象上．
解：（1）把（2，3）代入y＝中得
3＝，
∴k＝6，
∴函数的解析式是y＝；
（2）把x＝1代入y＝中得y＝6，
∴点B在此函数的图象上．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征．此题比较容易掌握．
17．解下列方程：
（1）2x2+4x﹣6＝0（用配方法）；
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）2x2+4x﹣6＝0，
x2+2x＝3，
x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x1＝1，x2＝﹣3．
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
∴x1＝3，x2＝．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解答此类问题的关键是根据方程的特点，选取合适的方法解方程．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）依据轴对称的性质，即可得到A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）∵A（﹣3，4），B（﹣4，1），
∴A″（3，4），B″（4，1）．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的作法以及坐标性质点的距离求法和关于坐标轴对称的点的坐标特点，灵活应用关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
19．如图，已知直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+b交于点A（1，2），直线l2与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）将线段OA沿直线y＝ax折叠，点A恰好落在点F（2，m）处，求a的值．【提示：已知A（x1，y1），B（x1，y1），则线段AB的中点坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线l2的解析式；
（2）连接AF交折痕所在的直线于点P，连接OF，由折叠的性质可知：OA＝OF，点P为AF的中点，由OA＝OF可求出m的值，进而可得出点F，P的坐标，再利用待定系数法即可求出k值．
解：（1）∵直线l2：y＝kx+b过点A（1，2），点B（3，0），
∴，解得，
∴直线的解析式为l2：y＝﹣x+3．
（2）连接AF交折痕所在的直线于点P，连接OF，如图2所示．
由折叠的性质，可知：OA＝OF，点P为AF的中点．
∴OA2＝OF2，
∵A（1，2），F（2，m），
∴12+22＝22+m2，
解得：m＝±1．
当m＝1时，点F的坐标为（2，1），点P的坐标为（，），
∵点P（，）在直线y＝kx上，
∴，
解得：k＝1；
当m＝﹣1时，点F的坐标为（2，﹣1），点P的坐标为（，），
∵点P（，）在直线y＝kx上，
∴，解得：k＝．
综上可知：k的值为1或．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、折叠的性质以及勾股定理的应用等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时进行了抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 50 名学生，并补全频数分布直方图；
（2）n＝ 144 ；
（3）若该中学共有1000名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数．
【分析】（1）根据0.5小时的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，求得1.5小时的人数，从而可以将直方图补充完整；
（2）根据（1）中的结果和直方图中的数据，求出1小时的人数所占比例，进而求出所对的圆心角度数；
（3）根据统计图中的数据可以估计出该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数．
解：（1）10÷20%＝50，
50﹣10﹣20﹣8＝12，
频数分布直方图：
，
故答案为：50；
（2）∵，
∴n＝144；
（3）（人），
答：估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数为160人．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）判断四边形AEFB的形状并求它的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC＝15°，求AC的长．
【分析】（1）根据平移的性质知CA＝AE＝BF且BF∥CE、S△ABC＝S△EFA，据此证四边形AEFB是平行四边形得S△ABC＝S△ABF，继而可得答案；
（2）证四边形AEFB是菱形即可得；
（3）作BD⊥AC，由∠BEC＝15°且AB＝AE得∠BAD＝30°，结合AB＝AC可得BD＝AB＝AC，根据AC•BD＝3可得答案．
解：（1）∵△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA，
∴CA＝AE＝BF，且BF∥CE，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴S△ABC＝S△ABF＝S△EFA＝3，
∴四边形AEFB的面积为6；
（2）由（1）知CA＝AE＝BF，
∵AB＝AC，
∴AB＝AE＝BF，
由平移的性质可知△ABC≌△EFA，
∴EF＝AB，
∴AB＝AE＝BF＝EF，
∴四边形AEFB是菱形，
∴AF⊥BE；
（3）如图，作BD⊥AC于点D，
∵∠BEC＝15°，且AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEC＝15°，
∴∠BAD＝30°，
在Rt△ABD中，BD＝AB，
又∵AB＝AC，
∴BD＝AC，
∵AC•BD＝3，
∴AC•AC＝3，
则AC＝2．
【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形与菱形的判定与性质及直角三角形的性质．
22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
解：（1）设每次降价的百分率为x．
40×（1﹣x）2＝32.4
x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率10%；
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得
（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，
解得：y1＝1.5，y2＝2.5，
∵有利于减少库存，
∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
23．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝×3×|n+1|，S△BDP＝×1×|3﹣n|，进而建立方程求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．
解：（1）∵直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，
∴﹣a+2＝3，﹣3+2＝b，
∴a＝﹣1，b＝﹣1，
∴A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∵点A（﹣1，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）设点P（n，﹣n+2），
∵A（﹣1，3），
∴C（﹣1，0），
∵B（3，﹣1），
∴D（3，0），
∴S△ACP＝AC×|xP﹣xA|＝×3×|n+1|，S△BDP＝BD×|xB﹣xP|＝×1×|3﹣n|，
∵S△ACP＝S△BDP，
∴×3×|n+1|＝×1×|3﹣n|，
∴n＝0或n＝﹣3，
∴P（0，2）或（﹣3，5）；
（3）设M（m，0）（m＞0），
∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝（3+1）2+（﹣1﹣3）2＝32，
∵△MAB是等腰三角形，
∴①当MA＝MB时，
∴（m+1）2+9＝（m﹣3）2+1，
∴m＝0，（舍）
②当MA＝AB时，
∴（m+1）2+9＝32，
∴m＝﹣1+或m＝﹣1﹣（舍），
∴M（﹣1+，0）
③当MB＝AB时，（m﹣3）2+1＝32，
∴m＝3+或m＝3﹣（舍），
∴M（3+，0）
即：满足条件的M（﹣1+，0）或（3+，0）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
24．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，AD＝5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE上BP，P为垂足，PE交DC于点E．
（1）△ABP和△DPE是否相似？请说明理由；
（2）设AP＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；
（4）请你探索在点P的运动过程中，△BPE能否构成等腰三角形？如果能．求出AP的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）△ABP和△DPE是相似的，∵∠A＝∠D＝90°，而∠BPE＝90°，根据这两个条件可以证明它们相似；
（2）根据（1）得到，根据这个结论就可以求出y与x之间的函数关系式；
（3）能构成矩形，∵四边形ABED已经是直角梯形，若AB＝DE它就是矩形，根据这个条件和（2）中函数关系式可以求出AP长；
（4）能构成等腰三角形，当AP＝DE时，△ABP≌△DPE，这样可以得到BP＝PE，此时△BPE为等腰三角形，然后根据函数关系式就可以求出AP长．
解：（1）△ABP∽△DPE．
（2）由（1）△ABP∽△DPE，
∴∴，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜5）．
（3）能构成矩形．
当DE＝AB＝2时，∵AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABED为矩形．
由（2）有﹣x2+x＝2．x1＝1，x2＝4．
∴当AP＝1或AP＝4时，ABED是矩形．
（4）能构成等腰三角形．
当AP＝DE时，△ABP≌△DPE，此时△BPE为等腰三角形．（1O分）
即﹣x2+x＝x．解之得x1＝3，x2＝0（舍去）．
即AP＝3时，△BPE是等腰三角形（答等腰直角三角形同样正确）．
【点评】此题把相似三角形的判定与性质和梯形结合起来，综合性比较强，还利用了函数中求自变量和函数值解题
2023-2024学年湖南省永州市新田县云梯学校九年级第一学期入学数学试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
3．下列反比例函数图象一定在二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣2
5．下列各组种的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm
6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．上述结论中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
7．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象交于点（m，﹣4），则对于不等式kx﹣b＜﹣2x，下列说法正确的是（ ）
A．当k＜﹣2时，x＞2 B．当k＜﹣2时，x＜2
C．当k＞﹣2且k≠0时，x＞﹣2 D．当k＞﹣2且k≠0时，x＜﹣2
8．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
10．若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝ ．
11．关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则a＝ ．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．
14．已知方程3x2﹣9x+m＝0的一个根是1，则m的值是 ，另一根为 ．
15．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标为（12，6），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边BC、AB于点D、E，连接DE，△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上时，则k的值为 ．
三、解答题（共72分，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分、24、25各10分）
16．反比例函数的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）请判断点B（1，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
17．解下列方程：
（1）2x2+4x﹣6＝0（用配方法）；
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．
19．如图，已知直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+b交于点A（1，2），直线l2与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）将线段OA沿直线y＝ax折叠，点A恰好落在点F（2，m）处，求a的值．【提示：已知A（x1，y1），B（x1，y1），则线段AB的中点坐标为．
20．某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时进行了抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 名学生，并补全频数分布直方图；
（2）n＝ ；
（3）若该中学共有1000名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数．
21．如图，已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）判断四边形AEFB的形状并求它的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC＝15°，求AC的长．
22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
23．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
24．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，AD＝5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE上BP，P为垂足，PE交DC于点E．
（1）△ABP和△DPE是否相似？请说明理由；
（2）设AP＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；
（4）请你探索在点P的运动过程中，△BPE能否构成等腰三角形？如果能．求出AP的长；如果不能，请说明理由．
参考答案
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A．是中心对称图形；
B．不是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、ax2+bx+c＝0当a＝0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、+＝2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．下列反比例函数图象一定在二、四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的图象和性质解答即可．
解：A．反比例函数中﹣k不一定小于零，故A选项不符合题意；
B．反比例函数中﹣（k+1）不一定小于零，故B选项不符合题意；
C．反比例函数中﹣（k2+1）一定小于零，故C选项符合题意；
D．反比例函数中﹣（k﹣1）不一定小于零，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数，当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
4．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣2
【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．
解：方程x2﹣4x+2＝0，
变形得：x2﹣4x＝﹣2，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．下列各组种的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．上述结论中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【分析】只要证明△ADE≌△ADF，推出AE＝EF，DE＝DF，推出AD垂直平分线段EF，即可判定②③正确，利用勾股定理即可判定④正确，①不一定成立故错误．
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，故②正确，
∵∠EAF＝90°时，∠EAF＝∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确，
∵AE2+DF2＝EO2+AO2+OD2+OF2，
DE2+AF2＝OE2+OD2+OA2+OF2，
∴AE2+DF2＝AF2+DE2，故④正确，
∵AD垂直平分EF，EF不一定垂直平分AD，故①错误，
故选：D．
【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象交于点（m，﹣4），则对于不等式kx﹣b＜﹣2x，下列说法正确的是（ ）
A．当k＜﹣2时，x＞2 B．当k＜﹣2时，x＜2
C．当k＞﹣2且k≠0时，x＞﹣2 D．当k＞﹣2且k≠0时，x＜﹣2
【分析】先求出m的值，再求出y＝kx﹣b和y＝﹣2x的图象的交点，最后根据k值的取值范围，分类讨论，结合图象解决问题．
解：由题知，
点（m，4）在y＝﹣2x的图象上，
则﹣2m＝﹣4，m＝2．
故交点坐标为（2，﹣4）．
又y＝﹣2x得图象关于坐标原点中心对称，
且y＝kx+b和y＝kx﹣b的图象也关于坐标原点中心对称．
所以y＝kx﹣b和y＝﹣2x的图象交点坐标为（﹣2，4）．
则将点（﹣2，4）代入y＝kx﹣b得 b＝﹣2k﹣4．
所以y＝kx+2k+4．
（1）当，即﹣2＜k＜0时，
如图所示 图象在直线x＝﹣2左侧部分满足不等关系kx﹣b＜﹣2x．
则得出此时x的取值范围是：x＜﹣2．
（2）当，即k＜﹣2时，
如图所示 图象在直线x＝﹣2右侧部分满足不等关系kx﹣b＜﹣2x．
则得出此时x的取值范围是：x＞﹣2．
（3）当k＞0时．
如图所示 图象在直线x＝﹣2左侧部分满足不等关系kx﹣b＜﹣2x．
则得出此时x的取值范围是：x＜﹣2．
综上所述 x的取值范围是：
当k＞﹣2且k≠0时，x＜﹣2．
当k＜﹣2时，x＞﹣2．
因此此题的答案为：C．
故答案为：C．
【点评】本题考查了一次函数和一元一次不等式，以及用数形结合、分类的数学思想解决问题．
8．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
解：由题意得：E、M、D位于反比例函数的图象上，
则S△OCE＝|k|，S△OAD＝|k|．
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG＝|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO＝4S矩形ONMG＝4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则k+k+9＝4k，
解得：k＝3．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；
②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
③由根与系数的关系，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，变形得出﹣＝＝+，＝＝•，即可得出方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④利用求根公式，可得出x0＝，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
解：①∵a+b+c＝0，
∴当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＝0，
∴x＝1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故说法①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故说法②错误；
③∵若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴﹣＝＝+，＝＝•，
∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，，故说法③正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴x0＝，
∴±＝2ax0+b，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故说法④正确．
∴正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
10．若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝ ﹣2 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
解：由题意，得
b＝﹣3，a﹣2+a＝0，
解得a＝1，
a+b＝﹣3+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11．关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则a＝ ﹣ ．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且Δ＝12﹣4（a+1）＝0，然后解关于a的方程即可．
解：根据题意得a+1≠0且Δ＝12﹣4（a+1）＝0，
解得a＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 4 ．
【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝3，根据线段的和差即可得到结论．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．
【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．
解：∵AC＝8，BD＝6，
∴BO＝3，AO＝4，
∴AB＝5．
AO•BO＝AB•OH，
OH＝．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．
14．已知方程3x2﹣9x+m＝0的一个根是1，则m的值是 6 ，另一根为 2 ．
【分析】欲求m，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值．
解：设方程的另一根为x1，
又∵x＝1，
∴，
解得．
故答案为：6，2．
【点评】本题考查一元二次方程的解，正确列出方程组是解题关键．
15．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标为（12，6），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边BC、AB于点D、E，连接DE，△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上时，则k的值为 27 ．
【分析】由于四边形是矩形OABC，且△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上，可得△DGF∽△FAE，然后把D和E点坐标表示出来，再由三角形相似对应边成比例即可求出AF的长．然后利用勾股定理求出k＝27．
解：过点D作DG⊥OA垂足为G（如图所示）
由题意知D（，6），E（12，），DG＝6
又∵△DEF与△DEB关于直线DE对称．当点F正好落在边OA上
∴DF＝DB，∠B＝∠DFE＝90°
∵∠DGF＝∠FAE＝90°，∠DFG+∠EFA＝90°
又∵∠EFA+∠FEA＝90°
∴∠GDF＝∠EFA
∴△DGF∽△FAE
∴＝，即，
解得：AF＝3，
∵EF2＝EA2+AF2
即＝（）2+9
解得：k＝27
故答案为：27
【点评】本题主要利用图形的对称，三角形相似及反比例函数的性质来解决问题．把各个边的长表示来，再利用勾股定理即可解决．
三、解答题（共72分，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分、24、25各10分）
16．反比例函数的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）请判断点B（1，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）先把A点的坐标代入反比例函数y＝中，求出k，即可求出函数解析式；
（2）再把B点的横坐标代入反比例函数的解析式，可求出y，若y的值与B点的纵坐标相等，则说明B在函数的图象上，否则就不在函数图象上．
解：（1）把（2，3）代入y＝中得
3＝，
∴k＝6，
∴函数的解析式是y＝；
（2）把x＝1代入y＝中得y＝6，
∴点B在此函数的图象上．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征．此题比较容易掌握．
17．解下列方程：
（1）2x2+4x﹣6＝0（用配方法）；
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）2x2+4x﹣6＝0，
x2+2x＝3，
x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x1＝1，x2＝﹣3．
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
∴x1＝3，x2＝．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解答此类问题的关键是根据方程的特点，选取合适的方法解方程．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）依据轴对称的性质，即可得到A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）∵A（﹣3，4），B（﹣4，1），
∴A″（3，4），B″（4，1）．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的作法以及坐标性质点的距离求法和关于坐标轴对称的点的坐标特点，灵活应用关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
19．如图，已知直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+b交于点A（1，2），直线l2与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）将线段OA沿直线y＝ax折叠，点A恰好落在点F（2，m）处，求a的值．【提示：已知A（x1，y1），B（x1，y1），则线段AB的中点坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线l2的解析式；
（2）连接AF交折痕所在的直线于点P，连接OF，由折叠的性质可知：OA＝OF，点P为AF的中点，由OA＝OF可求出m的值，进而可得出点F，P的坐标，再利用待定系数法即可求出k值．
解：（1）∵直线l2：y＝kx+b过点A（1，2），点B（3，0），
∴，解得，
∴直线的解析式为l2：y＝﹣x+3．
（2）连接AF交折痕所在的直线于点P，连接OF，如图2所示．
由折叠的性质，可知：OA＝OF，点P为AF的中点．
∴OA2＝OF2，
∵A（1，2），F（2，m），
∴12+22＝22+m2，
解得：m＝±1．
当m＝1时，点F的坐标为（2，1），点P的坐标为（，），
∵点P（，）在直线y＝kx上，
∴，
解得：k＝1；
当m＝﹣1时，点F的坐标为（2，﹣1），点P的坐标为（，），
∵点P（，）在直线y＝kx上，
∴，解得：k＝．
综上可知：k的值为1或．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、折叠的性质以及勾股定理的应用等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时进行了抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 50 名学生，并补全频数分布直方图；
（2）n＝ 144 ；
（3）若该中学共有1000名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数．
【分析】（1）根据0.5小时的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，求得1.5小时的人数，从而可以将直方图补充完整；
（2）根据（1）中的结果和直方图中的数据，求出1小时的人数所占比例，进而求出所对的圆心角度数；
（3）根据统计图中的数据可以估计出该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数．
解：（1）10÷20%＝50，
50﹣10﹣20﹣8＝12，
频数分布直方图：
，
故答案为：50；
（2）∵，
∴n＝144；
（3）（人），
答：估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数为160人．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）判断四边形AEFB的形状并求它的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC＝15°，求AC的长．
【分析】（1）根据平移的性质知CA＝AE＝BF且BF∥CE、S△ABC＝S△EFA，据此证四边形AEFB是平行四边形得S△ABC＝S△ABF，继而可得答案；
（2）证四边形AEFB是菱形即可得；
（3）作BD⊥AC，由∠BEC＝15°且AB＝AE得∠BAD＝30°，结合AB＝AC可得BD＝AB＝AC，根据AC•BD＝3可得答案．
解：（1）∵△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA，
∴CA＝AE＝BF，且BF∥CE，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴S△ABC＝S△ABF＝S△EFA＝3，
∴四边形AEFB的面积为6；
（2）由（1）知CA＝AE＝BF，
∵AB＝AC，
∴AB＝AE＝BF，
由平移的性质可知△ABC≌△EFA，
∴EF＝AB，
∴AB＝AE＝BF＝EF，
∴四边形AEFB是菱形，
∴AF⊥BE；
（3）如图，作BD⊥AC于点D，
∵∠BEC＝15°，且AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEC＝15°，
∴∠BAD＝30°，
在Rt△ABD中，BD＝AB，
又∵AB＝AC，
∴BD＝AC，
∵AC•BD＝3，
∴AC•AC＝3，
则AC＝2．
【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形与菱形的判定与性质及直角三角形的性质．
22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
解：（1）设每次降价的百分率为x．
40×（1﹣x）2＝32.4
x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率10%；
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得
（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，
解得：y1＝1.5，y2＝2.5，
∵有利于减少库存，
∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
23．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝×3×|n+1|，S△BDP＝×1×|3﹣n|，进而建立方程求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．
解：（1）∵直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，
∴﹣a+2＝3，﹣3+2＝b，
∴a＝﹣1，b＝﹣1，
∴A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∵点A（﹣1，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）设点P（n，﹣n+2），
∵A（﹣1，3），
∴C（﹣1，0），
∵B（3，﹣1），
∴D（3，0），
∴S△ACP＝AC×|xP﹣xA|＝×3×|n+1|，S△BDP＝BD×|xB﹣xP|＝×1×|3﹣n|，
∵S△ACP＝S△BDP，
∴×3×|n+1|＝×1×|3﹣n|，
∴n＝0或n＝﹣3，
∴P（0，2）或（﹣3，5）；
（3）设M（m，0）（m＞0），
∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝（3+1）2+（﹣1﹣3）2＝32，
∵△MAB是等腰三角形，
∴①当MA＝MB时，
∴（m+1）2+9＝（m﹣3）2+1，
∴m＝0，（舍）
②当MA＝AB时，
∴（m+1）2+9＝32，
∴m＝﹣1+或m＝﹣1﹣（舍），
∴M（﹣1+，0）
③当MB＝AB时，（m﹣3）2+1＝32，
∴m＝3+或m＝3﹣（舍），
∴M（3+，0）
即：满足条件的M（﹣1+，0）或（3+，0）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
24．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，AD＝5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE上BP，P为垂足，PE交DC于点E．
（1）△ABP和△DPE是否相似？请说明理由；
（2）设AP＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；
（4）请你探索在点P的运动过程中，△BPE能否构成等腰三角形？如果能．求出AP的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）△ABP和△DPE是相似的，∵∠A＝∠D＝90°，而∠BPE＝90°，根据这两个条件可以证明它们相似；
（2）根据（1）得到，根据这个结论就可以求出y与x之间的函数关系式；
（3）能构成矩形，∵四边形ABED已经是直角梯形，若AB＝DE它就是矩形，根据这个条件和（2）中函数关系式可以求出AP长；
（4）能构成等腰三角形，当AP＝DE时，△ABP≌△DPE，这样可以得到BP＝PE，此时△BPE为等腰三角形，然后根据函数关系式就可以求出AP长．
解：（1）△ABP∽△DPE．
（2）由（1）△ABP∽△DPE，
∴∴，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜5）．
（3）能构成矩形．
当DE＝AB＝2时，∵AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABED为矩形．
由（2）有﹣x2+x＝2．x1＝1，x2＝4．
∴当AP＝1或AP＝4时，ABED是矩形．
（4）能构成等腰三角形．
当AP＝DE时，△ABP≌△DPE，此时△BPE为等腰三角形．（1O分）
即﹣x2+x＝x．解之得x1＝3，x2＝0（舍去）．
即AP＝3时，△BPE是等腰三角形（答等腰直角三角形同样正确）．
【点评】此题把相似三角形的判定与性质和梯形结合起来，综合性比较强，还利用了函数中求自变量和函数值解题
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