2023-2024学年湖南省永州市零陵区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市零陵区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列式子中，是分式的是（ ）
A．B．C．﹣D．
2．以下列各组线段长为边能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．2cm，4cm，6cm
C．4cm，6cm，8cmD．5cm，6cm，12cm
3．科学家在实验中检测出新型冠状病毒直径约为0.000000018米．将数0.000000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣6B．1.8×10﹣8C．1.8×10﹣7D．18×10﹣7
4．下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．不变C．缩小2倍D．缩小4倍
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．同角的余角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．三角形的内角和为180°
D．同旁内角互补
7．一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
8．如图，张叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．垂线段最短D．对顶角相等
9．如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（ ）
A．AB＝DEB．∠ACB＝∠DCEC．∠ACD＝∠BCED．∠B＝∠E
10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．恒成立的结论有（ ）
A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．化简：6a6÷3a3＝ ．
12．化简：＝ ．
13．如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝110°，则∠C＝ ．
14．如图，△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D．若AC+BC＝10cm，则△DBC的周长为 ．
15．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 ．
16．如图，已知∠AOB＝a，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，⋯，∠An+1BnBn+1＝θn，则θ2022﹣θ2021＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
17．计算：
（1）计算：（π﹣4）0+2﹣2﹣（﹣1）2022；
（2）（﹣3a﹣2b）2÷a﹣3b﹣2．
18．解分式方程：
（1）+＝；
（2）﹣＝．
19．先化简，再求值：
，其中x＝﹣2022．
20．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作：不写作法，保留作图痕迹．
21．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
22．如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，且AB＝DF，BE＝CF，∠B＝∠F．
求证：AC∥DE．
23．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
24．阅读下列材料：
x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；
x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；
x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；
x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；
…
（1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程x+＝c+的解，并验证你的结论．
（2）利用这个结论解关于x的方程：．
25．已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数；
（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①∠AEB的度数为 °；
②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由）
参考答案
一、单选题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上．每小题3分，共30分）
1．下列式子中，是分式的是（ ）
A．B．C．﹣D．
【分析】利用分式定义可得答案．
解：A、是分式，故此选项符合题意；
B、不是分式，是整式，故此选项不合题意；
C、﹣不是分式，是整式，故此选项不合题意；
D、+y不是分式，是整式，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
2．以下列各组线段长为边能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．2cm，4cm，6cm
C．4cm，6cm，8cmD．5cm，6cm，12cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，不能组成三角形，故本选项错误；
B、2+4＝6，不能够组成三角形，故本选项错误；
C、6﹣4＜8＜4+6，能组成三角形，故本选项正确；
D、5+6＜12，不能组成三角形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．科学家在实验中检测出新型冠状病毒直径约为0.000000018米．将数0.000000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣6B．1.8×10﹣8C．1.8×10﹣7D．18×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000018＝1.8×10﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幂的方式来表示，科学记数法表示数时要注意其指数是正指数、还是负指数．
4．下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据将每个选项的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分化简，如果无法继续进行化简则选项是最简分式，如果可以继续化简，则选项是最简分式．
解：A、无法继续化简，故是最简分式，不符合题意；
B、无法继续化简，故是最简分式，不符合题意；
C、，可以继续化简，故不是最简分式，符合题意；
D、无法继续化简，故是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式的化简，最简二次根式，因式分解，能够熟练的运用因式分解将分式进行化简是解决本题的关键．
5．若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．不变C．缩小2倍D．缩小4倍
【分析】用2x、2y去代替分式中的x、y，进行计算即可．
解：分别用2x、2y去代替分式中的x、y，得
＝＝．
分式的值不变，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．同角的余角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．三角形的内角和为180°
D．同旁内角互补
【分析】利用互余的定义、平行线的性质、三角形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、三角形的内角和为180°，正确，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
7．一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．
解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，
则x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
∴这个三角形一定是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
8．如图，张叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．垂线段最短D．对顶角相等
【分析】利用三角形的稳定性解答即可．
解：张叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是三角形的稳定性，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
9．如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（ ）
A．AB＝DEB．∠ACB＝∠DCEC．∠ACD＝∠BCED．∠B＝∠E
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．AB＝DE，AC＝DC，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
B．AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCB＝∠BCE+∠DCB，
即∠ACB＝∠DCE，
AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
D．AC＝DC，BC＝EC，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．恒成立的结论有（ ）
A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，加之∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP＝BQ；故③正确；
②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
④根据∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE＝∠DEO，于是∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°，可知⑤正确．
解：①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠DEC＝∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
故①正确；
③∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ；
故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC＝QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正确；
④∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE；
故④错误；
⑤∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵等边△DCE，
∠EDC＝60°＝∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE＝∠DEO，
∴∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°．
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤．
故选：C．
【点评】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．化简：6a6÷3a3＝ 2a3 ．
【分析】单项式除以单项式就是将系数除以系数作为结果的系数，相同字母除以相同字母作为结果的一个因式即可．
解：6a6÷3a3
＝（6÷3）（a6÷a3）
＝2a3．
故答案为：2a3．
【点评】本题考查了整式的除法，解题的关键是牢记整式的除法的运算法则．
12．化简：＝ x+y ．
【分析】同分母相减，分母不变，分子相减，要利用平方差公式化为最简分式．
解：＝＝x+y．
【点评】本题考查了分式的加减法法则．
13．如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝110°，则∠C＝ 70° ．
【分析】由∠CBD是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠C的度数．
解：∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝110°﹣40°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
14．如图，△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D．若AC+BC＝10cm，则△DBC的周长为 10cm ．
【分析】根据线段垂直平分线性质知，DA＝DB．△DBC的周长＝BC+BD+DC＝BC+DA+DC＝BC+AC．
解：∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB．
∴△DBC的周长＝BC+BD+DC
＝BC+DA+DC＝BC+AC＝10cm．
故答案为：10cm．
【点评】此题考查了线段垂直平分线性质，内容单一，属基础题．
15．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 50°或130° ．
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为130°．
解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°；
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故答案为：50°或130°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键．
16．如图，已知∠AOB＝a，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，⋯，∠An+1BnBn+1＝θn，则θ2022﹣θ2021＝ ．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等用α表示出∠A1B1O，再利用平角的定义列式用α表示出θ1，再用θ1表示θ2，并求出θ2﹣θ1．以此类推求出θ3﹣θ2，•••，θ2022﹣θ2021，即可得出结论．
解：∵OA1＝OB1，∠AOB＝α，
∴∠A1B1O＝（180°﹣α），
∴（180°﹣α）+θ1＝180°，
∴θ1＝，
∵B1B2＝B1A2，∠A2B1B2＝θ1，
∴∠A2B2B1＝（180°﹣θ1），
∴（180°﹣θ1）+θ2＝180°，
整理得：θ2＝＝，
∴θ2﹣θ1＝﹣＝，
同理可求：θ3＝＝，
∴θ3﹣θ2＝﹣＝
•••，
以此类推，θ2022﹣θ2021＝．
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
17．计算：
（1）计算：（π﹣4）0+2﹣2﹣（﹣1）2022；
（2）（﹣3a﹣2b）2÷a﹣3b﹣2．
【分析】（1）先根据实数指数幂的性质进行乘方计算，再利用加减法则进行计算即可；
（2）先根据积的乘方法则计算乘方，再利用单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可．
解：（1）原式＝1+﹣1
＝；
（2）原式＝9a﹣4b2÷a﹣3b﹣2
＝9a﹣1b4
＝．
【点评】本题主要考查了实数的有关计算和整式的除法运算，解题关键是熟练掌握实数指数幂的性质、单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则．
18．解分式方程：
（1）+＝；
（2）﹣＝．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：4+3（x+3）＝7，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解；
（2）去分母得：2（x+2）﹣4＝x﹣2，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是增根，
则分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．先化简，再求值：
，其中x＝﹣2022．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣2022时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
20．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作：不写作法，保留作图痕迹．
【分析】根据垂直平分线的性质得出，连接AB，作AB的垂直平分线，连接BC，作BC的垂直平分线，两线交于P，则P点即是所求答案．
解：已知：A村、B村、C村，
求作：新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．
如图所示：
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
21．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
【点评】此题主要是三角形内角和定理的运用．
三角形的内角和是180°．
22．如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，且AB＝DF，BE＝CF，∠B＝∠F．
求证：AC∥DE．
【分析】证明△ABC≌△DFE（SAS），得出∠ACB＝∠DEF即可解决问题．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACB＝∠DEF，
∴AC∥DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价，可求出第一次及第二次购进干果的数量，再利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出结论．
解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克1.2x元，
依题意得：＝2×+300，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）第一次购进3000÷5＝600（千克），
第二次购进9000÷（1.2×5）＝1500（千克）．
9×（600+1500﹣600）+9×0.8×600﹣3000﹣9000
＝9×1500+9×0.8×600﹣3000﹣9000
＝13500+4320﹣3000﹣9000
＝5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．阅读下列材料：
x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；
x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；
x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；
x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；
…
（1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程x+＝c+的解，并验证你的结论．
（2）利用这个结论解关于x的方程：．
【分析】根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得答案．
解：（1）猜想方程x+＝c+的解是x1＝c，．
验证：当x＝c时，方程x+＝c+成立，当x＝时，方程x+＝c+成立；
（2）变形为（x﹣1）+＝（a﹣1）+，
x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝
∴x＝a或x＝．
【点评】本题考查了解分式方程，观察等式发现规律是解题关键．
25．已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数；
（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①∠AEB的度数为 90 °；
②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为 AE＝BE+2CM ．（直接写出答案，不需要说明理由）
【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD＝BE；
（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC＝120°，从而可以求出∠AEB的度数；
（3）①首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，据此判断出∠ACD＝∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；②根据DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，可得CM＝DM＝EM，所以DE＝DM+EM＝2CM，据此判断出AE＝BE+2CM．
解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°；
（3）①如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180﹣45＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
故答案为：90；
②如图2，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，
∴CM＝DM＝EM，
∴DE＝DM+EM＝2CM，
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴BE＝AD，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM，
故答案为：AE＝BE+2CM．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．