高中2.2 基本不等式第二课时同步练习题

这是一份高中2.2 基本不等式第二课时同步练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知函数（），当时，y取得最小值b，则( )
A.B.2C.3D.8
2、已知，，且，，则的最小值是( )
A.0B.1C.2D.4
3、已知正实数a，b，且，则的最小值是( )
A.2B.C.D.
4、已知正实数x、y满足，则的最小值为( )
A.B.2C.D.
5、若，则在
①，
②，
③，
④，
这四个不等式中，不正确的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
6、已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.或D.或
7、若实数m，，满足，以下选项中正确的有( )
A.的最小值为B.的最小值为
C.的最小值为D.的最小值为
8、若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为( )
A.B.3C.D.1
二、多项选择题
9、已知，，，则( )
A.的最大值为B.的最小值为
C.的最大值为D.的最小值为9
10、下列说法正确的有( )
A.若，则的最大值是
B.若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3
C.若，，，则的最小值是2
D.若实数x，y满足，则的最小值是
11、已知、，，则下列说法正确的是( )
A.，B.的最小值为8
C.的最小值为3D.的最小值为4
12、已知正实数x，y满足，则( )
A.B.的最小值为
C.的最小值为9D.的最小值为
三、填空题
13、设，，且，则的最小值为_________.
14、若，则的最大值是_________.
15、对任意m，n为正实数，都有，则实数a的最大值为_________.
16、某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米元，中间一条隔壁建造单价为每米元，池底建造单价每平方米元（池壁厚忽略不计）.则泳池的长设计为_________米时，可使总造价最低.
四、解答题
17、已知正数a、b满足.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值.
18、已知，.
（1）若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数m的最小值；
（3）若.且恒成立，求正实数a的最小值.
19、如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为x m，宽为y m.
（1）若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30 m，求的最小值.
20、已知a，b，c为正数，且满足.证明：
（1）；
（2）.
21、已知a，b，c均为正实数.
（1）求证：.
（2）若，证明：.
22、已知，，，求证：
（1）；
（2）.
参考答案
1、答案：C
解析：因为，所以，，
所以，
当且仅当即时，取等号，所以y的最小值为1，
所以，，所以，故选：C.
2、答案：D
解析：因为，，
所以，
当且仅当，即取等.故选：D.
3、答案：C
解析：因为正实数a，b，，故，
所以，
故，
当且仅当，时取得等号，故选：C.
4、答案：C
解析：因为正实数x、y满足，等式两边同乘以可得，
所以，，
因为，解得，当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.故选：C.
5、答案：B
解析：因为，
对于①中，由，当且仅当时，等号成立，所以①正确；
对于②中，由，当且仅当时，等号成立，
所以，所以②不正确；
对于③中，由不等式，可得，
两边同除，可得成立，所以③成立；
对于④，由，
可得，即，所以成立，所以④正确.
故选：B.
6、答案：B
解析：，当且仅当时等号成立，
解得，即.因为不等式恒成立，
所以，即，解得.故选：B.
7、答案：D
解析：实数m，，，
整理得，当且仅当时取“=”，故选项A错误；
（，
当且仅当时取“=”，故选项B错误；
，，
，当且仅当时取“=”，
但已知，故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，，
，当且仅当时取“=”，故选项D正确，
故选：D.
8、答案：C
解析：∵不等式对任意正数a，b恒成立，
∴（，）恒成立，
∵，
当且仅当且，即时等号成立.∴.故选：C.
9、答案：ABD
解析：因为，，，
所以，即，，当且仅当时等号成立，则A，B正确.
，当时取得最大值，则C错误.
，当且仅当时等号成立，则D正确.
故选：ABD.
10、答案：AB
解析：对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所的最大值为，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，所以，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，因为，所以x，y同号，则s，t同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，当且仅当时，等号成立，故D错误.
故选：AB.
11、答案：ABD
解析：因为，所以且，可得.
又且，可得，故A正确；
，即，当且仅当，时等号成立，故B正确；
因为，所以.
所以，
当且仅当，时等号成立，故C错；
将代入，可得，
当且仅当时等号成立，此时，故D正确.
故选：ABD.
12、答案：AC
解析：因为，则，即，
又x，y为正实数，则，所以，，故A项正确；
因为，所以，
又，所以，故B项错误；
因为，且x，y为正实数，即，则，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，故C项正确；
因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误.
故选：AC.
13、答案：
解析：因为，，，
所以.
当且仅当，且，即时，等号成立.
所以，的最小值为.
14、答案：
解析：因为，因为，所以，
所以，
当且仅当即时取得等号，所以，
所以当时的最大值是，
15、答案：
解析：因为对任意m，n为正实数，都有，
所以恒成立，也即，
因为（当且仅当时，也即时等号成立）
所以，则实数a的最大值为.
16、答案：15
解析：设泳池的长为x米，则宽为米，
总造价
（元），
当且仅当，即时等号成立.
即泳池的长设计为米时，可使总造价最低.
17、答案：（1）9
（2）
解析：（1）因为，所以，又因为a、b是正数，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9；
（2）因为且a、b为正数，
所以，，所以，，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为.
18、答案：（1）
（2）-4
（3）4
解析：（1），，
恒成立等价于恒成立.又，
，
当且仅当，即，即，时等号成立.
，.
（2），，
恒成立等价于恒成立.
又，
当且仅当，即时取等号，
，即.
实数m的最小值为-4.
（3），，
，
当且仅当，即时等号成立.
又恒成立，，
或（舍去），.
故正实数a的最小值为4.
19、答案：（1）菜园的长x为12 m，宽y为6 m时，可使所用篱笆总长最小
（2）
解析：（1）由已知可得，而篱笆总长为.
又，
当且仅当，即，时等号成立.
菜园的长x为12 m，宽y为6 m时，可使所用篱笆总长最小.
（2）由已知得，
又，
，当且仅当，即，时等号成立.
的最小值是.
20、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1），
，，
当且仅当时，等号成立，因为a，b，c为正数，且满足，
，
，即.
（2），
，
当且仅当，，时，上式等号成立.
21、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为a，b，c均为正实数，
所以（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），
所以（当且仅当时等号成立），
即（当且仅当时等号成立）.
（2）由题可得，
则左边
，
当且仅当，，，，即时取“=”.
故成立.
22、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因，，，
于是得：，
当且仅当，即时等号成立，所以.
（2）因，，，则，，
因此，，
当且仅当，即时等号成立，所以.