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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品随堂练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品随堂练习题，文件包含第02讲22基本不等式精讲精练原卷版docx、第02讲22基本不等式精讲精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
知识点三：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
题型01对基本不等式的理解
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是4
B．若且，则
C．若，则的最小值为3
D．函数的最大值为0
【变式1】（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型02由基本不等式比较大小
【典例1】（多选）（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（ ）
A．B． C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号)
①；②；③；④.
【变式1】（多选）（2022秋·广东汕头·高一汕头市聿怀中学校考期中）若．且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
题型03由基本不等式证明不等关系
【典例1】（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知是实数.
(1)求证：，并指出等号成立的条件；
(2)若，求的最小值.
【典例2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，证明：.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
题型04利用基本不等式求积的最大值
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习），的最大值为_________.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为________.
题型05利用基本不等式求和的最小值
【典例1】（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．4D．9
【典例2】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值为______
题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值
【典例1】（2022·高一课时练习）已知，则的最小值为___________.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________.
题型07利用基本不等式求条件等式求最值
【典例1】（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
【变式1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
题型08基本不等式中的恒成立问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·高三课时练习）若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤－2或m≥2B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4D．－2＜m＜2
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型09基本不等式的应用
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.
【典例2】（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
【变式1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为（ ）
A．20mB．50mC．mD．100m
题型10对钩函数
【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）“”是“函数的最小值大于4”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______．
【变式1】（2023秋·江西吉安·高一江西省万安中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最大值4C．有最小值D．有最大值
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数取得的最小值时，的值为___________．
题型11重点方法之凑配法
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．0C．4D．8
【典例2】（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则的取值范围是__________，的最小值为__________．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）当时， 的最小值为10，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．－2B．0C．1D．
题型12重点方法之换元法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________.
【典例2】（2023·江西·高一宁冈中学校考阶段练习）的最大值为______.
题型13重点方法之“1”的妙用法
【典例1】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【典例2】（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数满足恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________.
【变式1】（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________；
题型14重点方法之消元法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为__________.
【典例2】（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________．
【变式1】（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知，且，则的最小值为___________.
题型15易错题之忽视基本不等式中的“一正”
【典例1】（多选）（2023秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（ ）
A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4
B．由于， 所以
C．由于，故最小值为2
D．由于，所以，故最大值为
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为________.
题型16易错题之忽视基本不等式中的“三相等”
【典例1】（2023·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·江西赣州·高三校联考期中）下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
题型17易错题之换元必换范围
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
2.2基本不等式
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·全国·高一专题练习）已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若两个正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
5．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）实数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
二、多选题
9．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
10．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段上任取一点（不含端点A，B），使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知（），则的最大值是________.
12．（2023·高一单元测试）若，则的最大值是______．
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
14．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最值，已知，求的最小值；
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，为正实数，且，则下列选项错误的是（ ）
A．的最大值为2B．的最小值为4
C．的最小值为3D．的最小值为
2．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
3．（多选）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）下列结论中，正确的是（ ）
A．若，，则的最小值为8
B．若，则函数的最小值为
C．已知正数a，b满足，则
D．已知，，且，则
4．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为__________.
5．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．
6．（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，求函数的最大值.
（2）已知，求函数的最大值.
C综合素养
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克B．小于克
C．大于等于克D．小于等于克
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）北京时间年月日凌晨，瑞典哥德堡田径室内赛展开多个项目角逐，在男子米比赛中，“中国飞人”苏炳添以秒夺冠，取得新赛季开门红．本站赛事是苏炳添的个人新赛季首秀，岁的他是名参赛者中年龄最大的选手，与他同场竞技的还有年出生的选手，这极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为、、．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
课程标准
学习目标
①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。
②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明.
知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
知识点三：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
题型01对基本不等式的理解
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是4
B．若且，则
C．若，则的最小值为3
D．函数的最大值为0
【变式1】（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型02由基本不等式比较大小
【典例1】（多选）（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（ ）
A．B． C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号)
①；②；③；④.
【变式1】（多选）（2022秋·广东汕头·高一汕头市聿怀中学校考期中）若．且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
题型03由基本不等式证明不等关系
【典例1】（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知是实数.
(1)求证：，并指出等号成立的条件；
(2)若，求的最小值.
【典例2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，证明：.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
题型04利用基本不等式求积的最大值
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习），的最大值为_________.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为________.
题型05利用基本不等式求和的最小值
【典例1】（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．4D．9
【典例2】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值为______
题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值
【典例1】（2022·高一课时练习）已知，则的最小值为___________.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________.
题型07利用基本不等式求条件等式求最值
【典例1】（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
【变式1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
题型08基本不等式中的恒成立问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·高三课时练习）若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤－2或m≥2B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4D．－2＜m＜2
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型09基本不等式的应用
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.
【典例2】（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
【变式1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为（ ）
A．20mB．50mC．mD．100m
题型10对钩函数
【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）“”是“函数的最小值大于4”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______．
【变式1】（2023秋·江西吉安·高一江西省万安中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最大值4C．有最小值D．有最大值
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数取得的最小值时，的值为___________．
题型11重点方法之凑配法
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．0C．4D．8
【典例2】（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则的取值范围是__________，的最小值为__________．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）当时， 的最小值为10，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．－2B．0C．1D．
题型12重点方法之换元法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________.
【典例2】（2023·江西·高一宁冈中学校考阶段练习）的最大值为______.
题型13重点方法之“1”的妙用法
【典例1】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【典例2】（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数满足恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________.
【变式1】（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________；
题型14重点方法之消元法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为__________.
【典例2】（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________．
【变式1】（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知，且，则的最小值为___________.
题型15易错题之忽视基本不等式中的“一正”
【典例1】（多选）（2023秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（ ）
A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4
B．由于， 所以
C．由于，故最小值为2
D．由于，所以，故最大值为
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为________.
题型16易错题之忽视基本不等式中的“三相等”
【典例1】（2023·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·江西赣州·高三校联考期中）下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
题型17易错题之换元必换范围
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
2.2基本不等式
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·全国·高一专题练习）已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若两个正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
5．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）实数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
二、多选题
9．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
10．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段上任取一点（不含端点A，B），使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知（），则的最大值是________.
12．（2023·高一单元测试）若，则的最大值是______．
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
14．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最值，已知，求的最小值；
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，为正实数，且，则下列选项错误的是（ ）
A．的最大值为2B．的最小值为4
C．的最小值为3D．的最小值为
2．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
3．（多选）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）下列结论中，正确的是（ ）
A．若，，则的最小值为8
B．若，则函数的最小值为
C．已知正数a，b满足，则
D．已知，，且，则
4．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为__________.
5．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．
6．（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，求函数的最大值.
（2）已知，求函数的最大值.
C综合素养
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克B．小于克
C．大于等于克D．小于等于克
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）北京时间年月日凌晨，瑞典哥德堡田径室内赛展开多个项目角逐，在男子米比赛中，“中国飞人”苏炳添以秒夺冠，取得新赛季开门红．本站赛事是苏炳添的个人新赛季首秀，岁的他是名参赛者中年龄最大的选手，与他同场竞技的还有年出生的选手，这极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为、、．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
课程标准
学习目标
①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。
②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明.
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