苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题11数字类规律探索(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题11数字类规律探索(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了阅读探究，先阅读下列材料，然后解答问题，找规律，观察下面三行单项式，观察下列等式，1+3=22等内容，欢迎下载使用。

1．阅读探究：，，，…
(1)根据上述规律，小亮发现，求出___________．
(2)小聪继续又发现：
，求出___________．
(3)若，请运用小聪的方法求和的值
2．先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）．
例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20
（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？
（2）探索发现：
计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ．
由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）
（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+．
3．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
4．观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．
5．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
（1）按这个规律，当m＝6时，和S为 ；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝ ．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②1002+1004+1006+…+1100
③1+3+5+7+…+99
6．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框柱5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用，，，，表示．
（1）若，则______．
（2）直接写出，，，，的和与之间的一个等量关系：______．
（3）设，判断的值能否等于2035？若能，请求出框内5个数，若不能，请说明理由．
7．观察下列等式
，，
将以上三个等式两边分别相加得
（1）猜想并写出：__________．
（2）利用你的结论计算：；
（3）直接写出下列式子的结果：___________．
8．1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
……
（1）按照此规律，写出第5个等式；
（2）按照此规律，写出第（为正整数）个等式；
（3）利用（2）中写出的等式，求101+103+105+……+295+297+299的值．
9．观察下列等式
（1）
（2）
（3）
（4）
…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第个等式（用含有的代数式表示）；
（3）设是正整数且，应用你发现的规律，化简：．
10．如图1，在的九个格子中填入个数字， 当每行、每列及每条对角线的个数字之和都相等时，我们把这张图称之为九宫归位图:
（1）若，这个数也能构成九宫归位图， 则此时每行、每列及每条对角线的个数字之和都为 ；
（2）如图2.在这张九宫归位图中，只填入了个数，请将剩余的个数直接填入表2中；(用含的代数式分别表示这个数)
（3）如图3，在这张九宫归位图中，只填入了个数，请你求出右上角“”所表示的数值.
11．将正整数1至2019按照一定规律排成下表：
记aij表示第i行第j个数，如a14＝4表示第1行第4个数是4．
（1）直接写出a35＝ ，a54＝ ；
（2）①若aij＝2019，那么i＝ ，j＝ ，②用i，j表示aij＝ ；
（3）将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和能否等于2026．若能， 求出这5个数中的最小数，若不能请说明理由．
12．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如:2的差倒数是，现已知a1=，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)根据(1)的计算结果，请猜想并写出a2016•a2017•a2018的值；
(3)计算：a33+a66+a99+…+a9999的值．
13．任何一个整数 ，可以用一个多项式来表示：
．
例如：．已知 是一个三位数．
（1）为 ．
（2）小明猜想：“ 与 的差一定是 的倍数”, 请你帮助小明说明理由．
（3）在一次游戏中，小明算出 ，，， 与 这 个数和是 ，请你求出 这个三位数．
14．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数. 例如：， .试探索：
（1）_____,_____；
（2） _____；
（3）_____.
15．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
(1)按这个规律，当m=10时，和为__；
(2)从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：________________________________________．
(3)应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②108+210+212+…+300
16．（1）观察下列各式：
根据你发现的规律回答下列问题：
①的个位数字是___________；的个位数字是___________；
②的个位数字是___________；的个位数字是___________；
（2）自主探究回答问题：
①的个位数字是___________，的个位数字是___________；
②的个位数字是___________，的个位数字是___________．
（3）若n是自然数，则的个位上的数字（ ）
A．恒为0 B．有时为0，有时非0 C．与n的末位数字相同 D．无法确定
17．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式：
(1)当有5张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐___________人．
(2)当有n张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐____________人．
(3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？
18．将奇数1至2021按照顺序排成下表：
记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．
（1）P43＝ ；
（2）若Pmn＝2021，推理m＝ ；n＝ ；
（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100．若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．
（4）用m、n的代数式表示Pmn＝ ．
加数m的个数
和S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6
专题11 数字类规律探索
1．阅读探究：，，，…
(1)根据上述规律，小亮发现，求出___________．
(2)小聪继续又发现：
，求出___________．
(3)若，请运用小聪的方法求和的值
【答案】(1)6
(2)7
(3)，
【分析】（1）根据阅读材料，发现规律即可求解；
（2）根据阅读材料，发现规律即可；
（3）把A变形为，根据阅读材料所得规律即可计算．
(1)
解：∵，，，
∴，
∴
故答案为：6
(2)
解：∵，
，
∴，
∴.
故答案为：7
(3)
解：∵，
∴
∵，
∴，.
【点睛】本题考查了规律型−数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料．
2．先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）．
例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20
（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？
（2）探索发现：
计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ．
由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）
（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+．
【答案】（1）56种；（2）3，1，4，10，5，15；Ckn+∁nk+1＝Cn+1k+1；（3）165
【分析】（1）根据材料给出组合的方法直接计算即可；
（2）根据新定义分别进行计算；利用计算结果得∵+=，+＝，由此规律可得+=， ；
（3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可．
【详解】解：（1）根据公式＝＝56，
答：共有56种选法．
（2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15，
∵+＝3+1＝4=，
+＝10+5=15=，
∴+=，
故答案为3；1；4；10；5；15；
（3）++++…+，
＝+++…+，
＝++…+，
＝，
＝，
＝165．
【点睛】本题考查组合新定义计算，有理数的乘除法混合计算，掌握新定义的计算方法与性质，有理数的乘除法混合计算法则是解题关键．
3．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
【答案】（1）；；（2）1622600；（3）
【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；
（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；
（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题．
【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；
13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；
（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）
＝
＝1622600；
（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）
＝23×＝．
【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率．
4．观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】（1）观察第①行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（2）分别观察第②行和第③行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（3）先计算整式的加减进行化简，再将x的值代入即可得．
【详解】（1）第①行的第1个单项式为，
第①行的第2个单项式为，
第①行的第3个单项式为，
第①行的第4个单项式为，
归纳类推得：第①行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第①行的第8个单项式为，
故答案为：；
（2）第②行的第1个单项式为，
第②行的第2个单项式为，
第②行的第3个单项式为，
第②行的第4个单项式为，
归纳类推得：第②行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第②行的第9个单项式为，
第③行的第1个单项式为，
第③行的第2个单项式为，
第③行的第3个单项式为，
第③行的第4个单项式为，
归纳类推得：第③行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第③行的第10个单项式为，
故答案为：，；
（3）由题意得：，
当时，，
，
，
则，
，
．
【点睛】本题考查了单项式的规律型问题、整式的化简求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
5．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
（1）按这个规律，当m＝6时，和S为 ；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝ ．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②1002+1004+1006+…+1100
③1+3+5+7+…+99
【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③．
【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
（2）根据表格归纳类推出一般规律即可得；
（3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
②利用的值减去的值即可得；
③将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得．
【详解】（1）根据规律得：当时，和，
故答案为：42；
（2）由表可知，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
归纳类推得：，
故答案为：；
（3）①，
，
；
②，
，
，
，
，
；
③，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
6．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框柱5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用，，，，表示．
（1）若，则______．
（2）直接写出，，，，的和与之间的一个等量关系：______．
（3）设，判断的值能否等于2035？若能，请求出框内5个数，若不能，请说明理由．
【答案】（1）68；（2）；（3）不能等于2035，详见解析
【分析】（1）由x=17可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论；
（2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论；
（3）根据M=5x，代入2010求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值不能等于2010．
【详解】（1）∵
∴，，，
∴；
（2）∵观察图片可知，比小，比小，比大，比大
∴，，，；
∴
∴；
（3）不能等于2035，理由如下：
∵，
∴，
当时，，
∵407为奇数，，所以2035在第34行第6列
∴的值不能等于2035
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键．
7．观察下列等式
，，
将以上三个等式两边分别相加得
（1）猜想并写出：__________．
（2）利用你的结论计算：；
（3）直接写出下列式子的结果：___________．
【答案】(1);(2);(3) .
【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果
【详解】解：（1）猜想得；
（2）
＝
＝
(3)根据(2)的结论可得: ．
【点睛】本题考查了观察代数式找规律和有理数的混合运算，发现规律和掌握运算法则是解本题的关键．
8．1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
……
（1）按照此规律，写出第5个等式；
（2）按照此规律，写出第（为正整数）个等式；
（3）利用（2）中写出的等式，求101+103+105+……+295+297+299的值．
【答案】（1）1+3+5+7+9+11=62 ；（2）1+3+5+……+（2n+1）=（n+1）2 ；（3）20000
【分析】（1）根据连续奇数的和等于数字个数的平方，即可完成解答；
（2）根据连续奇数的和等于数字个数的平方，即可完成解答；
(3)运用（2）所得的规律解答即可.
【详解】解：（1）经观察可以发现连续奇数的和等于数字个数的平方，则第五个等式为：1+3+5+7+9+11=62；
（2）根据（1）发现的规律，可归纳（为正整数）个等式为：1+3+5+……+（2n+1）=（n+1）2 ；
（3）101+103+105+……+295+297+299
＝1+3+5+…+299-（1+3+5+…+99）
=1502-502
=20000
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键在于得出连续奇数的和等于数字个数的平方.
9．观察下列等式
（1）
（2）
（3）
（4）
…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第个等式（用含有的代数式表示）；
（3）设是正整数且，应用你发现的规律，化简：．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）由题意可知从1开始的连续整数的立方和等于最后两个整数的平方积的，据此进行分析即可得出答案；
（2）由题意直接根据从1开始的连续整数的立方和等于最后两个整数的平方积的，这一规律即可求得；
（3）利用所得规律将原式变为
，据此进行计算可得．
【详解】解：（1）第5个等式为，
故答案为：.
（2）第个等式为；
（3）
.
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知条件推出规律.
10．如图1，在的九个格子中填入个数字， 当每行、每列及每条对角线的个数字之和都相等时，我们把这张图称之为九宫归位图:
（1）若，这个数也能构成九宫归位图， 则此时每行、每列及每条对角线的个数字之和都为 ；
（2）如图2.在这张九宫归位图中，只填入了个数，请将剩余的个数直接填入表2中；(用含的代数式分别表示这个数)
（3）如图3，在这张九宫归位图中，只填入了个数，请你求出右上角“”所表示的数值.
【答案】（1）6；（2）详见解析；（3）1.
【分析】（1）根据题意可知，数字2肯定在中间位置，其余两个格子的数之和为4，即可得到答案；
（2）由图可知，设是9个数中最大的数，根据规律，即可得到答案；
（3）设右上角“”所表示的数值为，设空格中相应位置的数为，然后根据每行、每列、每对角线的和相等，即可求出答案.
【详解】解：（1）在，这9个数中，
∴2在中间，其余两个格子的数之和为4，
∴此时每行、每列及每条对角线的个数字之和都为：；
故答案为：6.
（2）设是9个数中最大的数，则中间的数为，
∴其余各数如图：
（3）如图，设右上角“”所表示的数值为，设空格中相应位置的数为，
由题意可得：，
可得：，
∴，
解得：.
∴右上角“”所表示的数值为1.
【点睛】本题考查了有理数的加法，以及九宫归位图的定义，解题的关键是根据九宫归位图的规律进行列式计算．
11．将正整数1至2019按照一定规律排成下表：
记aij表示第i行第j个数，如a14＝4表示第1行第4个数是4．
（1）直接写出a35＝ ，a54＝ ；
（2）①若aij＝2019，那么i＝ ，j＝ ，②用i，j表示aij＝ ；
（3）将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和能否等于2026．若能， 求出这5个数中的最小数，若不能请说明理由．
【答案】（1）23，40；（2）①225，3；②9（i﹣1）+j；或者9 i﹣9+j；（3）不能等于2026，见解析.
【分析】(1)根据表格直接得出即可.
(2)①根据每行由小到大排列8个数,用2019除以8,根据除数与余数即可求值.
②根据表格数据排列规律即可.
(3)设5个数最小的为x,用含x的代数式分别表示出其他4个数,根据求和等式列出方程,解出即可.
【详解】解：（1）a35＝23，a54＝40;
（2） ①∵2019÷9＝224…3，
∴2019是第225行的第3个数，
∴i＝225，j＝3．
故答案为225，3；
②根据题意，可得aij＝9（i﹣1）+j．
故答案为9（i﹣1）+j；或者9i-9+j
（3）设这5个数中的最小数为x，则其余4个数可表示为x+4，x+10，x+12， x+20，
根据题意，得x+x+4+x+10+x+12+x+20＝2026，
解得x＝396．
∵396÷9＝44，
∴396是第44行的第9个数，
而此时x+4＝400是第45行的第4个数，与396不在同一行，
∴将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和不能等于2026．
【点睛】本题为新定义的类型题,读懂题意根据规定计算是解题关键.
12．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如:2的差倒数是，现已知a1=，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)根据(1)的计算结果，请猜想并写出a2016•a2017•a2018的值；
(3)计算：a33+a66+a99+…+a9999的值．
【答案】（1）a2=2，a3=-1，a4=
（2）a2016•a2017•a2018= -1
（3）a33+a66+a99+…+a9999=-1
【分析】(1)将a1=代入中即可求出a2，再将a2代入求出a3，同样求出a4即可.
(2)从（1）的计算结果可以看出，从a1开始，每三个数一循环，而2016÷3=672，则a2016=-1,a2017= ,a2018=2然后计算a2016•a2017•a2018的值；
(3)观察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，将-1代入，即可求出结果.
【详解】（1）将a1=，代入，得 ；
将a2=2，代入，得；
将a3=-1，代入，得.
（2）根据(1)的计算结果，从a1开始，每三个数一循环，
而2016÷3=672，则a2016=-1,a2017= ,a2018=2
所以，a2016•a2017•a2018=（-1）××2= -1
（3）观察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，将-1代入，
a33+a66+a99+…+a9999
=（-1）3+（-1）6+（-1）9+…+（-1）99
=（-1）+1+（-1）+…(-1)
=-1
【点睛】此类问题考查了数字类的变化规律，解题的关键是要严格根据定义进行解答，同时注意分析循环的规律．
13．任何一个整数 ，可以用一个多项式来表示：
．
例如：．已知 是一个三位数．
（1）为 ．
（2）小明猜想：“ 与 的差一定是 的倍数”, 请你帮助小明说明理由．
（3）在一次游戏中，小明算出 ，，， 与 这 个数和是 ，请你求出 这个三位数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）748；
【分析】（1）根据所给例子表示即可；
（2）直接作差即可得出结论；
（3）先根据题意得出a+b+c的取值范围，再代入数据进行验证即可．
【详解】（1）
（2）
；
与 的差一定是 的倍数．
（3） ，
由已知条件可得
=
=
=
即 ．
是个三位数
至少从16开始，
经尝试发现，只有 满足条件，此时 ，
这个三位数为 ．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
14．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数. 例如：， .试探索：
（1）_____,_____；
（2） _____；
（3）_____.
【答案】（1）﹣5，3；（2）4 ；（3）6048
【详解】试题分析：根据取整函数的定义分别计算即可．
试题解析：（1）[-5]=-5，[π]=3；
（2）[2.7]+[2.3]=2+2=4；.
（3）
=550+733+916+1100+1283+1466=6048
15．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
(1)按这个规律，当m=10时，和为__；
(2)从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：________________________________________．
(3)应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②108+210+212+…+300
【答案】(1)110
(2)m（m+1）；
(3)①2550；②19788
【分析】（1）由计算的算式可以看出：从2开始连续偶数的和，等于加数的个数乘加数的个数加1，由此规律解答即可；
（2）由计算的算式可以看出：从2开始连续偶数的和，等于加数的个数乘加数的个数加1，由此规律解答即可；
（3）①利用发现的规律直接计算即可；
②把算式变为计算得出答案即可．
（1）
解：∵2+2=2×2，
2+4=6=2×3=2×（2+1），
2+4+6=12=3×4=3×（3+1），
2+4+6+8=20=4×5=4×（4+1），
∴m=10时，和为：10×11=110；
故答案为：110；
（2）
解：∴和S与m之间的关系，用公式表示出来：2+4+6+…+2m=m（m+1）；
（3）
解：①2+4+6+…+100
=50×51，
=2550；
②108+210+212+…+300=（2+4+6+…+300）-（2+4+6+…+106）=150×151-53×54=19788．
【点睛】本题是一个典型的模型应用题，通过一些具有特定规律的式子发现模型规律，通过一个简单的计算验证发现，找出一般形式，同时通过发现规律代入比较大的值，一般最后一问通常是模型的应用，符合了解，理解，掌握，应用这四个知识认知层次．
16．（1）观察下列各式：
根据你发现的规律回答下列问题：
①的个位数字是___________；的个位数字是___________；
②的个位数字是___________；的个位数字是___________；
（2）自主探究回答问题：
①的个位数字是___________，的个位数字是___________；
②的个位数字是___________，的个位数字是___________．
（3）若n是自然数，则的个位上的数字（ ）
A．恒为0 B．有时为0，有时非0 C．与n的末位数字相同 D．无法确定
【答案】（1）①9；7 ②7；7 （2）①3；3 ②8；8 （3）A
【分析】（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；
（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；
（3）根据（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同即可得出答案．
【详解】解：（1）①
3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是9；
13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是7；
故答案为：9；7；
②由①可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是7，的个位数字是7；
故答案为：7；7；
（2）①
7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是3，的个位数字是3
故答案为：3；3
②
2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环
52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环
的个位数字是8，的个位数字是8
故答案为：8；8
（3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同
的个位上的数字恒为0
故选A．
【点睛】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键．
17．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式：
(1)当有5张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐___________人．
(2)当有n张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐____________人．
(3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？
【答案】(1)22，14
(2)
(3)选择第一种方式，理由见解析
【分析】（1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题；
（2）根据（1）中所得规律列式可得．
（3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断．
(1)
解：当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐4×5+2=22人，
第二种摆放方式能坐2×5+4=14人；
(2)
解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．
即有n张桌子时是6+4（n-1）=4n+2．
第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，
即6+2（n-1）=2n+4．
(3)
解：选择第一种方式．理由如下；
第一种方式：60张桌子一共可以坐60×4+2=242（人）．
第二种方式：60张桌子一共可以坐60×2+4=124（人）．
又242＞200＞124，
所以选择第一种方式.
【点睛】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
18．将奇数1至2021按照顺序排成下表：
记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．
（1）P43＝ ；
（2）若Pmn＝2021，推理m＝ ；n＝ ；
（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100．若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．
（4）用m、n的代数式表示Pmn＝ ．
【答案】（1）41；（2）169，3；（3）4个阴影格子中数的和不能等于100．理由见解析；（4）12m＋2n－13．
【分析】（1）根据表中的变化规律即可求解；
（2）求出第m行第n个数的变化规律，再代入Pmn＝2021，根据m、n的特点即可求解；
（3）设4个阴影格子中的数分别为(x－2)、x、(x＋2)、(x＋12)，其中n为奇数根据4个数的和是100列出方程求出x，故可求出x进行判断；
（4）根据（2）中结论即可求解．
【详解】（1）由表格可得第4行第1个数为37，
∴故第4行第2个数为39，第4行第3个数为41
故答案为：41；
（2）∵第1行第1个数为1，第2行第1个数为13，第3行第1个数为25，
∴第m行第1个数为12m-11，
∵第1行第1个数为1，第1行第2个数为3，第1行第3个数为5，第1行第4个数为7…，每次增加2
∴第m行第n个数为2（n-1）+12m-11=12m＋2n－13
∵Pmn＝2021，
∴12m＋2n－13=2021
∴12m＋2n=2034
∵1≤n≤6，n为正整数，m为正整数
∴2034-2n需要被12整除
∴n=3，m=169
故答案为：169，3；
（3）设4个阴影格子中的数分别为(x－2)、x、(x＋2)、(x＋12)，其中n为奇数，
则4个数的和为 (x－2)＋x＋(x＋2)＋(x＋12)＝4x＋12．
若4个数的和是100，可推理出x＝22，与x为奇数矛盾．
所以4个阴影格子中数的和不能等于100．
（4）由（2）得第m行第n个数为12m＋2n－13
故答案为：12m＋2n－13．
【点睛】此题主要考查数字的规律探究，解题的关键是根据已知的数字发现变化规律进行求解．
加数m的个数
和S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6