初中数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转导学案

这是一份初中数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转导学案，共10页。学案主要包含了重要考点目录，重要考点讲解，知识精讲，典例精讲，问题呈现，问题探究，拓展应用等内容，欢迎下载使用。

模块1：手拉手模型
模块2：半角模型
模块3：倍长中线与类倍长中线模型
模块4：对角互补，邻边相等
【重要考点讲解】
模块1：手拉手模型
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．（2020•黑龙江）如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．
（1）与的数量关系是 ．
（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
例题2．（2022•通辽）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．
（1）如图1，当点在上，在上，求的值为多少；
（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求的值为多少；
（3），，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
模块2：半角模型
【知识精讲】
【典例精讲】
例题3．（2020•黑龙江）如图，正方形中，点在边上，点在边上，若，，则下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦．
其中结论正确的序号有 ．
例题4．（2022•大庆）如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍．连接，分别与对角线交于点，，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则．其中正确结论的序号为 ．
模块3：倍长中线与类倍长中线模型
【知识精讲】
【典例精讲】
例题5．（2021•东营）已知点是线段的中点，点是直线上的任意一点，分别过点和点作直线的垂线，垂足分别为点和点．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）猜想验证如图1，当点与点重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距” 和的数量关系是 ．
（2）探究证明如图2，当点是线段上的任意一点时，“足中距” 和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸如图3，①当点是线段延长线上的任意一点时，“足中距” 和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若，请直接写出线段、、之间的数量关系．
例题6．（2017•江西）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称△是的“旋补三角形”，△ 边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ；
②如图3，当，时，则长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形，，，，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
模块4：对角互补，邻边相等
【知识精讲】
【典例精讲】
例题6．（2019•咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点，，在上，的平分线交于点，连接，．
求证：四边形是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长．
例题7．（2019•湖北）已知内接于，的平分线交于点，连接，．
（1）如图①，当时，请直接写出线段，，之间满足的等量关系式： ；
（2）如图②，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若，，求的值．
第2讲：旋转（二）课后巩固
1．（2022•达州）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．点，在运动过程中，始终保持，连接，，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是 ．
2．（2020•天水）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．若，则的长为 ．
3．（2018•梧州）如图，点为与的公共点，，连接、，过点作于点，延长交于点．若，，，则的值为 ．
4．（2023•大庆）如图，在中，将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至，得到△，使，我们称△是的“旋补三角形“，△的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①与△面积相同；
②；
③若，连接和，则；
④若，，，则．
5．（2023•湖北）【问题呈现】
和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ．
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．
6．（2020秋•南宁期末）如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点作，交的延长线于点，平分．
（1）如图1，若是的直径，求证：与相切；
（2）在（1）的条件下，若，求线段的长；
（3）如图2，若，求的最大值．
手拉手模型
（旋）
条件：，，;
结论：①；
②，平分；
③四点共圆．
条件：，;
结论：①；
②；
③四点共圆．
半角模型（旋）
条件：为等腰直角三角形，；
辅助线作法：将绕着逆时针旋转至；
结论：①，；
②，．
条件：四边形为正方形，；
辅助线作法：将绕着逆时针旋转至
结论：①，； ②；③四点共圆；
④为等腰直角三角形；
⑤，相似比为．
倍长中线与类倍长中线（旋）
条件：为中线；
辅助线作法：将绕着点旋转至；
结论：，
．
条件：为中线；
辅助线作法：将绕着点旋转至；
结论：,
．
条件：为中线；
辅助线作法：将绕着点旋转至；
结论：，．
对角互补，邻边相等
条件：四边形中，，，
辅助线作法：将绕着逆时针旋转至；
结论：，平分．