第11讲 旋转图形的性质-讲义 2021-2022学年人教版九年级数学上册学案

第11讲  旋转图形的性质

知识导航

1．旋转图形的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．

2．中心对称与中心对称图形的概念与性质．

3．点P（x，y）关于原点的对称点P为（－x，－y）．

【板块一】利用旋转图形的性质求角度

方法技巧

1．利用等腰求角度；

2．通过旋转“化散为聚”求角度．

题型一  利用旋转角求角度

【例1】如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△的位置，使得//AB，则∠的度数是（    ）

A．70° B．35° C．40° D．50°

题型二   利用旋转的位置关系求角度

【例2】如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△，点恰好落在边AB上，连接，则∠＝      ．

【例3】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B，C，D在一条直线上，点C，F重合），将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后得到△（0＜n＜180），如果//AB，那么n 的值为      ．

题型三   利用旋转构造全等求角度

【例4】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，，求∠BPQ的度数．

【例5】如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中点，连接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度数．

【例6】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．

针对练习1

1．如图，点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△．

（1）求点P与点之间的距离；

（2）求∠APB的度数．

2．如图，点P为等边△ABC内一点，∠APB＝113°，∠APC＝123°，求证：以AP，BP，CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数．

3．如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．

【板块二】利用旋转图形的性质求线段长或面积

题型一   利用旋转图形性质求线段长

【例1】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，把△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE，AE，DC交于点F，当F为CD的中点时，求AF的长．

题型二   利用旋转图形性质求面积

【例2】如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，求四边形AB1OD的面积．

【例3】在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°后得到线段DE，连接PE，点C关于直线PE的对称点是，连接，，，若四边形是平行四边形，PC＝2，则平行四边形的面积是            ．

针对练习2

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，，在同一条直线上，则的长为（    ）

A．6 B．4 C．3 D．3

2．如图．在△ABC中，∠BAC＝150°，D，E为线段BC上的两点，∠DAE＝60°，且AD＝AE，若DE＝3，CE＝5，则BD的长为         ．

3．如图，P为等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求S△ABC．

【板块三】旋转图形中线段关系的探究

方法技巧

利用旋转“化散为聚”解决线段关系．

题型一   旋转图形中线段数量关系的探究

【例1】如图，在等边△ABC内有一点O，试证明：OA＋OB＞OC．

【例2】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转．

（1）求证：BD＝CE；

（2）如图2，若∠ADB＝90°，DE的延长线交BC于点F，交AB于点G．

①求证：点F是BC中点；

②若DA＝DB，BF＝，直接写出AG的长为           ．

题型二 旋转图形中图形形状的确定

【例3】如图，在正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90后，得到△ABQ连接EQ

(1)求证:EA是∠QED的平分线;

(2)探求以EF，BE，DF为三边的三角形的形状

针对练习3

1.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.

(1)求证:△BDE≌△BCE;

(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由

2.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形。

(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称;

(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE.已知∠DCB＝30°

①求证:△BCE是等边三角形;

②求证:DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.

板块四 旋转图形中的多解问题

方法技巧 当运动的点或线的位置不确定时，要注意分类讨论

题型一 旋转图形中角度的多解问题

【例1】如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转角度m(0°＜m＜180°)后点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝_____或_____

【例2】将一副三角板按如图所示的方式重叠在一起，若△ABC不动，将△DCE绕着C点顺时针旋转，旋转角为a(0°＜a＜180°)，旋转过程中，若两个三角形有一组边平行，

则a＝_______________

题型二 旋转图形中画图的多样性问题

【例3】如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(2，0)在图中画出点P，使△PAB为等边三角形，求出满足条件的点P的坐标__________

针对练习4

1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD.

若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD，DC，直接写出△BDC为等腰三角形时，m所有可能的取值___________

2.如图，点A，B的坐标为(2，3)，(4，0)，将线段AB绕点P(m，n)旋转180°得到线段CD(点A的对应点为C，点B的对应点为D)，若点C，D都落在坐标轴上，则m＝__________