2024版新教材高中数学课时作业41不同函数增长的差异新人教A版必修第一册

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课时作业41　不同函数增长的差异1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数2．下列函数中，随着x(x>1)的增大，函数值的增长速度最快的是(　　)A．y＝8lgxB．y＝x8C．y＝eq \f(\r(x),8)D．y＝9×8x3．在一次数学实验中，小军同学运用图形计算器采集到如下一组数据：在以下四个函数模型中，a，b为常数，最能反映x，y间函数关系的可能是(　　)A．y＝ax＋bB．y＝ax＋bC．y＝ax2＋bD．y＝a＋eq \f(b,x－1)4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)5．(多选)下面对函数f(x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))x与g(x)＝(eq \f(1,2))x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　)A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快6．(多选)已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是(　　)A．随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2B.随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1C．当x∈(0，＋∞)时，y1增长速度一直快于y3D．当x∈(0，＋∞)时，y2增长速度有时快于y17．已测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则选用________作为拟合模型较好．8．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①f1(x)＝x2，②f2(x)＝4x，③f3(x)＝log2x，④f4(x)＝2x.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是________.(只要填序号)9．已知函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，f为分界点).10．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝pqx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.(1)求a，b，c，p，q，r的值；(2)你认为谁选择的模型好．11.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)12．能使不等式log2x1，则对任意的x>0，ax>logaxC．对任意的x>0，xa>logaxD．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xa>logax15.某工厂8年来某种产品年产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年到第八年每年的年产量保持不变．其中说法正确的序号是________．16．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝pxeq \s\up6(\f(1,2))＋k(p>0，k>0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711).课时作业411．解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合．故选D.答案：D2．解析：当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数y＝9×8x的增长速度最快．故选D.答案：D3．解析：根据表格提供数据可知，函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合．故选B.答案：B4．解析：设原来森林蓄积量为a，∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，∴一年后，森林蓄积量为a(1＋10.4%)两年后，森林蓄积量为a(1＋10.4%)2，经过y年，森林蓄积量为a(1＋10.4%)y，∵要增长到原来的x倍，需经过y年，∴a(1＋10.4%)y＝ax，∴1.104y＝x则y＝log1.104x.由于函数是对数函数，1.104>1，所以函数y＝f(x)的图象大致为D.故选D.答案：D5．解析：在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如图所示：由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢．故选ABD.答案：ABD6．解析：如图，对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，BD正确；y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈(0，1)时，y3大于y1，当x∈(1，＋∞)时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误．故选BD.答案：BD7．解析：对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．答案：甲8．解析：由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④.答案：④9．解析：曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题图知，当x＜1时，f(x)＞h(x)＞g(x)；当1＜x＜f时，f(x)＞g(x)＞h(x)；当f＜x＜a时，g(x)＞f(x)＞h(x)；当a＜x＜b时，g(x)＞h(x)＞f(x)；当b＜x＜c时，h(x)＞g(x)＞f(x)；当c＜x＜d时，h(x)＞f(x)＞g(x)；当x＞d时，f(x)＞h(x)＞g(x).10．解析：(1)根据题意：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(42＝a＋b＋c,48＝4a＋2b＋c,52＝9a＋3b＋c))，a＝－1，b＝9，c＝34，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(42＝pq1＋r,48＝pq2＋r,52＝pq3＋r))，p＝－27，q＝eq \f(2,3)，r＝60.(2)甲模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54，54，52，乙模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54.7，56.4，57.6，实际4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.所以乙选择的模型好．11．解析：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除B.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C.故选C.答案：C12．解析：作出y＝log2x、y＝x2、y＝2x图象由图象可知，当x>4时，log2x1，所以结合指数函数及对数函数图象，易知ax>logax，故B正确；对于选项C，当0logax不恒成立，故C错；对于选项D，当a>1时，结合图象易知，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xa>logax，但若去掉限制条件“a>1”，则结论不成立，故D正确．故选BD.答案：BD15．解析：由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确；综合所述，正确的为：②④.答案：②④16．解析：(1)函数y＝kax(k>0，a>1)与y＝pxeq \s\up6(\f(1,2))＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上都是增函数，随着x的增加，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加的越来越快，而函数y＝pxeq \s\up6(\f(1,2))＋k的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝kax(k>0，a>1)符合要求．根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ka2＝24,ka3＝36))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(32,3),a＝\f(3,2))).故该函数模型的解析式为y＝eq \f(32,3)·(eq \f(3,2))x，1≤x≤12，x∈N*；(2)当x＝0时，y＝eq \f(32,3)，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是eq \f(32,3)m2，由eq \f(32,3)·(eq \f(3,2))x>10·eq \f(32,3)，得(eq \f(3,2))x>10，∴x>logeq \s\do9(\f(3,2))10＝eq \f(lg10,lg\f(3,2))＝eq \f(1,lg3－lg2)≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．基础强化x－4－20246y1.011.111.9910.0381.96729.36能力提升