2023-2024学年人教版（2012）九年级下册第二十七章相似单元测试卷(含答案)

2023-2024学年 人教版（2012）九年级下册 第二十七章 相似 单元测试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）

A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形

C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形

2．如图，是边上的一点，的平分线交边于点，交于点，则图中一定相似三角形有（    ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

3．若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（    ）

A． B． C． D．

5．已知两个相似三角形的相似比为，则它们的周长的比为（    ）

A． B． C． D．

6．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（   ）

A． B． C． D．

7．如图，在正方形中，点E，点F分别在边上（点E不与点B，C重合），且．连接交于点G，连接交于点H．若，则＝（　　）

A． B． C． D．

8．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．下列结论中正确的是（　　）

A．垂直平分 B．的最小值为

C． D．

10．如图，是正方形，E是的中点，P是边上的一动点，下列条件中，能得到与相似的是（    ）

A． B．P是的中点

C． D．

三、填空题

11．如图，点O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则的长为           ．

12．在中，，点是边上的一点，线段将分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段的长是           ．

13．如图，在中，点是的重心，过点作分别交边、于点，联结，那么        ．

14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是      ．

四、证明题

15．如图，四边形是平行四边形，于，于．求证：

(1)；

(2)．

16．如图，正方形边长为10，是直角三角形，，点E是边的动点，点F在边上，当点E在线段上移动时（点E不与A、D重合），设，的面积为y．

(1)当点E在线段上移动时，与的关系会不会发生变化？ 请简要说明理由；

(2)用含有x的代数式表示y；

(3)当点E运动到什么位置时，的面积有最值？最值是多少？

参考答案：

1．B

【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项．

【详解】解：设每个正方格边长为1，

则，

，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．

2．C

【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成．

【详解】在与中，

∵，

∴，

在与中，

∵平分，

∴，

又，

∴．

∵,

∴,

∵,

∴，

所以图形中共有3对相似三角形．

故选C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点．

3．C

【分析】利用比例的性质求得，整理求得，据此即可求解．

【详解】解：∵，

∴，即，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质“两外项的乘积等于两内项的乘积”是解题的关键．

4．B

【分析】根据勾股定理就可以求出AC的值，再根据轴对称的性质就可以得出，由得出就可以得出就可以求出结论．

【详解】解：∵，由勾股定理，得．

∵与关于成轴对称，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．

5．C

【分析】根据相似三角形的性质中周长比等于相似比即可求解．

【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，

∴它们的周长的比为，

故选：．

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质是解题的关键．

6．A

【分析】根据比例线段的定义，注意成比例的线段有顺序性，如a，b，c，d是成比例线段，那么只能写成或，不能随便更改位置，列出比例式（方程）求解即可．

【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，

∴，即，

解得：．

故选：A．

【点睛】本题考查了比例线段的定义，列出比例式（方程）求解是解题的关键．

7．A

【分析】设 ，则 ，证明 和 ， 推出 ，作 ， 证明 ，得到 ，设 ， 则 ， 推出 ， 在 中， 利用勾股定理求得 ， 代入 计算即可求解

【详解】解： 设 ， 则 ，

∵正方形 中， ，

∵对角线 与 交于点 ，

作

设 则，

在 中，

即

整理得：，

故选： A

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，解题的关键是学会利用参数构建等量关系是解决的问题

8．A

【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．

【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，

∴它们的面积比为．

故选：A．

【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

9．AC

【分析】根据正方形的性质证得，再利用证明，即可得出垂直平分，即可判断A；连接与交于点，交于点，连接，当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出，即可判断B；证明，根据相似三角形的性质即可判断C；先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可得出答案从而判断D．

【详解】解：A、四边形是正方形，

，，

，

，即，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

垂直平分，故A正确，符合题意；

B、如图，连接与交于点，交于点，连接，

四边形是正方形，

，即，

垂直平分，

，

当点与点重合时，的值最小，

此时，即的最小值为的长，

正方形的边长为4，

，

，即的最小值为，故B错误，不符合题意；

C、垂直平分，

，

，

，

，

，

，即，

由A知，，

，故C正确，符合题意；

D、垂直平分，

，

，

，故D错误，不符合题意；

综上所述，正确的有A、C，

故选：AC．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．

10．ACD

【分析】由四边形是正方形，可得，又由E是的中点，易得，然后分别利用相似三角形的判定定理，判定与相似．

【详解】解：∵四边形是正方形，

∴，，

∵E是的中点，

∴，

即，

A、∵，，

∴，故A符合题意；

B、∵P是中点，

∴，

没办法判定与中各边成比例，故B不符合题意；

C、∵时，，

∴，

故C符合题意；

D、∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，故D符合题意．

故选：ACD．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及正方形的性质．注意灵活应用判定定理是解题的关键．

11．

【分析】证明，可得，，由勾股定理可得，进而解答即可．

【详解】解：四边形是矩形，

，，，

，

，

，

，且，，

，

在中，，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求的长度是本题的关键．

12．

【分析】首先画出图形，然后根据相似三角形的性质得到，得到，然后结合列方程求解即可．

【详解】如图所示，

设

∵相似系数等于2

∴

∴

∵

∴

解得

∴

故答案为：．

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．

13．/

【分析】联结并延长交于，根据重心的概念得到，根据平行线的性质、相似三角形的性质计算即可．

【详解】解：先证明：重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍；

由点为的重心，联结，，并延长交，，于，，，

则由三角形中线性质可得：，，，

，，则，，

∴，

则，即：，

即：重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍；

联结并延长交于，

∵为的重心，

∴，则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴与的高相等，

则，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．

14．

【分析】根据相似三角形的判定及性质可得（），进而可求解．

【详解】解：，且，

，

，即：，

解得：（），

（），

树高是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．

15．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）由是平行四边形，可知，由，，可得，进而可证；

由是平行四边形，可知，由，可得，即，，由，可得，证明，则，即，进而结论得证．

【详解】（1）证明：∵是平行四边形，

∴，

∵，，

∴，

∴；

（2）证明：∵是平行四边形，

∴，

∵，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于确定相似三角形的判定条件．

16．(1)当点E在线段上移动时不会发生变化；

(2)；

(3)点E运动到的中点时，的面积有最小值，最小值为．

【分析】（1）利用等角的余角相等证得，证明，即可得解；

（2）由相似三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式求解即可；

（3）利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解：∵四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴当点E在线段上移动时不会发生变化；

（2）解：∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的面积为；

（3）解：∵，，开口向下，

∴当，的面积有最小值，最小值为．

答：点E运动到的中点时，的面积有最小值，最小值为．

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．