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冀教版九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系（B卷）含解析答案
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这是一份冀教版九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系（B卷）含解析答案，共38页。
第二十九章�直线与圆的位置关系（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
2．如图，是的切线，是切点，若，则（ ）
A． B． C． D．都不对
3．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
4．的内接正方形和内接正六边形的边心距分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（ ）
A．60° B．65 C．70° D．75°
6．内接于，过点A作直线EF，已知，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与相切；
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都不对
7．用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点G B．
C．点G是线段的三等分点 D．
8．如图，已知点P是上点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交于点A，连接并延长OA，再在OA上截取，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确
9．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最小值为（ ）
A．5.5 B．10.5 C．8 D．12
10．如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（ ）
A．9 B．4 C．12或4 D．12或9
评卷人
得分
二、填空题
11．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为 ．
12．如图所示一张圆形光盘，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么该光盘的外直径是 cm，该光盘的面积是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，．注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点．
（1）若经过三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为 ；
（2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过 格点．
14．已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝2．
（1）点C坐标为 ．
（2）若y轴上存在点M，使得∠AMB＝∠BCA，则这样的点有 个．
15．如图，在扇形CAB中，，垂足为D，是△ACD的内切圆，连接AE，BE．
（1）∠AEB的度数为 ；
（2）若，，则的长为 ．
16．教学实践课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，提出了一个问题：“若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其完全盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应该是多大？”
同学们经过讨论，觉得实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能完全盖住时的最小直径，讨论过程中探索出三种不同的摆放类型，如图1，图2，图3所示．
（1）图1对应的圆形硬纸板的最小直径为 ；
（2）可求出图2、图3对应的圆形硬纸板的最小直径都为，但这三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，则老师提出的问题的正确答案是 ．
评卷人
得分
三、解答题
17．已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．
18．如图，中，，以为直径作交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，，为线段上一点，请写出一个的值，使得直线与相切，并说明理由．
19．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AD＝1，求DC的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
20．已知的半径和正方形的边长均为1，把正方形放在中，使顶点A，D落在上，此时点A的位置记为，如图1，按下列步骤操作：如图2，将正方形在中绕点A顺时针旋转，使点B落到上，完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使点C落到上，完成第二次旋转；……
(1)正方形每次旋转的度数为______°；
(2)将正方形连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与之间的距离的最小值为______．
21．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．
(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；
(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；
(3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，AD⊥BC于点D，E为边BC上的点（不与B、C重合），且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF与EF相交于点F．
(1)AC＝______；∠F＝______；
(2)当BD＝DE时，求证；
(3)求△EAF面积的最小值；
(4)当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的取值范围．
23．如图：在矩形中，，，点在线段上，其中，；以为半径作圆交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段（备注：若圆与有两个交点，规定位于点上方的交点为点）
（1）特例探究：如图，当点在射线上时，______，点到直线的距离是______；
变式研究：当点在上方时，
（2）如图，当点落在线段上时，求点、到直线的距离之比；
（3）当圆与边相切时，求线段的长；
（4）若点到的距离为，直接写出点到的距离．
参考答案：
1．C
【分析】根据点到圆心的距离小于半径即可判断点P在⊙O的内部．
【详解】∵⊙O的半径为5，PO＝6，
∴点P到圆心O的距离大于半径，
∴点P在⊙O的外部，
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键．
2．A
【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可．
【详解】解：PA，PB是⊙O的切线，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查圆的切线长定理以及切线的性质，掌握切线长定理以及切线的性质是解题关键．
3．B
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，
选项A中作了一个角的平分线和一条边的垂直平分线，不合题意；
选项B中作了两个角的平分线，符合题意；
选项C中作了两条边的垂直平分线，不合题意；
选项D中作了一条边的垂直平分线和底边的垂线，不合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查尺规作图和三角形内心的理解，解题的关键是掌握“三角形内心为三角形三个内角平分线的交点”．
4．D
【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝，OC是边心距，OA即半径，根据三角函数关系即可求a、b的值，即可求解．
【详解】
解：经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，
则在Rt△OAC中，∠O＝，OC是边心距，OA即半径；
设半径为r，
则圆内接正方形的边心距为a＝r＝r
圆内接六边形的边心距为b＝r＝r
＝r（r）＝，
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用和圆内接正多边形的相关知识，掌握特殊三角函数值和圆内接正多边形的相关知识并能灵活运用是解题的关键．
5．B
【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，如图，
点 O 是△ABC 的内心，
，，
，
，
点 O是△DBC 的外心，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键．
6．C
【分析】甲：根据直径推出，推出，根据切线判定推出即可；
乙：作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可．
【详解】解：甲：是的直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
乙：作直径，连接，
即（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
故选：C．
【点睛】考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角，正确应用定理等知识是解决问题的关键．
7．D
【分析】证明是等边三角形，，，可判断A；证明，可判断B；证明，可判断C；证明，可得结论．
【详解】解：在正六边形中，，
∵，
∴，，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形，四边形都是菱形，
∴，，
∴的内心与外心都是点G，故A正确，
∵，，
∴，
∵，
∴，故B正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵，，
∴，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形，四边形都是菱形．
8．A
【分析】甲乙都是正确的，根据切线的判定定理证明即可．
【详解】解：甲正确．
理由：如图1中，连接PA．
∵AP＝PO＝AO，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠OPA＝∠OAP＝60°，
∵AB＝OP＝AP，
∴∠APB＝∠ABP，
∵∠OAP＝∠APB+∠ABP，
∴∠APB＝∠ABP＝30°，
∴∠OPB＝90°，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
乙正确．
理由：∵AP是直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，
∵∠BPC＝∠BAP，
∴∠APB+∠BPC＝90°，
∴∠OPB＝90°，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线，
故选：A．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．A
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可求圆C上点到直线的最短距离，由此求得答案．
【详解】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴令，则；令，则；
∴点A为（4，0），点B为（0，），
∴；
∴OA=4，BC=，
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=，
∴圆C上点到直线的最小距离是 ，
∴△PAB面积的最小值是 ；
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离，属于中档题目．
10．C
【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，得EG：EN＝，依据勾股定理即可求得x的值，然后再次利用勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求AB＝4．
【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，
切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN＝NF，
又∵，
∴EG：EN＝，
又∵GN＝AD＝8，
∴设EN＝x，则GE＝，
根据勾股定理得：，
解得：x＝4，
∴GE＝，
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，
得：r2＝16＋（8−r）2，
∴r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又，即，
∴AB＝12；
当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
同理，可得OH＝AN＝5，
∴AE＝1，
又，
∴AB＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．
11．14
【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CF=CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵BE+CE=BC=5，
∴BD+CF=BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14，
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理是解题的关键．
12． 10
【分析】如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm．
连接OC，交AB于D点，连接OA， 可得OC⊥AB，从而得到AD=4cm． 设半径为Rcm，则R2=42+（R-2）2，可得到该光盘的外直径；再用光盘外圆的面积减去内圆的面积，即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA，
∵刻度尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB，
∴AD=4cm．
设半径为Rcm，则R2=42+（R-2）2，解得：R=5，
∴该光盘的外直径是10cm；
该光盘的面积是．
故答案为：10；
【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，建立数学模型是解题的关键．
13． （2，0） 8
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求，根据点M的位置写出坐标即可．
（2）利用图象法，判断即可．
【详解】（1）如图，点M的坐标为（2，0）
（2）如图，满足条件的点有8个．
【点睛】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
14． （3，） 2
【分析】（1）先根据含30度直角三角形的性质得到AC的长，进而求出BC的长即可得到点C的坐标；
（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，证明圆E与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，再由圆周角定理得到∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时满足题意，据此即可得到答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴，
∴，
又∵OA=1，
∴OB=OA+AB=3，
∴点C的坐标为（3，），
故答案为：（3，）
（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，
∴EG=OF，
∵E是AC的中点，
∴，
同理可得∠AEF=30°，
∴，
∴GE=OF=OA+AF=2，
又∵EG⊥y轴，
∴圆E与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，
∵当以E为圆心，2为半径画圆时，点A、B、C、G都在圆E上，
∴∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时满足题意，
∴此情形下只有一个点满足题意，
由对称性可知当M在y轴下方时也有一个点满足题意，
∴一共有2个点满足题意，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，圆切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
15． 135°
【分析】（1）如图，连接EC．首先证明∠AEC＝135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题；
（2）先利用已知求得∠CAB的度数，然后在直角三角形ACD中求得AC的长，最后利用弧长公即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，
∴∠AEC＝180°−(∠ACD＋∠CAD)＝135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB＝∠AEC＝135°，
故答案为135°．
（2）∵，∠AEB＝135°，
∴ ，
∴，
∵，，
∴中，，
解得，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．
【分析】（1）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；
（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．
【详解】（1）解：连接BD，
∵AD=3×1=3cm，AB=1cm，
∴BD=cm，
故答案是：；
（2）如图为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，
连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，
设OG=x，则OP=2-x，
∵ON=OB，
∴
解得x=，
则ON=，
∴直径为
故答案为：．
【点睛】此题考查正多边形与圆，解答此题的关键是找出找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．
17．见解析
【分析】由切线的性质可知∠ODE＝90°，证得OD∥AE即可解决问题．
【详解】证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE＝180°，
∴∠E＝90°，
∴DE⊥AE．
【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后就利用等角的余角相等得到结论；
（2）如图，取BC的中点M，连接DM、OD，先计算出BD和OA，再证明Rt△CBD∽Rt△BAD，利用相似比得到BC，如图，证明∠2＝∠4得到∠ODM＝90°，根据切线的判定定理可确定DM为⊙O的切线，然后计算BM的长即可．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD；
（2）解：．
理由：如图，在BC上取一点M，连接OD，取BC的中点M，连接DM，
∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝，OA＝5，
∵∠A＝∠CBD，∠ADB＝∠BDC，
∴Rt△CBD∽Rt△BAD，
∴，即，解得BC＝
∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，
∴DM＝BM，
∵∠2＝∠4，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝90°，即∠ODM＝90°，
∴OD⊥DM，
∴DM为⊙O的切线，
此时BM＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定定理和三角形相似的性质和判定，解决本题的关键是找到BC的中点就为M的位置，进行切线的判定．
19．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接OC，由OB=OC，利用等边对等角得到∠BCO=∠B，由∠ACD=∠B，得到∠ACD+∠OCA=90°，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；
（2）证明Rt△ABC∽Rt△ACD，可求出AC=2，由勾股定理求出CD的长即可；
（3）先证明△OAC为等边三角形，求出∠AOC＝60°，即可由S阴影=S梯形ADCO-S扇形OAC求出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC
∵∠ACD＝∠B，
∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝90°，即EF⊥OC
∴EF是⊙O的切线
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=＝90°，
∵AD⊥EF于点D，
∴∠∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC
∴，
∵AD=1，AB=4
∴，
∴AC＝2
∴
（3）解：∵AB=4，
∴OC=OA=AB=2，
由（2）知：AC=2，
∴OC＝OA＝AC＝2，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
由（2）知：CD=，AD=1
∴S阴影=S梯形ADCO-S扇形OAC
=
＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理以及扇形面积的计算，熟练掌握圆的基础知识是解本题的关键．
20．(1)30
(2)
【分析】（1）根据题意可知是等边三角形，每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度，则正方形各顶点构成正六边形，边长为1，进而求得每次旋转的角度；
（2）在正方形的旋转过程中，第三次旋转过程中点B与之间的距离的最小值为的直径减去正方形的对角线的长度．
【详解】（1）解：∵的半径和正方形ABCD的边长均为1，
是正三角形，
根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形，
即正方形每一次旋转的角度为30°，
故答案为：．
（2）如图，点的运动路径如图中部分，
∵正方形的边长为1，
正方形的对角线长为，
∵的半径为1，
最短距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，旋转的性质，正三角形的性质，找到正方形旋转的规律是解题的关键．
21．(1)当t时，线段DP与⊙Q相切；
(2)0＜t或；
(3)或5或8．
【分析】（1）过点A作AN⊥BC于点N，则BNcm，由线段DP与⊙Q相切，则∠BDP＝∠BNA＝90°，利用△BDP∽△BNA，得，代入即可求出t的值；
（2）分两种情形：出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，得0＜t，当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，当点P与点E重合时，，可解决问题；
（3）分AP＝AC，PPC，CA＝CP三种情形，分别画出图形，即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意得：CP＝2tcm，BD＝2tcm，则BP＝（16﹣2t）cm，
过点A作AN⊥BC于点N，如图1，
则BNcm，
∵线段DP与⊙Q相切，
∴PD⊥BD，
∴∠BDP＝∠BNA＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDP∽△BNA，
∴，
∴，
解得t，
∴当t时，线段DP与⊙Q相切；
（2）①出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∴0＜t，
②当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∵点P与点E重合时，
∵∠BED＝∠ANB＝90°，
∴DEAN，
∵，
∴BE＝BP＝，
∵BP＋CP＝BC，
∴，
解得：t，
∵当P到点B时，t＝＝8，
∴t＜8，
∴t＜8，
综上，当0＜t或时，⊙Q与线段DP只有一个公共点；
（3）①当AP＝CP时，由题意得：CP＝2tcm，
过点A作AN⊥BC于点N，过点P作PM⊥AC于点M，如图2，
∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AN⊥BC，
∴BN＝NC，
∵AP＝CP，PM⊥AC，
∴CM，
∵∠CMP＝∠CNA＝90°，∠C＝∠C，
∴△CMP∽△CNA，
∴，
∴，
∴t；
②当AC＝CP时，如图3，
则2t＝10，
∴t＝5；
③当点P到达点B时，此时CP＝CB，
∴2t＝16，
∴t＝8，
综上，当△APC是等腰三角形时t的值为或5或8．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了动点问题，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
22．(1)；30°
(2)见详解
(3)S△AEF最小=
(4)当4＜AE≤4时，△AEF的内心在△ABC外
【分析】（1）根据30°直角三角形性质求出BC，再利用勾股定理求解，根据∠EAF＝∠B=60°，AE⊥EF，利用直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据线段垂直平分线性质得出AB=AE即可；
（3）先利用勾股定理求出EF=，利用三角形面积求出S△AEF=，根据点E在BC上，点到直线的距离最短，得出AE⊥BC即可；
（4）根据△EAF的内心是三个内角平分线的交点，当∠EAF的平分线与AC重合时，为△EAF的内心在△ABC的外部时的界点，先求∠EAC=，再证△ABE为等边三角形，求出AE=AB=4即可．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，
∴∠C=90°-∠B=30°，
∴BC=2AB=2×4=8，
在Rt△ABC中，AC=，
∵∠EAF＝∠B=60°，AE⊥EF，
∴∠F=90°-∠FAE=90°-60°=30°，
故答案为；30°；
（2）证明：∵BD＝DE，AD⊥BC，
∴AB=AE，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（ASA）；
（3）解：在Rt△AEF中，∠F=30°，
∴AF=2AE，
∴EF=，
∴S△AEF=，
∵点E在BC上，
∴AE⊥BC时，AE最短=AD，
∵S△ABC=，
∴，
∴S△AEF最小=；
（4）解：∵△EAF的内心是三个内角平分线的交点，
当∠EAF的平分线与AC重合时，为△EAF的内心在△ABC的外部时的界点，
∵∠EAF=60°，AC平分∠EAF，
∴∠EAC=，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=90°-30°=60°，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵点E在BC上，AE的最大值为AC，
∴当4＜AE≤4时，△AEF的内心在△ABC外．
【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理线段,垂直平分线性质，全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形内心定义，掌握直角三角形性质，勾股定理线段垂直平分线性质，全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形内心定义是解题关键．
23．（1），；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）在中，用勾股定理求的长；过点作交于，证明≌，则可求；
（2）过点作交于，过点作交于，可证明，从而求出，再证明，可求，则；
（3）设切点为，延长交延长线于点，过点作交于，再求的长即可；
（4）分两种情况讨论：当在左侧时，过作交于，交于，交于，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明≌，再求；当点在右边时，过作交于，交于，过点作交于，交于，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明≌，可求点到直线的距离为．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
如图，过点作交于，
，
，，
，
，
≌，
，
故答案为：，；
，，
，
在中，，
，
如图，过点作交于，过点作交于，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
：：：；
圆与边相切，
设切点为，则，
如图，延长交延长线于点，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当在左侧时，过作交于，交于，交于，交于点，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
点到的距离；
如图，当点在右边时，过作交于，交于，过点作交于，交于，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
点到直线的距离为；
综上所述：点到直线的距离为或．
【点睛】本题是圆的综合题，熟练掌握圆的性质，圆与直线的位置关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形勾股定理，数形结合，分类讨论是解题的关键．
第二十九章�直线与圆的位置关系（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
2．如图，是的切线，是切点，若，则（ ）
A． B． C． D．都不对
3．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
4．的内接正方形和内接正六边形的边心距分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（ ）
A．60° B．65 C．70° D．75°
6．内接于，过点A作直线EF，已知，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与相切；
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都不对
7．用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点G B．
C．点G是线段的三等分点 D．
8．如图，已知点P是上点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交于点A，连接并延长OA，再在OA上截取，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确
9．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最小值为（ ）
A．5.5 B．10.5 C．8 D．12
10．如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（ ）
A．9 B．4 C．12或4 D．12或9
评卷人
得分
二、填空题
11．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为 ．
12．如图所示一张圆形光盘，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么该光盘的外直径是 cm，该光盘的面积是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，．注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点．
（1）若经过三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为 ；
（2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过 格点．
14．已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝2．
（1）点C坐标为 ．
（2）若y轴上存在点M，使得∠AMB＝∠BCA，则这样的点有 个．
15．如图，在扇形CAB中，，垂足为D，是△ACD的内切圆，连接AE，BE．
（1）∠AEB的度数为 ；
（2）若，，则的长为 ．
16．教学实践课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，提出了一个问题：“若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其完全盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应该是多大？”
同学们经过讨论，觉得实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能完全盖住时的最小直径，讨论过程中探索出三种不同的摆放类型，如图1，图2，图3所示．
（1）图1对应的圆形硬纸板的最小直径为 ；
（2）可求出图2、图3对应的圆形硬纸板的最小直径都为，但这三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，则老师提出的问题的正确答案是 ．
评卷人
得分
三、解答题
17．已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．
18．如图，中，，以为直径作交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，，为线段上一点，请写出一个的值，使得直线与相切，并说明理由．
19．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AD＝1，求DC的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
20．已知的半径和正方形的边长均为1，把正方形放在中，使顶点A，D落在上，此时点A的位置记为，如图1，按下列步骤操作：如图2，将正方形在中绕点A顺时针旋转，使点B落到上，完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使点C落到上，完成第二次旋转；……
(1)正方形每次旋转的度数为______°；
(2)将正方形连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与之间的距离的最小值为______．
21．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．
(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；
(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；
(3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，AD⊥BC于点D，E为边BC上的点（不与B、C重合），且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF与EF相交于点F．
(1)AC＝______；∠F＝______；
(2)当BD＝DE时，求证；
(3)求△EAF面积的最小值；
(4)当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的取值范围．
23．如图：在矩形中，，，点在线段上，其中，；以为半径作圆交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段（备注：若圆与有两个交点，规定位于点上方的交点为点）
（1）特例探究：如图，当点在射线上时，______，点到直线的距离是______；
变式研究：当点在上方时，
（2）如图，当点落在线段上时，求点、到直线的距离之比；
（3）当圆与边相切时，求线段的长；
（4）若点到的距离为，直接写出点到的距离．
参考答案：
1．C
【分析】根据点到圆心的距离小于半径即可判断点P在⊙O的内部．
【详解】∵⊙O的半径为5，PO＝6，
∴点P到圆心O的距离大于半径，
∴点P在⊙O的外部，
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键．
2．A
【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可．
【详解】解：PA，PB是⊙O的切线，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查圆的切线长定理以及切线的性质，掌握切线长定理以及切线的性质是解题关键．
3．B
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，
选项A中作了一个角的平分线和一条边的垂直平分线，不合题意；
选项B中作了两个角的平分线，符合题意；
选项C中作了两条边的垂直平分线，不合题意；
选项D中作了一条边的垂直平分线和底边的垂线，不合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查尺规作图和三角形内心的理解，解题的关键是掌握“三角形内心为三角形三个内角平分线的交点”．
4．D
【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝，OC是边心距，OA即半径，根据三角函数关系即可求a、b的值，即可求解．
【详解】
解：经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，
则在Rt△OAC中，∠O＝，OC是边心距，OA即半径；
设半径为r，
则圆内接正方形的边心距为a＝r＝r
圆内接六边形的边心距为b＝r＝r
＝r（r）＝，
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用和圆内接正多边形的相关知识，掌握特殊三角函数值和圆内接正多边形的相关知识并能灵活运用是解题的关键．
5．B
【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，如图，
点 O 是△ABC 的内心，
，，
，
，
点 O是△DBC 的外心，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键．
6．C
【分析】甲：根据直径推出，推出，根据切线判定推出即可；
乙：作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可．
【详解】解：甲：是的直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
乙：作直径，连接，
即（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
故选：C．
【点睛】考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角，正确应用定理等知识是解决问题的关键．
7．D
【分析】证明是等边三角形，，，可判断A；证明，可判断B；证明，可判断C；证明，可得结论．
【详解】解：在正六边形中，，
∵，
∴，，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形，四边形都是菱形，
∴，，
∴的内心与外心都是点G，故A正确，
∵，，
∴，
∵，
∴，故B正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵，，
∴，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形，四边形都是菱形．
8．A
【分析】甲乙都是正确的，根据切线的判定定理证明即可．
【详解】解：甲正确．
理由：如图1中，连接PA．
∵AP＝PO＝AO，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠OPA＝∠OAP＝60°，
∵AB＝OP＝AP，
∴∠APB＝∠ABP，
∵∠OAP＝∠APB+∠ABP，
∴∠APB＝∠ABP＝30°，
∴∠OPB＝90°，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
乙正确．
理由：∵AP是直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，
∵∠BPC＝∠BAP，
∴∠APB+∠BPC＝90°，
∴∠OPB＝90°，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线，
故选：A．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．A
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可求圆C上点到直线的最短距离，由此求得答案．
【详解】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴令，则；令，则；
∴点A为（4，0），点B为（0，），
∴；
∴OA=4，BC=，
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=，
∴圆C上点到直线的最小距离是 ，
∴△PAB面积的最小值是 ；
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离，属于中档题目．
10．C
【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，得EG：EN＝，依据勾股定理即可求得x的值，然后再次利用勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求AB＝4．
【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，
切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN＝NF，
又∵，
∴EG：EN＝，
又∵GN＝AD＝8，
∴设EN＝x，则GE＝，
根据勾股定理得：，
解得：x＝4，
∴GE＝，
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，
得：r2＝16＋（8−r）2，
∴r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又，即，
∴AB＝12；
当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
同理，可得OH＝AN＝5，
∴AE＝1，
又，
∴AB＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．
11．14
【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CF=CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵BE+CE=BC=5，
∴BD+CF=BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14，
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理是解题的关键．
12． 10
【分析】如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm．
连接OC，交AB于D点，连接OA， 可得OC⊥AB，从而得到AD=4cm． 设半径为Rcm，则R2=42+（R-2）2，可得到该光盘的外直径；再用光盘外圆的面积减去内圆的面积，即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA，
∵刻度尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB，
∴AD=4cm．
设半径为Rcm，则R2=42+（R-2）2，解得：R=5，
∴该光盘的外直径是10cm；
该光盘的面积是．
故答案为：10；
【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，建立数学模型是解题的关键．
13． （2，0） 8
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求，根据点M的位置写出坐标即可．
（2）利用图象法，判断即可．
【详解】（1）如图，点M的坐标为（2，0）
（2）如图，满足条件的点有8个．
【点睛】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
14． （3，） 2
【分析】（1）先根据含30度直角三角形的性质得到AC的长，进而求出BC的长即可得到点C的坐标；
（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，证明圆E与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，再由圆周角定理得到∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时满足题意，据此即可得到答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴，
∴，
又∵OA=1，
∴OB=OA+AB=3，
∴点C的坐标为（3，），
故答案为：（3，）
（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，
∴EG=OF，
∵E是AC的中点，
∴，
同理可得∠AEF=30°，
∴，
∴GE=OF=OA+AF=2，
又∵EG⊥y轴，
∴圆E与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，
∵当以E为圆心，2为半径画圆时，点A、B、C、G都在圆E上，
∴∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时满足题意，
∴此情形下只有一个点满足题意，
由对称性可知当M在y轴下方时也有一个点满足题意，
∴一共有2个点满足题意，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，圆切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
15． 135°
【分析】（1）如图，连接EC．首先证明∠AEC＝135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题；
（2）先利用已知求得∠CAB的度数，然后在直角三角形ACD中求得AC的长，最后利用弧长公即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，
∴∠AEC＝180°−(∠ACD＋∠CAD)＝135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB＝∠AEC＝135°，
故答案为135°．
（2）∵，∠AEB＝135°，
∴ ，
∴，
∵，，
∴中，，
解得，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．
【分析】（1）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；
（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．
【详解】（1）解：连接BD，
∵AD=3×1=3cm，AB=1cm，
∴BD=cm，
故答案是：；
（2）如图为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，
连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，
设OG=x，则OP=2-x，
∵ON=OB，
∴
解得x=，
则ON=，
∴直径为
故答案为：．
【点睛】此题考查正多边形与圆，解答此题的关键是找出找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．
17．见解析
【分析】由切线的性质可知∠ODE＝90°，证得OD∥AE即可解决问题．
【详解】证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE＝180°，
∴∠E＝90°，
∴DE⊥AE．
【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后就利用等角的余角相等得到结论；
（2）如图，取BC的中点M，连接DM、OD，先计算出BD和OA，再证明Rt△CBD∽Rt△BAD，利用相似比得到BC，如图，证明∠2＝∠4得到∠ODM＝90°，根据切线的判定定理可确定DM为⊙O的切线，然后计算BM的长即可．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD；
（2）解：．
理由：如图，在BC上取一点M，连接OD，取BC的中点M，连接DM，
∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝，OA＝5，
∵∠A＝∠CBD，∠ADB＝∠BDC，
∴Rt△CBD∽Rt△BAD，
∴，即，解得BC＝
∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，
∴DM＝BM，
∵∠2＝∠4，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝90°，即∠ODM＝90°，
∴OD⊥DM，
∴DM为⊙O的切线，
此时BM＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定定理和三角形相似的性质和判定，解决本题的关键是找到BC的中点就为M的位置，进行切线的判定．
19．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接OC，由OB=OC，利用等边对等角得到∠BCO=∠B，由∠ACD=∠B，得到∠ACD+∠OCA=90°，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；
（2）证明Rt△ABC∽Rt△ACD，可求出AC=2，由勾股定理求出CD的长即可；
（3）先证明△OAC为等边三角形，求出∠AOC＝60°，即可由S阴影=S梯形ADCO-S扇形OAC求出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC
∵∠ACD＝∠B，
∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝90°，即EF⊥OC
∴EF是⊙O的切线
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=＝90°，
∵AD⊥EF于点D，
∴∠∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC
∴，
∵AD=1，AB=4
∴，
∴AC＝2
∴
（3）解：∵AB=4，
∴OC=OA=AB=2，
由（2）知：AC=2，
∴OC＝OA＝AC＝2，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
由（2）知：CD=，AD=1
∴S阴影=S梯形ADCO-S扇形OAC
=
＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理以及扇形面积的计算，熟练掌握圆的基础知识是解本题的关键．
20．(1)30
(2)
【分析】（1）根据题意可知是等边三角形，每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度，则正方形各顶点构成正六边形，边长为1，进而求得每次旋转的角度；
（2）在正方形的旋转过程中，第三次旋转过程中点B与之间的距离的最小值为的直径减去正方形的对角线的长度．
【详解】（1）解：∵的半径和正方形ABCD的边长均为1，
是正三角形，
根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形，
即正方形每一次旋转的角度为30°，
故答案为：．
（2）如图，点的运动路径如图中部分，
∵正方形的边长为1，
正方形的对角线长为，
∵的半径为1，
最短距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，旋转的性质，正三角形的性质，找到正方形旋转的规律是解题的关键．
21．(1)当t时，线段DP与⊙Q相切；
(2)0＜t或；
(3)或5或8．
【分析】（1）过点A作AN⊥BC于点N，则BNcm，由线段DP与⊙Q相切，则∠BDP＝∠BNA＝90°，利用△BDP∽△BNA，得，代入即可求出t的值；
（2）分两种情形：出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，得0＜t，当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，当点P与点E重合时，，可解决问题；
（3）分AP＝AC，PPC，CA＝CP三种情形，分别画出图形，即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意得：CP＝2tcm，BD＝2tcm，则BP＝（16﹣2t）cm，
过点A作AN⊥BC于点N，如图1，
则BNcm，
∵线段DP与⊙Q相切，
∴PD⊥BD，
∴∠BDP＝∠BNA＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDP∽△BNA，
∴，
∴，
解得t，
∴当t时，线段DP与⊙Q相切；
（2）①出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∴0＜t，
②当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∵点P与点E重合时，
∵∠BED＝∠ANB＝90°，
∴DEAN，
∵，
∴BE＝BP＝，
∵BP＋CP＝BC，
∴，
解得：t，
∵当P到点B时，t＝＝8，
∴t＜8，
∴t＜8，
综上，当0＜t或时，⊙Q与线段DP只有一个公共点；
（3）①当AP＝CP时，由题意得：CP＝2tcm，
过点A作AN⊥BC于点N，过点P作PM⊥AC于点M，如图2，
∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AN⊥BC，
∴BN＝NC，
∵AP＝CP，PM⊥AC，
∴CM，
∵∠CMP＝∠CNA＝90°，∠C＝∠C，
∴△CMP∽△CNA，
∴，
∴，
∴t；
②当AC＝CP时，如图3，
则2t＝10，
∴t＝5；
③当点P到达点B时，此时CP＝CB，
∴2t＝16，
∴t＝8，
综上，当△APC是等腰三角形时t的值为或5或8．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了动点问题，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
22．(1)；30°
(2)见详解
(3)S△AEF最小=
(4)当4＜AE≤4时，△AEF的内心在△ABC外
【分析】（1）根据30°直角三角形性质求出BC，再利用勾股定理求解，根据∠EAF＝∠B=60°，AE⊥EF，利用直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据线段垂直平分线性质得出AB=AE即可；
（3）先利用勾股定理求出EF=，利用三角形面积求出S△AEF=，根据点E在BC上，点到直线的距离最短，得出AE⊥BC即可；
（4）根据△EAF的内心是三个内角平分线的交点，当∠EAF的平分线与AC重合时，为△EAF的内心在△ABC的外部时的界点，先求∠EAC=，再证△ABE为等边三角形，求出AE=AB=4即可．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，
∴∠C=90°-∠B=30°，
∴BC=2AB=2×4=8，
在Rt△ABC中，AC=，
∵∠EAF＝∠B=60°，AE⊥EF，
∴∠F=90°-∠FAE=90°-60°=30°，
故答案为；30°；
（2）证明：∵BD＝DE，AD⊥BC，
∴AB=AE，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（ASA）；
（3）解：在Rt△AEF中，∠F=30°，
∴AF=2AE，
∴EF=，
∴S△AEF=，
∵点E在BC上，
∴AE⊥BC时，AE最短=AD，
∵S△ABC=，
∴，
∴S△AEF最小=；
（4）解：∵△EAF的内心是三个内角平分线的交点，
当∠EAF的平分线与AC重合时，为△EAF的内心在△ABC的外部时的界点，
∵∠EAF=60°，AC平分∠EAF，
∴∠EAC=，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=90°-30°=60°，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵点E在BC上，AE的最大值为AC，
∴当4＜AE≤4时，△AEF的内心在△ABC外．
【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理线段,垂直平分线性质，全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形内心定义，掌握直角三角形性质，勾股定理线段垂直平分线性质，全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形内心定义是解题关键．
23．（1），；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）在中，用勾股定理求的长；过点作交于，证明≌，则可求；
（2）过点作交于，过点作交于，可证明，从而求出，再证明，可求，则；
（3）设切点为，延长交延长线于点，过点作交于，再求的长即可；
（4）分两种情况讨论：当在左侧时，过作交于，交于，交于，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明≌，再求；当点在右边时，过作交于，交于，过点作交于，交于，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明≌，可求点到直线的距离为．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
如图，过点作交于，
，
，，
，
，
≌，
，
故答案为：，；
，，
，
在中，，
，
如图，过点作交于，过点作交于，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
：：：；
圆与边相切，
设切点为，则，
如图，延长交延长线于点，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当在左侧时，过作交于，交于，交于，交于点，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
点到的距离；
如图，当点在右边时，过作交于，交于，过点作交于，交于，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
点到直线的距离为；
综上所述：点到直线的距离为或．
【点睛】本题是圆的综合题，熟练掌握圆的性质，圆与直线的位置关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形勾股定理，数形结合，分类讨论是解题的关键．
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