湖北省武汉市洪山区2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省武汉市洪山区2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共19页。

1．在下列代表体育运动的图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．将一元二次方程x2+1＝﹣6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1，6B．1，﹣6C．1，1D．﹣1，1
3．把抛物线y＝2x2向上平移一个单位长度后，得到的抛物线是（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
4．亚洲青年运动会的图标如图所示，该图案绕中心旋转n°后，能与原来的图案重合，那么n的值可能是（ ）
A．45B．30C．60D．120
5．判断方程x2﹣9x+10＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实根B．有两个相等实根
C．有两个不等实根D．没有实根
6．如图，点C是⊙O的优弧上一点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°B．140°C．80°D．60°
7．某初中建成于2021年，9月新入校七年级学生100人（2021年该校无八、九年级学生）．连续招生三年截至2023年9月新生报到后，该校三个年级合计共有364名学生．在不考虑学生转入或转出的情况下，设该校每年新生人数年平均增长率为x，则根据以上信息可以列出方程为（ ）
A．100（1+x）2＝364
B．100+100（1+x）＝364
C．100+100（1+x）2＝364
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝364
8．已知点A（a，2），B（b，2），C（c，﹣1）都在抛物线y＝m（x﹣2）2+m2+4上，若m＜0，且点A在点B左侧，点C在第三象限，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b
9．已知函数y＝x2﹣4x的图象上有两点A（m，1）和B（n，1），则的值等于（ ）
A．22B．20C．17D．0
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝1，AD＝BD＝CD＝2，则AC＝（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上.
11．点A（1，﹣2）关于原点对称的点A′的坐标为 ．
12．如图，在△ABC中，AB为⊙O直径，∠B＝50°，∠C＝60°，则∠BOD＝ °．
13．抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是 ．
14．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径为8cm、深为2cm的小坑，则该铅球的直径为 cm．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，以下四个结论：①abc＞0；②8a+c＜0；③对于任意实数m，有am2+bm≥﹣4a﹣c；④对于实数，若（n，y1），（n+1，y2）为抛物线上两点，则y1＜y2；
其中正确的是 （填写序号）．
16．如图所示，直线l绕平行四边形ABCD顶点A转动，分别过点B，C，D作l的垂线段，垂足分别为M，N，P．已知∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝5，则BM+CN+DP的最大值为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．如图，将△ABC绕点B旋转至△DBE，点E在边AC上．已知∠C＝40°，求∠ABD的度数．
19．一张小茶几的桌面长为6dm，宽为4dm，长方形桌布的面积为桌面面积的2倍，将桌布铺在桌子上，四边垂下的长度相同（四个角除外），求桌布的长和宽．
20．如图所示，等边△ABC内接于⊙O，D为圆周上一点．
（1）求证：BD平分∠ADC；
（2）若CD＝1，AD＝2，求BD的长度．
21．如图，在11×6长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹．
（1）以C为旋转中心，将线段AC逆时针旋转90°至线段CD，连接 AD；
（2）作CE⊥AD于E；
（3）将△BCA绕C点顺时针旋转至△B'CA'，旋转角度等于∠BAC．
22．某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，7：00时该桥梁上车辆共计200辆，累计驶入车辆数y（单位：辆）与累计驶出车辆数w（单位：辆）随统计时间t（单位：min）变化的结果如表所示：
在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数y与t之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数w与t之间看作一次函数关系．
（1）直接写出y关于t的函数解析式和w关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当桥梁上车辆累计到达760辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？
（3）当桥梁上车辆累计到达1000辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始5分钟时（即7：05时），交通事故解除，驶出桥梁的车辆每min增加30辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？
23．已知△ABC为等边三角形，D为平面内一点，连接BD，CD．
【问题研究】如图1所示，当点D在△ABC内时，以B为旋转中心，将△BCD逆时计旋转60°至△BAE，连接ED，则△BED的形状为 ；延长CD交AE于M，求∠AMC的度数；
【问题拓展】如图2所示，当点D在△ABC外时，取BD中点E，连接AE，作EM⊥AE交CD的垂直平分线于M，连接DM，CM，试求∠DMC的度数．
24．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）直接写出A，B，C点的坐标；
（2）点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标；
（3）如图2所示，过A作两条直线分别交抛物线于第一象限点P，Q，交y轴于M，N，OM•ON＝n．当n为定值时，直线PQ是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含n的式子表示）；若不经过，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．
解：选项A、B、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
2．
解：一元二次方程x2+1＝﹣6x化为一般形式是x2+6x+1＝0，二次项系数和一次项系数分别为：1，6．
故选：A．
3．
解：∵抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移后的抛物线的顶点坐标是（0，1），
∴得到的抛物线解析式是y＝2x2+1．
故选：A．
4．
解：该图形被平分成八部分，旋转45°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为45．
故选：A．
5．
解：∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×10＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
6．
解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝40°，
故选：A．
7．
解：∵该校2021年9月新入校七年级学生100人，且该校每年新生人数年平均增长率为x，
∴该校2022年9月新入校七年级学生100（1+x）人，2023年9月新入校七年级学生100（1+x）2人．
根据题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．
故选：D．
8．
解：∵抛物线y＝m（x﹣2）2+m2+4（m＜0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，﹣1）都在抛物线y＝m（x﹣2）2+m2+4上，点A在点B左侧，点C在第三象限，
∴点A（a，2），C（c，﹣1）在对称轴的左侧，
∴c＜a＜b；
故选：D．
9．
解：∵函数y＝x2﹣4x的图象上有两点A（m，1）和B（n，1），
∴m2﹣4m＝1，
把y＝1代入y＝x2﹣4x得，x2﹣4x﹣1＝0，
∵函数y＝x2﹣4x的图象上有两点A（m，1）和B（n，1），
∴m，n是方程x2﹣4x＝1的两个根，
∴mn＝﹣1，m+n＝4，
∴m＝﹣，
∴
＝2m2﹣3m+5n
＝2（m2﹣4m）+5（m+n）
＝2×1+5×4
＝22．
故选：A．
10．
解：如图，以点D为圆心，DA为半径作⊙D，由于DA＝DB＝DC＝2，所以点B、点C也在圆上，延长AD交⊙D于点F，
∵AD∥BC，
∴＝，
∴AB＝CF＝1，
∵AF是⊙D的直径，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝2AD＝4，CF＝1，
∴AC＝＝．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上.
11．
解：点A（1，﹣2）关于原点对称的点A′的坐标为：（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
12．
解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝70°，
∴∠BOD＝2∠A＝140°．
13．
解：∵y＝x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
14．
解：设该铅球的半径是rcm．
在由铅球的半径、小坑的半径即半弦和弦心距组成的直角三角形中，
根据勾股定理，得r2＝（r﹣2）2+16，
解得r＝5，
故2r＝10．
故答案为：10．
15．
解：由图象可知，a＞0，c＜0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0．
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴8a+c＝3a+c+5a＞0，
故②错误；
由②知，c＝﹣3a，
∵a＞0，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，函数有最小值，最小值为a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∴对于任意实数m，有am2+bm+c≥﹣4a，
即am2+bm≥﹣4a﹣c，
故③正确；
当n＞时，n+1＞
∵对称轴为直线x＝1，
∴n+1﹣1＞，1﹣n＜，
∴y1＜y2．
故④正确；
故答案为：①③④．
16．
解：连接AC，BD交于点O，过点O作OT⊥直线l于T，在OT的延长线上截取TR＝OT，连接RN，ON，过点C作CE⊥AB于E，如图所示：
∵DP⊥直线l，BM⊥直线l，
∴四边形BMPD为直角梯形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点O为BD，AC的中点，
∵OT⊥直线l，
∴OT∥BM∥DP，
∴OT为梯形BMPD的中位线，
∴BM+DP＝2OT，
∵TR＝OT，
∴OR＝2OT＝BM+DP，
∵CN⊥直线l，
在Rt△ACN中，点O为斜边AC的中点，
∴ON＝OA＝OC，
∴△OAN为等腰三角形，
又∵OT⊥AN，
∴AT＝NT，
在△OAT和△RNT中，
，
∴△OAT≌△RNT（SAS），
∠AOT＝∠R，
∴OA∥RN，
即OC∥RN，
∵CN⊥直线l，OT⊥直线l，
∴OR∥CN，
∴四边形CNRO为平行四边形，
∴CN＝OR＝BM+DP，
∴BM+CN+DP＝2CN，
要求BM+CN+DP的最大值，只需求出CN的最大值即可，
根据“垂线段最短”可知：CN≤CA，
∴CN的最大值为线段CA的长，
∵∠ABC＝60°，BC＝5，CE⊥AB，
在Rt△CBE中，∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴BE＝BC＝2.5，
由勾股定理得：CE＝＝，
∵AB＝6，BE＝2.5，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣2.5＝3.5，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CA＝＝，
∴CN的最大值为，
∴BM+CN+DP的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．
解：（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或x＝5．
18．
解：∵将△ABC绕点B旋转至△DBE，点E在边AC上，
∴旋转角∠EBC＝∠ABD，EB＝EC，
而∠C＝40°，
∴∠BEC＝∠C＝40°，
∴∠EBC＝∠ABD＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
19．
解：设桌布垂下的长度为xdm，则由题意，
得（6+2x）（4+2x）＝2×4×6．
整理方程，得4x2+20x﹣24，即x2+5x﹣6＝0，
解得x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝1．
当x＝1时，桌布的长为2+6＝8（dm），
桌布的宽为2+4＝6（dm）．
答：桌布的长和宽分别为8dm和6dm．
20．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∠CBD＝∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠CDB，
即BD平分∠ADC；
（2）解：在DB截取DE＝DC＝1，如图，
∵∠CDE＝60°，DE＝DC，
∴△DEC为等边三角形，
∴CE＝CD，∠DEC＝60°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝120°，∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝120°，
∴∠BEC＝∠ADC，
∵∠CBE和∠CAD都对，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝CA，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴BE＝AD＝2，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3．
21．
解：（1）如图，线段CD即为所求；
（2）如图，线段CE即为所求；
（3）如图，△B'CA'即为所求．
22．
解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c（a≠0），
把（1，200），（2，380），（3，540）代入解析式得：
，
解得，
∴y关于t的函数解析式为y＝﹣10t2+210t；
设w关于t的函数解析式为w＝mx+n（m≠0），
把（1，30），（2，60）代入解析式得：，
解得，
∴w关于t的函数解析式为w＝30t；
（2）当y﹣w+200＝760时，
即﹣10t2+210t﹣30t+200＝760，
解得t1＝4，t2＝14，
∴从第4分钟将触发拥堵黄色预警；
（3）设桥梁上车辆累计Q辆，
当t≤5时，
Q＝y﹣w+200
＝﹣10t2+210t﹣30t+200
＝﹣10t2+180t+200
＝﹣10（t﹣9）2+1010，
∵﹣10＜0，
∴当t＜9时，Q随x的增大而增大，
∴当t＝5时，Q有最大值，最大值为850，
850＜1000，
∴前5分钟会触发拥堵红色预警；
当t＞5时，w＝60（t﹣5）＝60t﹣300，
Q＝y﹣w+200
＝﹣10t2+210t﹣（60t﹣300）
＝﹣10t2+150t+300
＝﹣10（t﹣7.5）2+1062.5，
∵﹣10＜0，
∴当t＝7.5时，Q有最大值，最大值为1062.5，
1062.5＞100，
∴会触发拥堵红色预警．
23．
解：（1）延长CD交AE于M，如图：
由旋转的性质可知：∠DBE＝60°，△ABE≌△CDB，
∴BD＝BE，∠AEB＝∠BDC，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE＝∠BED＝60°，
∴∠AED＝∠AEB﹣60°，∠EDM＝180°﹣∠BDC﹣60°＝120°﹣∠BDC，
∴∠AMC＝∠AED+∠EDM＝∠AEB﹣60°+120°﹣∠BDC＝60°；
故答案为：等边三角形；
（2）延长ME到N，使EN＝EM，连接AM，AN，BN，延长BN与CM交于点O，BO与AM交于点Q，如图：
∵E是BD中点，
∴BE＝DE，
又∵EM＝EN，∠BEN＝∠DEM，
∴△BEN≌△DEM（SAS），
∴BN＝DM，∠EBN＝∠EDM，
∴BN∥DM，
∵D在CD的垂直平分线上，
∴DM＝CM，
∴BN＝CM，
∵EM＝EN，AE⊥EM，
∴△AMN是等腰三角形，
∴AM＝AN，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴△ABN≌△ACM（SSS），
∴∠ANB＝∠AMC，∠BAN＝∠CAM，
∴∠ANO＝∠AMO，
又∵∠BAN+∠NAC＝∠BAC＝60°，
∴∠NAC+∠CAM＝∠NAM＝60°，
又∵∠AQN＝∠OQM，
∴∠O＝∠NAM＝60°，
又∵BN∥DM，
∴∠OMD＝∠O＝60°，
∴∠DMC＝180°﹣60°＝120°．
24．
解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，
当y＝﹣x2+2x+3＝0时，x＝﹣1或3，
即点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，BC＝3，
①当BC是边时，如下图，
当DE在BC下方时，
设DE交y轴于点T，过点T作TG⊥BC于点G，
则由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积＝BC×TG＝3×GT＝30，
则GT＝，
由OB＝OC＝3知，∠TCG＝45°，
则CT＝GT＝10，
则点T（0，﹣7），
则直线DE的表达式为：y＝﹣x﹣7，
联立y＝﹣x2+2x+3和y＝﹣x﹣7并解得：x＝5（舍去）或﹣2，
即点D（﹣2，﹣5）；
点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，
则点D向右平移3个单位向下平移3个单位得到点E，
故点E（1，﹣8）；
当DE在BC上方时，
同理可得：直线DE的表达式为：y＝﹣x+13，
经验证，该方程和抛物线无交点，
即无解；
②当BC是对角线时，如下图：
则S△BCD＝15，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则DH＝﹣x2+3x，
则S△BCD＝15＝DH×OB＝×（﹣x2+3x），
该方程无解；
综上，点E的坐标为：（1，﹣8）；
（3）经过定点，理由：
设点P、Q的坐标分别为：（a，﹣a2+2a+3）、（b，﹣b2+2b+3），
由点A、P坐标得，直线AP的表达式为：y＝﹣（a﹣3）（x+1），
当x＝0时，y＝3﹣a＝OM，
同理可得：ON＝3﹣b，
则（a﹣3）（b﹣3）＝n，
即ab﹣3（a+b）+9﹣n＝0，
设直线PQ的表达式为：y＝kx+m，
联立PQ和二次函数表达式并整理得：x2+（k﹣2）x+m﹣3＝0，
则a+b＝2﹣k，ab＝m﹣3，
则m﹣3﹣3（2﹣k）+9﹣n＝0，
即m＝n﹣3k，
则PQ的表达式为：y＝kx﹣3k+n＝k（x﹣3）+n，
则直线PQ过点（3，n）．
统计时间t/min
1
2
3
4
…
累计驶入车辆数y/辆
200
380
540
680
…
累计驶出车辆数w/辆
30
60
90
120
…