湖北省武汉市武昌区多校2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)

这是一份湖北省武汉市武昌区多校2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）方程4x2+5x＝81化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4，﹣81
解析：解：方程4x2+5x＝81化成一般形式后为4x2+5x﹣81＝0，
则它的二次项系数是4，常数项为﹣81，
故选：D．
2．（3分）2022年4月16日神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解析：解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
3．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣4
解析：解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝2，
故选：A．
4．（3分）方程4x2﹣6x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
解析：解：在方程4x2﹣6x﹣3＝0中a＝4，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84＞0，
∴关于x的一元二次方程4x2﹣6x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．（3分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
解析：解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18°B．20°C．24°D．28°
解析：解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
7．（3分）已知a，b是一元二次方程x2+5x+2＝0的两根，则a+b的值是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：∵a，b是一元二次方程x2+5x+2＝0的两根，
∴a+b＝﹣5，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
∴a+b
＝﹣﹣
＝﹣2
＝﹣2．
故选：B．
8．（3分）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）
解析：解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），
∴点A和点C关于原点对称，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D和B关于原点对称，
∵B（2，﹣1），
∴点D的坐标是（﹣2，1）．
故选：A．
9．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
解析：解：对于y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），当y＝0时，﹣x2+6x＝0，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴A1（6，0），
∵y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
∴C1（3，9）．
由题意可知A2（12，0），C2（9，﹣9），
∴可设C2：y＝a（x﹣9）2﹣9（6＜x≤12），
将A2（12，0）代入y＝a（x﹣9）2﹣9，得：0＝a（12﹣9）2﹣9，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣9）2﹣9（6＜x≤12）．
由题意又可知整个函数图象每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，
∵2024÷12＝168⋯⋯8，
∴m的值等于x＝8时的纵坐标，
∴m＝（8﹣9）2﹣9＝﹣8，
故选：C．
10．（3分）设二次函数y＝x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ）
A．c＝3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤3
解析：解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c＝0①，
∵当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴当x＝3时，y＝9+3b+c≤0②，
①②联立解得：c≥3，
故选：B．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知x2﹣8x+18＝（x﹣m）2+2，则m＝ ．
解析：解：∵x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+2＝（x﹣4）2+2，
∴m＝4．
故答案为：4．
12．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2＝0的解，则代数式2024+2a﹣b的值是 ．
解析：解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2＝0的解是x＝2，
∴4a﹣2b+2＝0，
则2a﹣b＝﹣1，
∴2024+2a﹣b＝2024+（2a﹣b）＝2024+（﹣1）＝2023．
故答案为：2023．
13．（3分）某口罩厂今年一月份口罩产值达90万元，第一季度总产值达330万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为 ．
解析：解：设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为：
80+80（1+x）+80（1+x） 2＝330．
故答案为：80+80（1+x）+80（1+x） 2＝330．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a在﹣3≤x≤1时有最大值3，则a的值为 ．
解析：解：y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，
①当a＞0 时，开口向上，
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴a＝；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，a＝或a＝﹣3．
故答案为：或﹣3．
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（﹣1，n）且与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则下列结论：①a+b+c＜0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程＝0的两根为x1、x2，则|x1﹣x2|＝2；④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+b（m+1）≤0恒成立，其中正确的有 （填写序号）
解析：解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间．
∴当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0，所以①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，所以②结论正确；
③一元二次方程ax2+（b+）x+c﹣＝0的两根为x1，x2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣x+的交点的横坐标为x1，x2，
∵直线y＝﹣x+经过点（1，0），（﹣1，n），抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间．
∴x1＝﹣1，0＜x2＜1，
∴|x1﹣x2|＜2，所以③结论错误；
④∵x＝﹣1时，函数有最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c（意实数m），
∴a（m2﹣1）+（m+1）b≤0，所以④结论正确；
故答案为：①②④．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D是BC边上的一点，∠ADC＝30°，BD＝1，，则AD＝ ．
解析：解：过C点作CK⊥CD交AD于点K，则∠KCD＝90°，
∵∠ADC＝30°
∴∠DKC＝60°，DK＝2CK，
∴∠AKC＝120°，∠ACK＝60°﹣∠CAK，
∵BD＝1，BC＝，
∴CD＝﹣1，
∴CD＝＝＝CK＝，
∴CK＝，DK＝，
作BH⊥BC交AD延长线于点H，在HD上截取HG＝HB，连接BG，
∵∠HBD＝90°，∠BDH＝∠ADC＝30°，
∴∠H＝60°，
∴△BHG是等边三角形，
∴BG＝BH，∠GBH＝∠BGH＝60°，
∴∠GBD＝∠BDH＝30°，∠BGA＝120°，
∴DG＝BG＝BH，
∵DH＝2BH，
∴BD＝＝＝BH＝1，
∴DG＝BG＝BH＝，
∴KG＝DK+DG＝+＝，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAG＝60°﹣∠CAK，
∴∠ACK＝∠BAG，
∵∠AKC＝∠BGA＝120°，
∴△AKC∽△BGA，
∴，
∴＝，
整理得3AK2+（2﹣）AK+1﹣＝0，
解得AK＝或AK＝（不符合题意，舍去），
∴AD＝AK+DK＝+＝，
故答案为：．
三、解答题。（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣1＝0
（2）x（x+4）＝3x+12．
解析：解：（1）x2+2x＝1，
x2+2x+1＝2，
（x+1）2＝2，
x+1＝±，
所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）x（x+4）﹣3（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，连接CE．
（1）求线段BE的长；
（2）直接写出S△BCE＝ ．
解析：解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
由旋转得AE＝AC＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2，
∴线段BE的长为2．
（2）∵BE＝2，AB＝10，
∴＝＝＝，
∵S△ABC＝AC•BC＝×8×6＝24，
∴S△BCE＝S△ABC＝×24＝，
故答案为：．
19．（8分）已知抛物线的顶点为C（﹣1，﹣4），交x轴于点A、B且过点（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝x+m交抛物线于B、D，求点D的坐标．
解析：解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入解析式得：﹣3＝a﹣4，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把B（1，0）代入y＝x+m得：1+m＝0，
解得m＝﹣1，
∴y＝x﹣1，
联立方程组，
解得或，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣3）．
20．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．
（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为 （直接写出结果）；
（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为 （直接写出结果）；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，若y1＜y2，则m的取值范围为 （直接写出结果）．
解析：解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴对称轴为直线x＝2，有最大值1，
当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3﹣2）2+1＝﹣24，
∴若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1，
故答案为：﹣24≤y≤1；
（2）把y＝﹣8代入y＝﹣x2+4x+3得，﹣8＝﹣x2+4x+3，解得x1＝5，x2＝﹣1，
把y＝﹣3代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x3＝0，x4＝4，
∴若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5，
故答案为：﹣1≤x≤0或4≤x≤5；
（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，
∴y1＝﹣m2+4m﹣3，y2＝﹣（m+1）2+4（m+1）﹣3＝﹣m2+2m，
∴y2﹣y1＝3﹣2m，
∵y1＜y2，
∴3﹣2m＞0，
∴m＜．
故答案为：m＜．
21．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）△ABC的形状为 ；
（2）在图1中将线段BC绕点B逆时针旋转90°，画出图形；
（3）在图1中在AC上找一点M，使∠AMP＝45°；
（4）在图2中作PN⊥AC，且PN＝AC，若AC绕某一点旋转得到PN（P与C对应），在图中标出旋转中心O．
解析：解：（1）如图，∵AC＝2，BC＝，AB＝5，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形；
（2）如图，线段BC′即为所求；
（3）如图，点M即为所求；
（4）如图，线段PN或PN′′，点O或点O′即为所求．
22．（10分）某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件25元，第x天（x为正整数）的每件进价为y元，y与x的对应关系如下（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）统计发现该网店每天卖掉的件数m＝4x+20，设该店每天的利润为w元；
①求该店每天利润的最大值；
②若该店每卖一件小商品就捐n元给某慈善组织（n＞0），该店若想在第5天获得最大利润，求n的取值范围．
解析：解：（1）通过表中数据可知，y与x的函数关系为一次函数，
设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
把x＝1，y＝12和x＝3，y＝13代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝x+；
（2）①根据题意，得：
w＝25m﹣my
＝（25﹣y）•m
＝（25﹣x﹣）（4x+20）
＝﹣2x2+44x+270
＝﹣2（x﹣11）2+512，
∵﹣2＜0，
∴当x＝11时，w有最大值，最大值为512，
∴该店每天利润的最大值为512元；
②捐赠后的利润为w′＝25m﹣my﹣nm
＝﹣2x2+44x+270﹣4nx﹣20n，
第5天的利润为：440﹣40n，
第4天的利润为：414﹣36n，
第6天的利润为：462﹣44n，
要想在第5天利润最大，
则
解得：，
∴n的取值范围为≤n≤．
23．（10分）（1）如图1，点P是△ABC内一点，PA＝PB＝PC，∠BPC＝150°，则∠BAC＝ （直接写出结果）；
（2）如图2，点P是△ABC内一点，PB＝PC，∠BPC＝90°，∠BAC＝45°，求证：PA＝PB；
（3）如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，D是BC边上的一点，BD＝2，DC＝4，则AD的最大值为 ．（直接写出结果）
解析：（1）解：∵∠BPC＝150°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝30°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA+30°＝180°，
∵PA＝PB＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，
∴2∠PAB+2∠PAC+30°＝180°，
∴∠PAB+∠PAC＝75°，
∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝75°，
故答案为：75°．
（2）证明：如图2，以点P为圆心，PC长为半径作圆，延长BP交⊙P于点E，连接AE、CE，
∵PB＝PC，∠BPC＝90°，∠BAC＝45°，
∴点B在⊙P上，∠EPC＝90°，
∵PE＝PC
∴∠BEC＝∠PCE＝45°，
∴∠BAC＝∠BEC，
∴点A在⊙P上，
∵BE是⊙P的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴PA＝BE，
∵PB＝BE，
∴PA＝PB．
（3）解：如图3，作△ABC的外接圆，圆心为点O，连接OA、OB、OC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵BD＝2，DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，
作OG⊥BC于点G，连接OD，则∠OGB＝90°，
∵OB＝OC，
∴BG＝CG＝BC＝×6＝3，∠BOG＝∠COG＝∠BOC＝×120°＝60°，
∴∠OBG＝90°﹣∠BOG＝30°，DG＝BG﹣BD＝3﹣2＝1，
∴OB＝2OG，
∴BG＝＝＝OG＝3，
∴OG＝，OA＝OB＝2×＝2，
∴OD＝＝＝2，
∵AD≤OA+OD，
∴AD≤2+2，
∴AD的最大值为2+2，
故答案为：2+2．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C
（1）如图1，m＝3．
①直接写出A、B、C三点的坐标．
②若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．
（2）如图2，过点E（m，2）作一直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，求证：OM•ON是一个定值．
解析：解：（1）①当m＝3时，y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
②如图1，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，
∵∠ACD＝45°，
∴AC＝AK，
∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，
∴K（2，1），
设直线CD的解析式为y＝kx﹣3
∴2k﹣3＝1，
∴k＝2，
∴直线CD的解析式为y＝2x﹣3，
联立，解得x＝0（舍去），或x＝4，
∴D（4，5）
（2）∵y＝x2+（1﹣m）x﹣m，
当y＝0时，x2+（1﹣m）x﹣m＝0，
解得x＝﹣1或x＝m，
∴A（﹣1，0），B（m，0），
∵过点E（m，2）作一直线交抛物线于P、Q两点，
设直线PQ的解析式为y＝ax+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴2＝am+b，b＝2﹣am，
∴直线PQ的解析式为y＝ax+2﹣am，
联立，
消去 y，得：x2+（1﹣m﹣a）x+am﹣m﹣2＝0，
∴x1+x2＝a+m﹣1，x1•x2＝am﹣m﹣2，
如图2，作PS⊥x轴于点S，作QT⊥x轴于点T，
则△AMO∽△APS，
∴，即
∴OM＝x1﹣m，
同理，ON＝﹣（x2﹣m），
∴OM•ON＝﹣（x1﹣m）（x2﹣m）＝＝﹣[am﹣m﹣2﹣m（a+m﹣1）+m2]＝2，为定值．
解法二：设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，
∴﹣k1+b1＝0，即k1＝b1，
设直线AQ的解析式为y＝k2x+b2，同理可得k2＝b2，
由，
∴x2+（1﹣m）x﹣m＝k1x+k1，
解得x1＝﹣1，x2＝m+k1，
∴xP＝m+k1，xQ＝m+k2，
设直线PQ的解析式为y＝k3x+b3，
∴k3m+b3＝2，即b3＝2﹣k3m，
由，
∴x2+（1﹣m）x﹣m＝k3x+2﹣k3m，
∴x2+（1﹣m﹣k3）x﹣m﹣2+k3m＝0，
∴xP+xQ＝m+k3﹣1，xP•xQ＝﹣m﹣2+k3m，
∴m+k1+m+k2＝m+k3﹣1，（m+k1）（m+k2）＝﹣m﹣2+k3m，
∴k1+k2＝﹣m+k3﹣1，m2+（﹣m+k3﹣1）m+k1k2＝﹣m﹣2+k3m，
∴k1k2＝﹣2，即OM•ON＝﹣k1k2＝2．
第x天
1
2
3
4
…
每件进价（单位：元）
12
12.5
13
13.5
…