2023-2024学年湖北省襄阳市谷城县石花镇九年级（上）联考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省襄阳市谷城县石花镇九年级（上）联考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若是一元二次方程，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.一元二次方程的根是(    )

A.  B.  C. ， D. ，

3.若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.下面是某同学在一次测验中解答的填空题：若，则；方程的解是；已知三角形两边分别为和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是或其中答案完全正确的题目个数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

6.若点，在抛物线上，则它的对称轴是直线(    )

A.  B.  C.  D.

7.若二次函数当时，随的增大而减小，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.把二次函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是
(    )

A.  B.  C.  D.

10.当，，时，下列图象有可能是抛物线的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.方程的一般形式是______ ；一次项为______ ．

12.是实数，且，则的值是______．

13.若，是方程的两根，则的值为______ ．

14.将二次函数化为的形式是______ ．

15.汽车刹车后行驶的距离与行驶时间秒的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是______秒．

16.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分如图，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是______米．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解下列方程：
；
．

18.本小题分
关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．
求实数的取值范围；
当时，求的值．

19.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程有两个不相等的实数根；
等腰的一边是，另两边是此方程的两个根，求的周长．

20.本小题分

如图，我区某中学计划用一块空地修建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米．计划建造车棚的面积为平方米，已知现有的板材可使新建的板墙的总长为米．为方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个米宽的门．求这个车棚的长和宽分别是多少米？

21.本小题分

如图，已知抛物线经过，两点．
求抛物线的解析式和顶点坐标；
当时，直接写出的取值范围；
点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．

22.本小题分

如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是宽，水位上升就达到警戒线，这是水面宽度为．
在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？

23.本小题分
某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量件与每件的销售价元满足关系：．
写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数关系式；
如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

24.本小题分
如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是．

求抛物线的解析式；

点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于点．
求该抛物线的解析式；
当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值；
平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程整理为，
是一元二次方程，
，即．
故选D．
先把方程整理得到方程整理为，再根据一元二次方程的定义得，则．
本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程叫一元二次方程，其一般式为、、为常数，且．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

3.【答案】 

【解析】解：已知等式整理得：，
可得，，
解得：，，
则，
故选：．
已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出与的值，即可求出的值．
此题考查了因式分解十字相乘法，多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：若，则，本选项错误；
方程，
移项得：，即，
可得或，
解得：，； 
，
因式分解得：，
可得或，
解得：，，
第三边分别为或，
若第三边为，三边长分别为，，，不能构成三角形，舍去；
若第三边为，三边长为，，，此时周长为
则这个三角形的周长是，本选项错误；
则答案完全正确的数目为个．
故选：．
开方得到或，本选项错误；将方程右边式子整体移项到左边，提取公因式，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解，即可作出判断；求出方程的解，得到第三边的长，求出三角形周长即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程因式分解法及直接开平方法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义掌握一元二次方程二次项系数不为是解题的关键根据题意得，，解之即可得到实数的取值范围．
【解答】
解：原方程为一元二次方程，且有实数根，

实数的取值范围为且．
故选A．

6.【答案】 

【解析】解：点，在抛物线上，
点，关于对称轴对称，
对称轴为直线，
故选：．
因为两点的纵坐标都为，所以点，关于对称轴对称，利用抛物线的对称性求解即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
故选：．
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：在中，当时，、；当时，；
即、、
故的面积为：；
故选：．
根据解析式求出、、三点的坐标，即的底和高求出，然后根据公式求面积．
本题考查根据解析式确定点的坐标．

9.【答案】 

【解析】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到故选D．
变化规律：左加右减，上加下减．
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．

10.【答案】 

【解析】解：，抛物线开口向上；
，对称轴为，抛物线的对称轴位于轴右侧；
，与轴的交点为在轴的正半轴上．
故选：．
根据二次函数的图象与系数的关系可知．
本题考查二次函数的图象与系数的关系．

11.【答案】； 

【解析】解：，
，
，
一次项为，
故答案为：；．
首先去括号、移项合并同类项可得，再写出一次项即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
根据非负数之和等于的性质可得关于的方程组，求出的值即可．
主要考查的是非负数之和等于的性质，此类题的性质为非负数之和等于，各项都等于，必须注意的是的值必须同时满足这两个条件．

13.【答案】 

【解析】解：，是方程的两根，
，，
，，
则．
故答案为：．
先根据一元二次方程根的概念得出，，再代入代数式计算即可．
本题主要考查一元二次方程根的概念，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．

14.【答案】 

【解析】解：，即．
故答案为．
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：

15.【答案】 

【解析】解：，
汽车从刹车到停下来所用时间是秒．
故答案为：．
利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
考查了二次函数的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题已知二次函数值，求自变量，再结合图形求．
在已知解析式中，求出时的值，根据图象，舍去不合题意的值，将求出的与相加即可．
【解答】
解：把代入中得：
，舍去，
米．
故答案为：

17.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
整理后利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：；
和是一元二次方程的两根，
，，
，
，
，
解得：，，
，
． 

【解析】根据一元二次方程有两个不相等实数根可得，可得关于的不等式，求解即可；
利用根与系数的关系可得，，由变形为，再整体代入求解即可．
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解题关键．

19.【答案】证明：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
为腰长．
将代入原方程得，
整理得：，
解得：，，
当时，原方程为，
解得：，，
三角形的三边长分别为，，，
又，
长为，，的三条边可以组成等腰三角形，
三角形的周长；
当时，原方程为，
解得：，，
三角形的三边长分别为，，，
又，
长为，，的三条边可以组成等腰三角形，
三角形的周长．
答：的周长为或． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
由可得出为腰长，将代入原方程可求出值，将的值代入原方程解之可求出等腰三角形的另两条边长，利用三角形的三边关系可确定三角形的另两条边长，再利用三角形的周长计算公式，即可求出结论．
本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；代入求出的值．

20.【答案】解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米
根据题意得：
整理得：
解得：，，
当时，舍去
当时，
答：这个车棚的长为米，宽为米． 

【解析】设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

21.【答案】解：将和代入

解得：
抛物线的解析式为：
顶点坐标为：
由于抛物线的对称轴为：，
时，

设
的高为，
、

，

，
当时，

此时方程无解，
当时，
，
解得：或，
或 

【解析】将与的坐标代入抛物线的解析式即可求出与的值．
根据图象即可求出的取值范围．
设，的高为，，由列出方程即可求出的值，从而可求出的坐标．
本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型．

22.【答案】解：解：设所求抛物线的解析式为：，
由，可设，
由，水位上升就达到警戒线，
则，
把、的坐标分别代入得：
，
解得．
；
，
拱桥顶到的距离为，
小时．
所以再持续小时到达拱桥顶． 

【解析】此题主要考查了二次函数的应用．通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决是解题的关键．
首先设所求抛物线的解析式为：，可设，利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
由可知，由此可求出从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶的时间．

23.【答案】解：依题意，，代入
化简得．


．
当时，．
每件商品售价定为元最合适，此销售利润最大为元． 

【解析】由销售利润销售价进价销售量可列出函数关系式；
应用二次函数的性质，求最大值．
本题考查的是二次函数的应用，难度一般，用配方法求出函数最大值即可．

24.【答案】解：由题意得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
点与点关于对称，
连接与交于点，则点即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，
与轴的交点为，
设直线的解析式为：，
，
解得，，，
直线的解析式为：，
则直线与的交点坐标为：
点的坐标为：．
 

【解析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．
根据抛物线经过点，对称轴是列出方程组，解方程组求出、的值即可；
因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与交于点，则点即为所求，求出直线与的交点即可．

25.【答案】解：，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，
，，
，，
该抛物线的解析式为；
抛物线的对称轴为，
当时，，，
，
，
解得：舍去；
当，即时，，，
，
，
解得舍；
当，即时，，，
，
解得：或舍；
；
当，即时，，，
，
解得舍或；
；
综上所述，的值为或；
如图：

在中，令得，
，
抛物线对称轴为直线，轴，
，
，
直线解析式为，直线解析式为，
平移后的新抛物线顶点的横坐标为，顶点始终在直线上移动，
新抛物线顶点为，
新抛物线解析式为，
当只有一个解时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点，
此时有两个相等的实数解，即有两个相等实数解，
，
解得；
当平移后的抛物线过时，把代入得：
，
解得或，
由图可知，当时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点；
综上所述，的取值范围是或． 

【解析】由，可得抛物线的顶点为，即知，，故抛物线的解析式为；
由抛物线的对称轴为，分四种情况：当时，，，可得；当，即时，；当，即时，；当，即时，，分别解方程即可得的值为或；
求出，，得直线解析式为，直线解析式为，则新抛物线解析式为，分两种情况：当只有一个解，此时有两个相等的实数解，可得，解得；当平移后的抛物线过时，，解得或，可得当时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．