湖北省荆州市监利县朱河镇初级中学2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷+

这是一份湖北省荆州市监利县朱河镇初级中学2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷+，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.将一元二次方程配方后所得的方程是( )
A. B. C. D.
3.将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( )
A. B. C. D.
4.在直角坐标系中，将点关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.用公式法解方程，得到( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的顶点在x轴上，则c的值为( )
A. 16B. C. 4D. 8
7.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围值是( )
A. B. C. 且D. 且
8.在同一直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.如图，中，，，，绕点C顺时针旋转得，当落在AB边上时，连接，取的中点D，连接，则的长度是( )
A. B. C. 3D.
10.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则其中正确的有( )
A. ①②③
B. ②④
C. ②⑤
D. ②③⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.方程的根是______.
12.已知方程的两个根是、，则______.
13.某楼盘2016年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2018年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为______.
14.已知点P在抛物线上，设点P的坐标为，当时，y的取值范围是______.
15.若将图中的抛物线向上平移，使它经过点，则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是______.
16.如图，在边长为1的正方形网格中，，，，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
解下列方程：
18.本小题8分
已知关于x的一元二次方程有两个实数根，
求m的取值范围；
当时，求m的值．
19.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，
将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后的；
平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
若和关于点P中心对称，请直接写出对称中心P的坐标．
20.本小题8分
某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长另外三边用木栏围成，木栏长
若养鸡场面积为，求鸡场靠墙的一边长．
养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．
21.本小题10分
关于x的方程
若这个方程有两个不等实根，且一个根为2，求k的值；
若以方程的两个根、为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图象上，求满足条件的k的值．
22.本小题10分
某经销商销售一种成本价为10元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元在销售过程中发现销量与售价元之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元？
设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
23.本小题10分
已知是等腰三角形，阅读下列过程，回答第2、3两问．
特殊情形：如图1，E是AC上一点，当时，有
发现探究：如图2，E是三角形ABC内一点，当，且时，则中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
拓展运用：如图3，E是三角形ABC内一点，，且，，，则______度．
24.本小题12分
如图，二次函数的图象交x轴于A、D两点并经过B点，已知A点坐标是，B点的坐标是
求二次函数的解析式；
若抛物线上是否存在一个动点P，使点P到点B、点D的距离之和最短，若存在求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．根据中心对称图形的概念逐一分析即可．
【解答】
解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选
2.【答案】C
【解析】解：，
，
，
故选：
配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3.【答案】B
【解析】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为
故选：
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：在直角坐标系中，将点关于原点的对称点是，再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是，
故选：
根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于原点的对称点，根据点的坐标向左平移减，可得答案．
本题考查了点的坐标，关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；点的坐标向左平移减，向右平移加，向上平移加，向下平移减．
5.【答案】C
【解析】解：
，，
故选：
根据题意可得，此题采用公式法解一元二次方程．采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
解题时要注意审题，采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
6.【答案】A
【解析】解：抛物线的顶点在x轴上，
，
解得，
故选：
根据抛物线的顶点在x轴上，得，从而可以解答本题．
本题主要考查二次函数的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】
解：根据题意得：，且，
解得：且
故选
8.【答案】D
【解析】解：A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数的图象可知，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
故选：
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与y轴的交点坐标为
本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9.【答案】A
【解析】解：，，，
，，，
，
是等边三角形，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
故选：
首先证明，是等边三角形，推出是直角三角形即可解决问题．
本题考查旋转的性质、30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明，是等边三角形，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：抛物线图象开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，即，所以②正确；
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①错误；
抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为，
当时，，即，所以③错误；
抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点在的右侧
当时，，
，所以④错误；
，
，
，
，
而，
，即，
，
，所以⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：
根据抛物线图象开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，即，由抛物线与y轴的交点位置得到，所以；根据二次函数的性质得当时，函数有最大值，则当时，，即；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，则当时，，所以；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算得到
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数a决定抛物线图象的开口方向和大小：当时，抛物线图象开口向上；当时，抛物线图象开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时即，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时即，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于
11.【答案】，
【解析】解：，
，
或，
，
故答案为，
先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得，方程就可转化为两个一元一次方程或，然后解一元一次方程即可．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，
【解答】
解：方程的两个根是、，
，，
故答案为
13.【答案】
【解析】解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：
，
故答案为：
该楼盘这两年房价平均降低率为x，则第一次降价后的单价是原价的，第二次降价后的单价是原价的，根据题意列方程解答即可．
此题考查了一元二次方程的应用，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴是直线，
当时y最小，最小值是0，
，
当时y最小，最小值是0，
当时，y最大，最大值为，
的取值范围为：
故答案为：
根据自变量得取值范围，把和代入抛物线计算出y的值，因为对称轴为直线，所当时函数有最小值，，即可得出答案．
本题主要考查二次函数图象点的坐标特征，根据题意由自变量的取值范围确定函数值时解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设平移后的抛物线解析式为，
把代入，得
，
解得，
则该函数解析式为
当时，，
解得：，，
此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是：，
故答案为：
设平移后的抛物线解析式为，把点A的坐标代入进行求值即可得到的值，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，即可得到结论．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
16.【答案】或
【解析】解：如图所示，旋转中心P的坐标为或
故答案为或
连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分线，其交点即为所求．
本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
17.【答案】解：，
，
或，
，
，
，
，
，
【解析】首先提取公因式得到，然后解一元一次方程即可；
先移项，再配方得到，然后开方解方程即可．
本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤以及配方的步骤，此题难度不大．
18.【答案】解：原方程有两个实数根，
，
整理得：，
解得：；
，，，
，
即，
解得：
，
符合条件的m的值为
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式有关知识.
根据一元二次方程有两个实数根，可得，据此求出m的取值范围；
根据根与系数的关系求出，的值，代入求解即可.
19.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
如图所示，点P即为所求，对称中心P的坐标为

【解析】依据以点C为旋转中心旋转，即可画出旋转后的；
依据点A的对应点的坐标为，即可画出平移后的；
依据中心对称的性质，即可得到对称中心P的坐标．
本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20.【答案】解：设宽为x米，长米，根据题意得：
，
，
解得：，
则鸡场靠墙的一边长为：米，
答：鸡场靠墙的一边长20米．
根据题意得：，
，
，
方程无实数根，
不能使鸡场的面积能达到
【解析】首先设出鸡场宽为x米，则长米，然后根据矩形的面积=长宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为，可得方程，解方程即可；
要求鸡场的面积能否达到250平方米，只需让鸡场的面积先等于250，然后看得出的一元二次方程有没有解，如果有就证明可以达到250平方米，如果方程无实数根，说明不能达到250平方米．
此题主要考查了一元二次方程的应用，熟记一元二次方程根与系数的关系．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．
21.【答案】解：根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
把代入原方程得：
，
整理得：，
解得：，舍去，
即k的值为
根据题意得：
，
，
整理得：，
根据韦达定理可知：
，，
则，
整理得：，
解得：符合题意，
即满足条件的k的值为
【解析】根据方程有两个不等实根，结合判别式公式，列出关于k得一元一次不等式，解之，根据方程的一个根为2，把代入原方程，得到关于k得一元二次方程，解之，结合k得取值范围，即可得到k得值，
根据“、为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图象上”，得到和的关系式，根据韦达定理，列出关于k的方程，解之，结合中k得取值范围，即可得到答案．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：正确掌握根的判别式公式和解一元二次方程的方法，正确掌握韦达定理和代入法．
22.【答案】解：设关系式为，把代入得：
，解得：，，
与x的之间的函数关系式为，
自变量的取值范围为：
根据题意得：，
解得：，舍去，
答：要获得平均每天168元的利润，售价应定为16元；
，
，抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
且，
当时，元，
答：W与x之间的函数关系式为，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．
【解析】考查一次函数、二次函数的应用，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错．
根据一次函数过可求出函数关系式，写出自变量x的取值范围；
根据总利润为168元列方程解答即可；
先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润．
23.【答案】150
【解析】解：是等腰三角形，，
，
，
即；
解：，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
≌，
；
解：将绕点C旋转得，连接PE，
≌，
，，，
，
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
，
，
又≌，
故答案为：
根据等腰三角形的性质得出，进而利用等式的性质解答即可；
根据等式的性质得出，进而利用SAS证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可；
由旋转构造出≌，进而得出，然后用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，在简单计算即可．
此题是三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．
24.【答案】解：将，代入，得：
，解得：，
二次函数的解析式为
，
对称轴为直线
连接AB交抛物线对称轴与点P，如图1所示．
点A，点D是抛物线与x轴的交点，
点A和点D关于对称轴对称，
，
最小．
设AB所在直线解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
所在直线解析式为，
当时，，
点P坐标为，
在抛物线对称轴上存在一个动点，使点P到点B、点D的距离之和最短．
由知，函数图象的顶点坐标为，点C坐标为
点A，点D关于对称轴直线对称且，
点D的坐标为，
设BC所在的直线解析式为，
将点，代入，得：
，解得：，
所在的直线解析式为
联立直线BC与抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，舍去，
点E的坐标为，

【解析】由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
将二次函数解析式变形为顶点式，由此可得出抛物线对称轴为直线，连接AB交抛物线对称轴与点P，利用二次函数的对称性结合两点之间线段最短，可得出此时最小，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
由可得出抛物线的顶点坐标及点C的坐标，由点A的坐标，利用抛物线的对称性可求出点D的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，联立直线BC及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可得出点E的坐标，再利用三角形的面积公式结合，即可求出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短路径问题、解方程组以及三角形的面积，解题的关键是：由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用抛物线的对称性及两点之间线段最短，确定点P的位置；联立直线BC及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点E的坐标．x
12
14
15
17
y
36
32
30
26