第六章平面向量初步单元测试题同步练习人教B版（2019）高中数学必修第二册

这是一份第六章平面向量初步单元测试题同步练习人教B版（2019）高中数学必修第二册，共16页。
 平面向量初步单元测试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是(　　)
A．＝　　　 B．＝或＝
C．＝ D．||＝||
2．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是(　　)
A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
3．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则|a＋b|等于(　　)
A．(0,6) B．6
C． D．(6，－2)
4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
5．在重600 N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　　)
A．300 N,300 N B．150 N,150 N
C．300 N,300 N D．300 N,300 N
6．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
7．如图，已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于(　　)

A．a＋b
B．a＋b
C．a－b
D．－a＋b
8．设0≤θ＜2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量长度的最大值是(　　)
A． B．
C．3 D．2
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是(　　)

A．＝ B．＋＝
C．－＝ D．＋＝0
10．已知点P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，如果E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．向量与可能平行
B．向量与不可能垂直
C．点P在线段EF上
D．PE∶PF＝2∶1
11．下列命题正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
14．下列命题中正确命题的个数为________个．
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
15．在直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M是坐标平面内的一点．
(1)若四边形APBM是平行四边形，则点M的坐标为________；
(2)若＋＝2，则点M的坐标为________．(本题第一空2分，第二空3分)
16．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知P是△ABC内一点，且＋2＋3＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，用p表示.




18．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．




19．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
20．(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．





21．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．





22．(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中点．
(1)试用a，b表示；
(2)AB上有点P，PC和BM的交点Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.
















参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是(　　)
A．＝　　　 B．＝或＝
C．＝ D．||＝||
D　[因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又与a同方向，与b同方向，所以与方向关系不确定，所以A，B，C项均不对．
又与均为单位向量，所以||＝||＝1．]
2．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是(　　)
A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
B　[因为＝(8,0)，＝(8,0)，所以＝，因为＝(4，－3)，所以||＝5，而||＝8，故为邻边不相等的平行四边形．]
3．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则|a＋b|等于(　　)
A．(0,6) B．6
C． D．(6，－2)
B　[因为|e1|＝|e2|＝1，e1与e2垂直，设e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，则a＝(3,2)，b＝(－3,4)．所以|a＋b|＝＝6.]
4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
C　[由a∥b知4＋2m＝0，∴m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(－2,4)＝(4，－8)．故选C．]
5．在重600 N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　　)
A．300 N,300 N B．150 N,150 N
C．300 N,300 N D．300 N,300 N
C　[如图，作矩形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，所以||＝||cos 30°＝300 N，||＝||sin 30°＝300 N，||＝||＝300 N．故选C．]
6．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
D　[∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb成立，∴e1＋λe2＝k·2e1，∵e1≠0，∴e1∥e2，或λ＝0，故选D．]
7．如图，已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于(　　)

A．a＋b
B．a＋b
C．a－b
D．－a＋b
B　[＝2＝2
＝＋＝a＋b.]
8．设0≤θ＜2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量长度的最大值是(　　)
A． B．
C．3 D．2
C　[∵＝－
＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，
∴||＝
＝≤3.]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是(　　)

A．＝ B．＋＝
C．－＝ D．＋＝0
ABD　[在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知－＝，所以结论中错误的是C．A、B、D均正确．]
10．已知点P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，如果E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．向量与可能平行
B．向量与不可能垂直
C．点P在线段EF上
D．PE∶PF＝2∶1
CD　[由E为AC的中点，F为BC的中点，可得＝(＋)，＝(＋)，＋2＋3＝0，即(＋)＋2(＋)＝0，可得＋2＝0，可得P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1，向量与不可能平行，可能垂直，则CD正确．AB错误．]
11．下列命题正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
BC　[A不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
B正确，由＝得||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且方向相同，且||＝||.因此，＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．
C正确，因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
D不正确，当b＝0时不成立．]
12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
ACD　[若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝2－，即有－＝－，即＝，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；
若＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，设＝2，

由图可得M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确，故选ACD．]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
－1　[∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.
∴m＝－1．]
14．下列命题中正确命题的个数为________个．
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
1　[①真命题；
②假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0；
③假命题，只有当a与b同向时才相等．]
15．在直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M是坐标平面内的一点．
(1)若四边形APBM是平行四边形，则点M的坐标为________；
(2)若＋＝2，则点M的坐标为________．(本题第一空2分，第二空3分)
(1)(6,3)　(2)(4,2)　[(1)设M(x，y)，则＝(－1，－2)，＝(5－x,1－y)．
因为四边形APBM是平行四边形，所以＝，
所以(－1，－2)＝(5－x,1－y)，所以解得所以点M的坐标为(6,3)．
(2)＝(1,2)，＝(3,0)，
＝(x－2，y－1)，
因为＋＝2，
所以(1,2)＋(3,0)＝2(x－2，y－1)，
所以(4,2)＝(2(x－2)，2(y－1))，
所以解得
所以点M的坐标为(4,2)．]
16．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．
　[设＝y，
∵＝＋＝＋y
＝＋y(－)
＝－y＋(1＋y).
∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
∴y∈，
∵＝x＋(1－x)，
∴x＝－y，∴x∈.]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知P是△ABC内一点，且＋2＋3＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，用p表示.
[解]　∵＝＋，＝＋，
∴(＋)＋2(＋)＋3＝0，
即＋3＋2＋3＝0.
又∵A，Q，B三点共线，C，P，Q三点共线，
∴设＝λ，＝μ.
∴λ＋3＋2＋3μ＝0，
∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0，
又∵，为不共线的向量，
∴
解得λ＝－2，μ＝－1，
∴＝－＝，故＝＋＝2＝2p.
18．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．

[解]　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，
＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，得解得
∴＝，∴AP∶PM＝4∶1．
19．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
[解]　(1)当m＝8时，＝(8,3)，设＝λ1＋λ2，
∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，
∴解得
∴＝－3＋.
(2)若A，B，C三点能构成三角形，则有与不共线，
又＝－＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，
＝－＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，
则有1×4－(m－2)×1≠0，∴m≠6.
20．(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．
[解]　以O为原点，e1，e2的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy(图略)，
则＝(2，m)，＝(n，－1)，＝(5，－1)，
所以＝(3，－1－m)，＝(5－n,0)，
又因为A，B，C三点在一条直线上，所以∥，
所以3×0－(－1－m)(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组解得或
21．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
[解]　(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因为A，E，C三点共线，
所以存在实数k，使得＝k，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
所以解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝.设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)，因为＝(－7，－2)，所以
解得即点A的坐标为(10,7)．
22．(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中点．
(1)试用a，b表示；
(2)AB上有点P，PC和BM的交点Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.
[解]　(1)＝(＋)
＝(＋＋2)＝a＋b.
(2)设＝t，则＝＋＝＋＝2＋(＋)＝t＋＝(a＋tb)．
设＝λ＝a＋b，
由于，不共线，则有
解方程组，得λ＝，t＝.
故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.