专题11.1 三角形的三边关系、高线、中线及角平分线之十大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

这是一份专题11.1 三角形的三边关系、高线、中线及角平分线之十大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），共5页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31419" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31419 \h 1
\l "_Tc29789" 【考点一三角形的分类】 PAGEREF _Tc29789 \h 1
\l "_Tc17429" 【考点二构成三角形的条件】 PAGEREF _Tc17429 \h 3
\l "_Tc2565" 【考点三确定第三边的取值范围】 PAGEREF _Tc2565 \h 5
\l "_Tc6178" 【考点四画三角形的高】 PAGEREF _Tc6178 \h 7
\l "_Tc4208" 【考点五与三角形的高有关的计算问题】 PAGEREF _Tc4208 \h 9
\l "_Tc14405" 【考点六根据三角形中线求长度】 PAGEREF _Tc14405 \h 11
\l "_Tc25727" 【考点七根据三角形的中线求面积】 PAGEREF _Tc25727 \h 13
\l "_Tc13011" 【考点八三角形角平分线的定义】 PAGEREF _Tc13011 \h 16
\l "_Tc21568" 【考点九利用网格求三角形面积】 PAGEREF _Tc21568 \h 18
\l "_Tc31345" 【考点十三角形的稳定性】 PAGEREF _Tc31345 \h 21
\l "_Tc6503" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6503 \h 22
【典型例题】
【考点一三角形的分类】
例题：（2023·江苏·七年级假期作业）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确D．甲的分法正确，乙的分法错误
【答案】D
【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形(三条边都不相等)，等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形)；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可.
【详解】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角形.
【变式训练】
1．（2023·全国·八年级假期作业）图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
【答案】D
【分析】根据图中信息即可判定．
【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角．
2．（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段为公共边的三角形是___________．
（3）线段所在的三角形是_______，边所对的角是________．
【答案】6，，，，
【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形；
（2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形；
（3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角；
【详解】（1）由图可知，
图中三角形有、、、、、，
图中有6个三角形，
由图可知，直角三角形有，，；
故答案为：6，，，；
（2）由图可知，
以线段为公共边的三角形是，，；
故答案为：，，；
（3）由图可知，
线段所在的三角形是，
边所对的角是；
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键．
【考点二构成三角形的条件】
例题：（2023春·广东茂名·七年级校考期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，4B．4，9，5C．5，18，8D．9，15，3
【答案】A
【分析】根据已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和，分别判断即可．
【详解】解：A、因为，则这三条线段能构成三角形，故本选项符合题意；
B、因为，则这三条线段不能构成三角形，故本选项不合题意；
C、因为，则这三条线段不能构成三角形，故本选项不合题意；
D、因为，则这三条线段不能构成三角形，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，得出组成三角形的条件是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·湖南长沙·七年级长沙市长郡梅溪湖中学校考阶段练习）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，5，8B．3，3，6C．3，4，5D．4，5，9
【答案】C
【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形根据这个关系即可确定选择项．
【详解】A、∵，∴不能构成三角形，排除；
B、∵，∴不能构成三角形，排除；
C、∵，∴能构成三角形，符合题意；
D、，∴不能构成三角形，排除；
故选：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，解题的关键是掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如果三条线段长度的比是：①，②，③，④，⑤，⑥．那么其中可构成三角形的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系进行求解判断即可．
【详解】解：①中，设三边为，由可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；
②中，设三边为，由可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；
③中，设三边为，由可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；
④中，设三边为，由可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；
⑤中，设三边为，由，可得，三边能构成三角形，故符合要求；
⑥设三边为，由，，可得，三边能构成三角形，故符合要求；
∴共有2个能构成三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系．熟练掌握三角形中三边关系满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【考点三确定第三边的取值范围】
例题：（2023春·黑龙江绥化·七年级校联考期中）若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______．
【答案】7或9或11
【分析】设第三边为a，根据三角形的三边关系可得：，然后再根据第三边是偶数，确定a的值即可．
【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系可得：．
即：，
∵周长是偶数，
∴第三边的长为奇数，即：或或．
∴第三边长为7或9或11．
故答案为：7或9或11．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【变式训练】
1．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）三角形的两边长分别是2、7，若第三边长为奇数，则此三角形第三边的长是______．
【答案】7
【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，然后再确定x的值即可．
【详解】解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和7，
∴，
即：，
∵第三边长为奇数，
∴，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为
(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）
(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；
（1）根据绝对值和平方的非负性可确定，的值，从而得出的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵三角形的第一条边长为，第二条边长为，
∴第三条边长的取值范围是，
即，
∴第三条边长的取值范围是；
（2）∵，满足，第三条边长为整数，
∴，
∴，
∴，即，
则三角形的周长为：，
∵为整数，
∴可取最大值为，
此时这个三角形周长的最大值为，
∴这个三角形周长的最大值为．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【考点四画三角形的高】
例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
【详解】解：中边上的高即为过点B作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A．线段是的高，选项不符合题意；
B．线段是的高，选项不符合题意；
C．线段是的高，选项不符合题意；
D．线段是的高，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，，点，，是垂足，下列说法错误的是（ ）
A．中，是边上的高B．中，是边上的高
C．中，是边上的高D．中，是边上的高
【答案】B
【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．
【详解】解：A、中，是边上的高，故此选项正确，不符合题意；
B、中，不是边上的高，故此选项错误，符合题意；
C、中，是边上的高故此选项正确，不符合题意；
D、中，是边上的高，故此选项正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶点，②垂直于这个顶点的对边．
【考点五与三角形的高有关的计算问题】
例题：（2023春·广东惠州·七年级校联考期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（ ）

A．3B．4C．5D．
【答案】D
【分析】根据面积相等即可求出点C到的距离．
【详解】解：∵在直角三角形中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查点到直线的距离，求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，分别是的高，，，，求的长．

【答案】．
【分析】根据三角形的面积公式即可求得．
【详解】解：，分别是的高，
∴，
∴，
，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积底高．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．

(1)求的面积；
(2)求的长；
(3)和的面积有何关系？
【答案】(1)30
(2)
(3)和的面积相等
【分析】（1）利用面积公式进行计算即可；
（2）利用面积公式进行求解即可；
（3）利用中线平分面积，作答即可．
【详解】（1）解：的面积；
（2）∵的面积，，
∴；
（3）∵为的中线，
∴，
∵的边上的高为，
∴．
即：和的面积相等．
【点睛】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角形面积，是解题的关键．
【考点六根据三角形中线求长度】
例题：（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，是的中线，，．若的周长为16，则周长为__________．

【答案】18
【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的中线，
，
的周长为16，
，
，
，
，
．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为______．

【答案】4
【分析】依据的周长为，的周长比的周长大2，可得，由此即可解题．
【详解】解：∵的周长为，，
∴，
∵的周长比的周长大2，
∴，
∴，，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形三角形中线的定义，解题时注意：中线分成的两个三角形周长差等于边长差．
2．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．

(1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长；
(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出即可解决问题；
（2）根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据角的和差关系即可求出；
【详解】（1）解：是边上的高，，的面积为24，
，
为边上的中线，
是的中点，
．
（2）解：为边的高，
，．
．
为的角平分线，
，
．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题．
【考点七根据三角形的中线求面积】
例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，的面积为20，点，，分别为的中点，则阴影部分的面积为（ ）

A．4B．5C．6D．10
【答案】B
【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明，再证明即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，

为中点，
.
同理可得，，.
的面积为20，
.
，
.
故选B．
【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，是的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】如图，首先证明（设为λ），（设为μ）；进而证明，，得到，进而得到，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题
【详解】解：∵是的中线，
∴；
∴（设为λ），
（设为μ），
，
∴；
同理可证：，
即，；
∴选项（1）、（2）、（3）均成立，
选项（4）不成立，
故选：C．
【点睛】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是________．

【答案】8
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】∵点F是的中点，的面积为，
∴．
∵点E是的中点，
∴，．
∴．
∴，
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理是等底同高的三角形面积相等．
【考点八三角形角平分线的定义】
例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，，平分，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，，可得，再由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，即可得到结果．
【详解】解：如图，∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质可角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键．
2．（2023春·上海·七年级阶段练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．
【答案】见解析
【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，即可证明结论．
【详解】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴BC//DE．
【点睛】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键．
【考点九利用网格求三角形面积】
例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求的面积．

【答案】
【分析】利用割补法由正方形的面积减去三个三角形的面积即可．
【详解】解：如图，

．
【点睛】本题考查的是求解网格三角形的面积，熟知割补法求解图形面积是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为的网格，每一小格均为正方形，已知．

(1)画出中边上的中线；
(2)画出中边上的高．
(3)直接写出的面积为_________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)6．
【分析】（1）取的中点，连接，即为所求；
（2）取格点，连接，即为所求；
（3）用直接利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）如图，即为所求；

（3）；
故答案为：6．
【点睛】本题考查格点画三角形的中线和高线，求三角形的面积．熟练掌握中线和高线的定义，是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）根据三角形的中线的定义画出图形即可；
（3）利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；

（2）如图，线段即为所求；
（3）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三角形的高，中线的定义，属于中考常考题型．
【考点十三角形的稳定性】
例题：（2023·山西运城·统考二模）学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ）

A．三角形的稳定形B．四边形的不稳定性
C．勾股定理D．黄金分割
【答案】B
【分析】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
故选：B
【点睛】本题考查四边形的不稳定性，抓住题意的关键词从而解决问题．
【变式训练】
1．（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）近日，中亚峰会于5月18日至19日在西安举行，暮色中的大唐芙蓉园流光溢彩，美轮美奂．工人师傅在楼阁上固定木制门框用来张贴欢迎条幅，为了防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是___．

【答案】三角形具有稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：根据题意，为了防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，能够运用数学知识解释生活中的现象是解答的关键．
2．（2023春·九年级单元测试）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的_____（选填“稳定性”或“不稳定性”）．
【答案】稳定性
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．9，6，13B．6，8，16C．18，9，8D．3，5，9
【答案】A
【分析】利用三角形的三边关系逐一进行分析即可得到答案．
【详解】解：A、，能摆成三角形，符合题意，选项正确；
B、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误；
C、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误；
D、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考阶段练习）长为9，6，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（ ）种选法．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．
【详解】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，3和9，5，3和6，5，3；
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和6，5，3．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在判断三个数是否能不能构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（2023春·天津南开·七年级统考期中）如图，点B，C，D在一条直线上，，的面积为12，则的面积为（ ）

A．6B．12C．18D．24
【答案】D
【分析】过点A作于点H，根据三角形的面积公式结合即可求出的面积．
【详解】解：过点A作于点H，
∵的面积为12，
∴，
∵，
∴的面积．
故选：D．

【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，掌握与有相同的高是解决问题的关键．
4．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在中，是钝角，下列图中作边上的高线，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】解：在中，是钝角，边上的高线就是过点A作边的垂线得到的线段，如图，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．掌握定义是解题的关键．
5．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，，，分别是的中线，角平分线，高．则下列各式中错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵，，分别是的中线，角平分线，高，
A、，故该选项正确，不符合题意；
B、不一定相等，故该选项不正确，符合题意；
C、，故该选项正确，不符合题意；
D、，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的定义，熟练掌握三角形的中线，角平分线，高的定义是解题的关键．
二、填空题
6．（2023·江苏连云港·统考中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是__________．（只填一个即可）
【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可．
【详解】解：设第三边长为x，由题意得：
，
则，
故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
7．（2023秋·重庆忠县·八年级统考期末）在中，若，则的形状是_________三角形（填钝角、直角和锐角）．
【答案】锐角
【分析】根据三角形的内角和，以及三角形的三个角之间的比例，计算出最大角的度数，并且判断出三角形的类型即可．
【详解】∵三角形内角和为，，
∴，
即为锐角，
故答案为锐角．
【点睛】本题考查三角形的内角和，三角形的分类，能够根据三个角之间的比例计算出每个角的度数是解决本题的关键．
8．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）西双版纳大桥是云南省境内一座桥梁，位于西双版纳州府景洪市，跨越澜沧江，是西双版纳十大标志性建筑之一，如图，西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是________．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
9．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，是的中线，若，，则与的周长之差为____________．
【答案】1
【分析】利用三角形的中线的定义可知，所以两个三角形的周长差即为．
【详解】解：∵，，
∴．
又∵是中线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段．
10．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，为的中线，点，分别在，上，且满足，．若四边形（图中阴影部分）的面积为16，则的面积为________．

【答案】36
【分析】根据三角形中线与面积的关系，等高模型进行求解即可．
【详解】设的面积为，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵为的中线，
∴，
∴，
则，
解得，
∴，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·七年级单元测试）如图，的中线相交于点F，
(1)图中与面积相等是三角形有____个（不含）；
(2)若的面积是，求四边形的面积．
【答案】(1)3/三
(2)
【分析】（1）利用三角形中线的性质即可推导出，问题即可解答；
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，用①，②，再用即可表示出，问题即可得解．
【详解】（1）∵分别是的中线，
∴ ，
∴ ，，
即，
∴与面积相等的三角形共有3个
故答案为：3
（2）如图，
∵和是的两条中线，
∴，
即①，
②，
①−②得：，
∴．
∴．
∵
【点睛】本题主要考查了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
12．（2023春·广东揭阳·七年级校联考阶段练习）已知的三边长是a，b，c.
(1)若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简
【答案】(1)4或6
(2)
【分析】（1）先根据三角形三边关系确定c边的范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数确定c边的长；
（2）根据三角形三边关系确定，再根据绝对值的意义，化简绝对值的即可．
【详解】（1）解：∵的三边长是a，b，c，，，
∴，
即，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴或；
（2）解：∵的三边长是a，b，c，
∴，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
13．（2023·全国·八年级假期作业）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知△ABC的三个顶点均在格点上．按要求画图：
(1)画出△ABC的边BC上的高AD；
(2)连接格点，用一条线段将△ABC分成面积相等的两部分；
(3)直接写出△ABC的面积________．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)10
【分析】（1）根据题意画出高，即可解答；
（2）作边上的中线，即可解答；
（3）以为底，边上的高为4，根据三角形面积公式，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图，E为的中点，
（3）解：．
【点睛】本题考查了三角形的三线，熟知概念是解题的关键．
14．（2023春·上海普陀·七年级统考期中）如图，在°．

(1)画出边上的中线；
(2)点到直线的距离是线段的长；
(3)画出边上的高；
(4)点到直线的距离是线段的长．（不需写画法和结论）
【答案】(1)见解析
(2)MB
(3)见解析
(4)CH
【分析】（1）根据三角形的中线的定义画出图形；
（2）根据点到直线的距离的定义判断即可；
（3）根据三角形的高的定义画出图形；
（4）根据点到直线的距离的定义判断即可．
【详解】（1）如图，线段即为所求；
（2）点到直线的距离是线段的长．
故答案为：；
（3）如图，线段即为所求；
（4）点到直线的距离是线段的长．
故答案为：．

【点睛】本题考查作图复杂作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，属于中考常考题型．
15．（2023春·七年级单元测试）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)通过观察，可以发现是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或针角三角形
(2)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线；
(3)的面积为______，的面积为_____．
【答案】(1)C
(2)作图见解析
(3)12，6
【分析】（1）根据给定的三角形，结合三角形在格点的位置，得出为直角，进而可得答案；
（2）根据为线段的中点，为的平分线，结合格点确定的位置，然后作图即可；
（3）割补法求的面积，根据，求的面积即可．
【详解】（1）解：由格点可知，，
∴是直角三角形，
故选：C；
（2）解：∵为线段的中点，作图如下，
由（1）可知，为的平分线，作图如下：
（3）解：由题意知，
∴，
故答案为：12，6．
【点睛】本题考查了中线，角平分线，三角形与格点等知识．熟练掌握知识并灵活运用是解题的关键．