专题11.1 三角形的三边关系、高线、中线及角平分线（10考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc570" 【典型例题】 PAGEREF _Tc570 \h 1
\l "_Tc15036" 【考点一 三角形的分类】 PAGEREF _Tc15036 \h 1
\l "_Tc7010" 【考点二 构成三角形的条件】 PAGEREF _Tc7010 \h 3
\l "_Tc16857" 【考点三 确定第三边的取值范围】 PAGEREF _Tc16857 \h 4
\l "_Tc106" 【考点四 画三角形的高】 PAGEREF _Tc106 \h 6
\l "_Tc19786" 【考点五 与三角形的高有关的计算问题】 PAGEREF _Tc19786 \h 8
\l "_Tc12708" 【考点六 根据三角形中线求长度】 PAGEREF _Tc12708 \h 10
\l "_Tc13716" 【考点七 根据三角形的中线求面积】 PAGEREF _Tc13716 \h 12
\l "_Tc8446" 【考点八 三角形角平分线的定义】 PAGEREF _Tc8446 \h 15
\l "_Tc6787" 【考点九 利用网格求三角形面积】 PAGEREF _Tc6787 \h 17
\l "_Tc22105" 【考点十 三角形的稳定性】 PAGEREF _Tc22105 \h 20
\l "_Tc22164" 【过关检测】 PAGEREF _Tc22164 \h 22
【典型例题】
【考点一 三角形的分类】
例题：（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【变式训练】
1．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）

A．①对，②不对B．②对，①不对C．①、②都不对D．①、②都对
2．（22-23八年级上·全国·单元测试）三角形按边长关系，可分为（ ）
A．等腰三角形，等边三角形B．直角三角形，不等边三角形C．等腰三角形，不等边三角形D．直角三角形，等腰三角形
3．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ）
A．表示等边三角形B．表示锐角三角形
C．表示等腰三角形D．表示三边都不相等的三角形
【考点二 构成三角形的条件】
例题：（22-23七年级下·吉林长春·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．15，12，20B．4，7，11C．6，7，15D．5，5，10
2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2、2、3B．2、2、5C．5、5、11D．1、2、3
3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3，7，10B．6，8，16C．13，11，20D．6，6，12
【考点三 确定第三边的取值范围】
例题：（23-24七年级下·江苏徐州·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第三边的长是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）三角形三边长分别为2，a，4．则a的取值范围是 ．
2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如果的两边长a、b满足条件，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 ．
3．（23-24七年级下·河南平顶山·阶段练习）一个三角形的两边长分别为5和7，若第三边x为最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ．
【考点四 画三角形的高】
例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，，点，，是垂足，下列说法错误的是（ ）
A．中，是边上的高B．中，是边上的高
C．中，是边上的高D．中，是边上的高
【考点五 与三角形的高有关的计算问题】
例题：（2023春·广东惠州·七年级校联考期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（ ）

A．3B．4C．5D．
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，分别是的高，，，，求的长．

2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．

(1)求的面积；
(2)求的长；
(3)和的面积有何关系？
【考点六 根据三角形中线求长度】
例题：（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，是的中线，，．若的周长为16，则周长为__________．

【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为______．

2．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．

(1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长；
(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．
【考点七 根据三角形的中线求面积】
例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，的面积为20，点，，分别为的中点，则阴影部分的面积为（ ）

A．4B．5C．6D．10
【变式训练】
1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，是的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是________．

【考点八 三角形角平分线的定义】
例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，，平分，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．
2．（2023春·上海·七年级阶段练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．
【考点九 利用网格求三角形面积】
例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求的面积．

【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为的网格，每一小格均为正方形，已知．

(1)画出中边上的中线；
(2)画出中边上的高．
(3)直接写出的面积为_________．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
【考点十 三角形的稳定性】
例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）三角形在日常生活和生产中有很多应用，如家用梯子的设计中都有三角形结构，这样做的依据是三角形具有 ．
2．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 .
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）下列每组数分别是三个木棒的长度（单位：），能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3 ，4 ，7B．1 ，5 ，8C．2 ，2 ，4D．9 ，9 ， 1
2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，2024年4月27日龙里河大桥正式通车运营，该桥是世界首座车行道与玻璃步道共桥面的高山峡谷景观桥，大桥为双塔双索面叠合梁半漂浮体系斜拉桥，如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）

A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．三角形的稳定性D．三角形任意两边之和大于第三边
3．（24-25八年级上·全国·课前预习）下列各图中，正确画出边上的高线的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段是边上的高B．线段是边上的高
C．线段是边上的高D．线段是边上的高
5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为（ ）．
A．3B．6C．9D．12
二、填空题
6．（22-23七年级上·四川泸州·开学考试）一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形．
7．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ．
8．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在边上，．若，则 ．
9．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是，若线段能围成三角形，则x的范围是 ．
10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号）
三、解答题
11．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足．
(1)求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若，求的取值范围．
12．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a、b、c是一个三角形的三边长．
(1)若，，则c的取值范围是_______．
(2)试化简：．
13．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线．
(1)在中作边上的高；
(2)若的面积为，，求的长．
14．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上．
(1)在图①中，在右侧找到格点，使；
(2)在图②中，画出，使；
(3)在图③中，画射线，使平分四边形的面积．
15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，已知分别是的高和中线，，．
试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
16．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图1，在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图1，用，分别表示和的面积．
则，．
∵，∴．
【性质应用】
(1)如图2，D是的边上的一点．若，，则______．
(2)如图3，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则______，______．
(3)如图3，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则______．