2022-2023学年江苏省淮安市北京师大淮安学校高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省淮安市北京师大淮安学校高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，3}，集合B＝{x|1＜x＜12}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1＜x＜3}B．（1，3）C．{1}D．{3}
2．（5分）已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，有下列四个命题：甲：，乙：r＝1，丙：，丁：．若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．（5分）已知函数，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣5，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，+∞）
4．（5分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（ ）倍．
A．103B．3C．lg3D．10﹣3
5．（5分）已知x∈（，π），sinx+sin（x），则tanx＝（ ）
A．﹣3B．C．﹣3或D．
6．（5分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知a＝lg0.22，b＝30.3，c＝lg32，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜a
8．（5分）已知定义在[﹣3，3]的函数y＝f（x+1）﹣2是奇函数，且对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，4]，都有x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）．则满足f（2x）+f（1﹣x）≤4的x的取值范围是（ ）
A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]
三、多项选择题
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．如果α是第一象限的角，则﹣α是第四象限的角
B．如果α，β是第一象限的角，且α＜β则sinα＜sinβ
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝lga|x﹣2|+4（a＞0且a≠1）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则的值可能是（ ）
A．2B．3C．D．
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，且ab﹣4a﹣b＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞1
B．ab的最小值为16
C．a+b​的最小值为8
D．​的最小值为2
（多选）12．（5分）在平面直角坐标系中，角α的始边为x的正半轴，终边经过点（﹣1，2），则下列式子正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若α为钝角，则
三、填空题
13．（5分）的值为 ．
14．（5分）已知函数f（x）和g（x）分别由如表给出：
则g（f（2））＝ ，不等式f（g（x））＞8的解集为 ．
15．（5分）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为π，则该勒洛三角形的面积为 ．
16．（5分）函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．现已知函数，设定义域为R的函数g（x）关于（1，1）中心对称，若，且f（x）与g（x）的图象共有2022个交点，记为Ai（xi，yi）（i＝1，2，⋯，2022），则（x1+y1）+（x2+y2）+⋯+（x2022+y2022）＝
四、解答题
17．（10分）已知集合，集合B＝{x||x﹣1|＞a}．
（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知角θ是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点．
（1）写出三角函数sinθ，csθ的值；
（2）求的值．
19．（12分）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上最大值和最小值的和为12，令．
（1）求实数a的值，并探究f（x）+f（1﹣x）是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；
（2）若f（x）＝k在[1，2]上有解求k的取值范围
（3）解不等式：f（1﹣x）+2f2（x）＜1．
20．（12分）已知函数．
（1）化简f（x）；
（2）若，求的值．
21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为实数）．
（1）若f（x）＜0的解集为（1，2），求不等式cx2+bx+a＜0的解集；
（2）若对任意x∈R，b＞0时，f（x）≥0恒成立，求的最小值；
（3）若对任意x∈R，2x+2≤f（x）≤2x2﹣2x+4恒成立，求ab的最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝lgm．
（1）若f（x）的定义域为[α，β]，（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以说明；
（2）当0＜m＜1时，使f（x）的值域为[lgm[m（β﹣1）]，lgm[m（α﹣1）]]的定义域区间为[α，β]（β＞α＞0）是否存在？请说明理由．
2022-2023学年江苏省淮安市北京师大淮安学校高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，3}，集合B＝{x|1＜x＜12}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1＜x＜3}B．（1，3）C．{1}D．{3}
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，3}，集合B＝{x|1＜x＜12}，
∴A∩B＝{3}．
故选：D．
2．（5分）已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，有下列四个命题：甲：，乙：r＝1，丙：，丁：．若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：∵Slr，l＝αr同时成立，
∴结合题干信息可推断出r＝2，
∴乙命题错误．
故选：B．
3．（5分）已知函数，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣5，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，+∞）
【解答】解：函数有意义，则﹣x2﹣4x+5＞0，解得﹣5＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（﹣5，1），
函数u＝﹣x2﹣4x+5在（﹣5，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，而函数y＝lg2u在（0，+∞）上单调递增，
因此函数f（x）在（﹣5，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣5，﹣2）．
故选：B．
4．（5分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（ ）倍．
A．103B．3C．lg3D．10﹣3
【解答】解：当M＝7.0时，lgE1＝4.8+1.5×7＝15.3，所以，
当M＝9.0时，lgE2＝4.8+1.5×9＝18.3，所以，
则103，
即日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的103倍，
故选：A．
5．（5分）已知x∈（，π），sinx+sin（x），则tanx＝（ ）
A．﹣3B．C．﹣3或D．
【解答】解：∵sinx+sin（x），
∴sinx+csx，
∴，
∵x∈（，π），
∴，
∴sin（），
∴sinx，
∵x∈（，π），
∴，
∴．
故选：A．
6．（5分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：，，
∴；
∴，∴．
故选：C．
7．（5分）已知a＝lg0.22，b＝30.3，c＝lg32，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜a
【解答】解：因为a＝lg0.22＜0，
b＝30.3＞1，
0＜c＝lg32＜1，
所以a＜c＜b．
故选：C．
8．（5分）已知定义在[﹣3，3]的函数y＝f（x+1）﹣2是奇函数，且对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，4]，都有x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）．则满足f（2x）+f（1﹣x）≤4的x的取值范围是（ ）
A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]
【解答】解：因为函数y＝f（x+1）﹣2在[﹣3，3]上是奇函数，
所以f（x+1）﹣2＝﹣[f（﹣x+1）﹣2]，
即f（x+1）+f（﹣x+1）＝4．
又因为对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，4]，都有x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），
所以对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，4]，都有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0，
这表明函数f（x）在[1，4]上单调递减．
而f（2x）+f（1﹣x）≤4等价于f（2x）≤4﹣f（1﹣x），
即f（2x）≤f（x+1），
所以，解得1≤x≤2，
所以满足f（2x）+f（1﹣x）≤4的x的取值范围是[1，2]．
故选：B．
三、多项选择题
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．如果α是第一象限的角，则﹣α是第四象限的角
B．如果α，β是第一象限的角，且α＜β则sinα＜sinβ
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为
【解答】解：因为α是第一象限的角，则﹣α是与α旋转方向相反、大小相等的角，
所以﹣α是第四象限的角，故选项A正确；
因为α，β是第一象限的角，且α＜β，不妨取，
则，所以sinα＞sinβ，故选项B错误；
因为圆心角为的扇形的弧长为π，所以扇形的半径为，
则扇形的面积为，故选项C错误；
圆心角为的扇形的弦长为，所以扇形的半径为，
则扇形的弧长为，故选项D正确．
故选：AD．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝lga|x﹣2|+4（a＞0且a≠1）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则的值可能是（ ）
A．2B．3C．D．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lga|x﹣2|+4（a＞0且a≠1）的图象经过定点A，
则A（1，4）或（3，4），
当A为（1，4）时，且点A在角θ的终边上，则sinθ，tanθ＝4，
则，
当A为（3，4）时，且点A在角θ的终边上，则sinθ，tanθ，
则2，
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，且ab﹣4a﹣b＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞1
B．ab的最小值为16
C．a+b​的最小值为8
D．​的最小值为2
【解答】解：A：因为a＞0，b＞0，且ab﹣4a﹣b＝0，
所以11，
所以a＞1，A正确；
B：ab＝4a+b，当且仅当4a＝2b且ab﹣4a﹣b＝0，即a＝2，b＝8时取等号，
解得ab≥16，B正确；
C：由已知变形可得1，
所以a+b＝（a+b）（）＝59，当且仅当b＝2a且ab﹣4a﹣b＝0，即a＝3，b＝6时取等号，C错误；
D：由题意得1
所以a，
所以1＝2，当且仅当b＝6时取等号，D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）在平面直角坐标系中，角α的始边为x的正半轴，终边经过点（﹣1，2），则下列式子正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若α为钝角，则
【解答】解：因为角α终边经过点（﹣1，2），
则，
对于A：，
故A错误；
对于B：，
故B错误；
对于C：，
故C正确；
对于D：因为当，y＝csα单调递减，
而，
即，
所以，
故D正确．
故选：CD．
三、填空题
13．（5分）的值为 1 ．
【解答】解：原式．
故答案为：1．
14．（5分）已知函数f（x）和g（x）分别由如表给出：
则g（f（2））＝ 2 ，不等式f（g（x））＞8的解集为 {3，5，6} ．
【解答】解：根据题意，由所给的表格，f（2）＝4，则g（f（2））＝g（4）＝2，
若f（g（x））＞8，则g（x）＝3、4或5，
若g（x）＝3，必有x＝3，
若g（x）＝4，必有x＝5，
若g（x）＝5，必有x＝6，
故x＝3、5或6，即不等式f（g（x））＞8的解集为{3，5，6}；
故答案为：2；{3，5，6}．
15．（5分）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为π，则该勒洛三角形的面积为 ．
【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，
则，解得a＝3，
所以弧AB与AC，BC围成的扇形的面积为πa2，
所以该勒洛三角形的面积．
故答案为：．
16．（5分）函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．现已知函数，设定义域为R的函数g（x）关于（1，1）中心对称，若，且f（x）与g（x）的图象共有2022个交点，记为Ai（xi，yi）（i＝1，2，⋯，2022），则（x1+y1）+（x2+y2）+⋯+（x2022+y2022）＝ 4044
【解答】解：根据题意，当a时，（x﹣1）1，
则f（x+1）﹣1x，易得函数f（x+1）﹣1为奇函数，则f（x）的图象关于点（1，1）中心对称，
又由函数g（x）关于（1，1）中心对称，
则两个函数的交点也关于点（1，1）对称，
则有x1+x2+……+x2022＝2022，y1+y2+……+y2022＝2022，
故（x1+y1）+（x2+y2）+⋯+（x2022+y2022）＝（x1+x2+……+x2022）+（y1+y2+……+y2022）＝4044．
故答案为：4044．
四、解答题
17．（10分）已知集合，集合B＝{x||x﹣1|＞a}．
（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）{x|x}，
当a＝2时，B＝{x||x﹣1|＞a}＝{x||x﹣1|＞2}＝{x|x＞3或x＜﹣1}．
则A∩B＝{x|x＜﹣1}．
（2）∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，
①当a＜0时，则B＝R，符合题意，
②当a≥0时，则B＝{x||x﹣1|＞a}＝{x|x＞a+1或x＜1﹣a}，
∴1﹣a，∴0≤a，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，]．
18．（12分）已知角θ是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点．
（1）写出三角函数sinθ，csθ的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）∵角θ是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点，
∴，．
（2）．
19．（12分）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上最大值和最小值的和为12，令．
（1）求实数a的值，并探究f（x）+f（1﹣x）是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；
（2）若f（x）＝k在[1，2]上有解求k的取值范围
（3）解不等式：f（1﹣x）+2f2（x）＜1．
【解答】解：（1）当0＜a＜1，函数y＝ax在（1，2）上单调递减，
所以ymin＝a2，ymax＝a，
因为函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上最大值和最小值的和为12，
所以a2+a＝12，
所以a＝3或a＝﹣4，
因为此时0＜a＜1，
所以a＝3或a＝﹣4，舍去，
当a＞1，函数y＝ax在（1，2）上单调递增，
所以ymin＝a，ymax＝a2，
因为函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上最大值和最小值的和为12，
所以a2+a＝12，
所以a＝3或a＝﹣4，
因为此时a＞1，
所以a＝3，
综上所述，a＝3，
所以f（x），
所以f（x）+f（1﹣x）为定值，证明如下：
证明：因为f（x），
所以f（1﹣x），
所以f（x）+f（1﹣x）1，
所以f（x）+f（1﹣x）为定值；
（2）因为f（x）1，
因为y＝3x在定义域上为单调递增函数，
所以y在定义域上为单调递减函数，
所以y在定义域上为单调递增函数，
所以f（x）＝1在定义域上为单调递增函数，
所以当x∈[1，2]时，f（x）∈[，]，
又因为f（x）＝k在[1，2]上有解，
所以k∈[，]；
（3）由（1）知f（1﹣x），且f（x）+f（1﹣x）＝1．
所以f（1﹣x）＝1﹣f（x），
所以f（1﹣x）+2f2（x）＜1，即1﹣f（x）+2f2（x）＜1，
所以2f2（x）﹣f（x）＜0，
又f（x）0，
所以2f（x）＜1，
所以f（x），
所以，
所以2•3x＜3x，
所以3x，
所以x，
所以不等式f（1﹣x）+2f2（x）＜1的解集为（﹣∞，）．
20．（12分）已知函数．
（1）化简f（x）；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）；
（2）因为，
所以，，
故．
21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为实数）．
（1）若f（x）＜0的解集为（1，2），求不等式cx2+bx+a＜0的解集；
（2）若对任意x∈R，b＞0时，f（x）≥0恒成立，求的最小值；
（3）若对任意x∈R，2x+2≤f（x）≤2x2﹣2x+4恒成立，求ab的最大值．
【解答】解：（1）∵f（x）＜0的解集为（1，2），
∴a＞0，且1，2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，
由根与系数间的关系得，则b＝﹣3a，c＝2a．
故不等式cx2+bx+a＜0，等价为2a2﹣3ax+a＜0，即a（2x2﹣3x+1）＝a（2x﹣1）（x﹣1）＜0，
即（2x﹣1）（x﹣1）＜0，
解得：，即原不等式的解集为．
（2）因为x∈R，b＞0时，f（x）≥0恒成立，
故得a＞0，b＞0，b2﹣4ac≤0，那4ac≥b2，即c＞0，
所以（当且仅当a＝c时等号成立），
（3）令x＝1，则4≤a+b+c≤4，所以a+b+c＝4．
对任意x∈R，2x+2≤ax2+bx+c，恒成立，
所以ax2+（b﹣2）x+c﹣2≥0恒成立．
所以a＞0且Δ＝（b﹣2）2﹣4a（c﹣2）＝（a+c﹣2）2﹣4a（c﹣2）＝（a﹣c+2）2≤0，
所以c＝a+2，此时2a+b＝2，
因此，当且仅当时等号成立，此时，（或），
验证，成立．
故ab的最大值为．
22．（12分）已知函数f（x）＝lgm．
（1）若f（x）的定义域为[α，β]，（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以说明；
（2）当0＜m＜1时，使f（x）的值域为[lgm[m（β﹣1）]，lgm[m（α﹣1）]]的定义域区间为[α，β]（β＞α＞0）是否存在？请说明理由．
【解答】解：（1） 或x＞3．由于f（x）的定义域为[α，β]，则α＞3，
设 β≥x1＞x2≥α有，
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数，当m＞1时，f（x）为增函数；
（2）若f（x）在[α，β]上的值域为[lgmm（β﹣1），lgmm（α﹣1）]，
由（1）知当0＜m＜1时，f（x）为减函数，
则，
即，又β＞α＞0，
即α，β为方程mx2+（2m﹣1）x﹣3（m﹣1）＝0的大于3的两个不同的实数根，
从而，得 ，
故当时，存在满足题意条件的α，β．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/31 9:16:19；用户：高中数学朱老师；邮箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；学号：37103942x
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