2021-2022学年江苏省淮安市淮安区高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省淮安市淮安区高一（下）期中数学试卷

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知点，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）　　

A． B． C． D．

4．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知向量，，，且，则　　

A．3 B． C． D．

6．（5分）已知复数满足为虚数单位），且，则正数的值为　　

A．2 B．1 C． D．

7．（5分）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径是一寸，筒长是八尺时（注一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9．（5分）对于菱形，给出下列各式，其中结论正确的为　　

A． B． C． D．

10．（5分）下面是关于复数为虚数单位）的命题，其中真命题为　　

A． B． 

C．的共轭复数为 D．的虚部为1

11．（5分）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是　　

A． 

B．的面积为 

C． 

D．在的外接圆上，则的最大值为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）设复数满足为虚数单位），则　　．

14．（5分）已知，则　　．

15．（5分）已知的面积为，则　 　．

16．（5分）如图，平面向量，的夹角是，，，平面内任意一点关于点对称点为，点关于点的对称点为点，则　　．

四、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22题每小题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知复数，，．

（1）若是纯虚数，求的值；

（2）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围．

18．（12分）已知向量，，，．

（1）若向量与共线，求的值；

（2）若，求的值．

19．（12分）已知，，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

20．（12分）从下列二个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答：

①；②；在中，角，，，所对的边分别为，，，满足条件____．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的值．

21．（12分）如图，校园内一块闲置空地，形状为平面四边形，学校为了美化校园环境，打算在三角形区域内种植花卉，在三角形区域内种植绿草．为方便学生观赏通行，学校规划处计划在空地中间修一条观赏长廊（不考虑长廊的宽度），现测量数据为：，，，，

（1）求种植花卉和绿草地的总面积；

（2）求观赏长廊的长度．

22．（12分）已知函数．

（1）求的最小正周期及在区间上的最大值

（2）在锐角中，，且，求取值范围．

2021-2022学年江苏省淮安市淮安区高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

2．（5分）已知点，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：点，，

则，，．

故选：．

3．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

4．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，，，，

则，

可得．

故选：．

5．（5分）已知向量，，，且，则　　

A．3 B． C． D．

【解答】解：因为，又因为，

所以，解得，

故选：．

6．（5分）已知复数满足为虚数单位），且，则正数的值为　　

A．2 B．1 C． D．

【解答】解：由，得，则，

由，得，即．

故选：．

7．（5分）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径是一寸，筒长是八尺时（注一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，设，则，

所以．

故选：．

8．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，则，

故选：．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9．（5分）对于菱形，给出下列各式，其中结论正确的为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图示：

由菱形图象可知错误；

这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到正确；

把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，得到正确；

由菱形的定义知：，故正确，

故选：．

10．（5分）下面是关于复数为虚数单位）的命题，其中真命题为　　

A． B． 

C．的共轭复数为 D．的虚部为1

【解答】解：关于复数，

，，共轭复数为，的虚部为1．

其中真命题为．为假命题．

故选：．

11．（5分）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：选项八卦图为正八边形，中心角为，，

则中为等腰直角三角形，，，即正确，

选项，，为直角三角形，，即错误，

选项，，为直角三角形，，即正确，

选项，正八边形的边长为，

，即错误．

故选：．

12．（5分）已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是　　

A． 

B．的面积为 

C． 

D．在的外接圆上，则的最大值为

【解答】解：在三角形中，由余弦定理，

，故，故正确；

在中，由余弦定理得：，

，故正确；

由余弦定理可知：，，

平分，，

，

在三角形中，由正弦定理可得：，故，故错误；

，，，，

，

为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，

显然当取得最大值时，在优弧上．

故，设，则，，

，

，，

，其中，，

当时，取得最大值，故正确．

故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）设复数满足为虚数单位），则　　．

【解答】解：，

，

．

故答案为：．

14．（5分）已知，则　　．

【解答】解：，

，

故答案为：．

15．（5分）已知的面积为，则　　．

【解答】解：的面积为，

，解得：，

由余弦定理可得：．

故答案为：．

16．（5分）如图，平面向量，的夹角是，，，平面内任意一点关于点对称点为，点关于点的对称点为点，则　　．

【解答】解：以为坐标原点，以所在的直线为轴，以的垂直线为轴，

平面向量，的夹角是，，，

，，，，

设点，，，，，

平面内任意一点关于点对称点为，

，，

，，

，，

点关于点的对称点为点，

，，

，，

，

，，，

．

故答案为：．

四、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22题每小题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知复数，，．

（1）若是纯虚数，求的值；

（2）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围．

【解答】解：（1）为纯虚数，

则，所以；

（2）在复平面上对应的点在第二象限，

则，解得，

即的取值范围为．

18．（12分）已知向量，，，．

（1）若向量与共线，求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1），，向量与共线，

（2分）

（4分）

（2），，

（6分）

，

（8分）

，

解得．（10分）

19．（12分）已知，，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）已知，，

利用三角函数关系式的变换，解得，

所以，

故；

（2）由（1）得：．

20．（12分）从下列二个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答：

①；②；在中，角，，，所对的边分别为，，，满足条件____．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的值．

【解答】解：选择①，

（1），

，

又，

，即，

又为内角，

；

（2），，

，解得，

由余弦定理有，，

．

选择②，

（1），

，即，

，

又为内角，

；

（2），，

，解得，

由余弦定理有，，

．

21．（12分）如图，校园内一块闲置空地，形状为平面四边形，学校为了美化校园环境，打算在三角形区域内种植花卉，在三角形区域内种植绿草．为方便学生观赏通行，学校规划处计划在空地中间修一条观赏长廊（不考虑长廊的宽度），现测量数据为：，，，，

（1）求种植花卉和绿草地的总面积；

（2）求观赏长廊的长度．

【解答】解：（1）如图所示，连接，

在中，由余弦定理可得，

即，可得，

在中，由余弦定理可得，

则，解得或（舍去），

所以的面积，

的面积，

故该草地的面积；

（2）因为，所以，

所以，

由余弦定理可得，

即，

解得，所以，

即长廊的长度为．

答：种植总面积，长廊长．

22．（12分）已知函数．

（1）求的最小正周期及在区间上的最大值

（2）在锐角中，，且，求取值范围．

【解答】解：（1）函数．

所以函数的最小正周期为．

当，

所以，

当时，函数的最大值为．

（2）由于在锐角中，，

所以，解得．

利用正弦定理，

所以，，

由于，

所以．

所以，

由于，

所以，

故，

故．

即的取值范围为，．

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