2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合，，，若，则的值为　　

A．1 B． C． D．0

2．（5分）命题“，，”的否定是　　

A．， B．， 

C．，， D．，，

3．（5分）已知，则（3）为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（5分）函数零点是　　

A．2和 B．和4 

C．和 D．和

5．（5分）函数的图象是　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）函数的定义域为，则实数的取值范围为　　

A． B．， C．， D．，

7．（5分）已知函数的值域为，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

8．（5分）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声调约为，单位：之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为　　米．

A．5 B．10 C．45 D．48

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则　　

A．， B． 

C．，1，3， D．集合的真子集个数为8

10．（5分）下列函数中，在区间上满足对任意的实数，都有的是　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知，，则下列正确的是　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）已知函数，则该函数　　

A．最小值为5 B．最大值为 C．没有最小值 D．没有最大值

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．（5分）设，，则、的大小关系为　　．

14．（5分）已知，则（3）　　．

15．（5分）命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　

16．（5分）已知不等式的解集为，则　　，的最小值为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）求值：

（1）；

（2）．

18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

已知集合，，．

（1）求集合，；

（2）若是成立的_____条件，判断实数是否存在？

19．（12分）已知函数．

（1）画出函数的图象，并写出函数的单调区间；

（2）若直线与函数的图象有3个交点，请由（1）中函数图象直接写出的取值范围．

20．（12分）设集合，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

21．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）若，试求函数的最小值；

（Ⅱ）对于任意的，，不等式成立，试求的取值范围．

22．（12分）已知函数，且（1）．

（1）若在区间上为单调函数，求实数的取值范围；

（2）若在区间上有零点，求实数的取值范围；

（3）若在，上的最大值是2，求实数的的值．

2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合，，，若，则的值为　　

A．1 B． C． D．0

【分析】利用集合中的元素1属于集合，将1代入，求出，将的值代入集合，进行检验，即得答案．

【解答】解：集合，，，且，

或，

即或，

当时，，故舍去，

当时，，，，符合题意．

故选：．

【点评】本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题．

2．（5分）命题“，，”的否定是　　

A．， B．， 

C．，， D．，，

【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．

【解答】解：命题“，，”是一个全称命题．

其否定命题为：，，

故选：．

【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．

3．（5分）已知，则（3）为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算（5）、（7）的值，然后经过转换，由此可以得到（3）值．

【解答】解：由题意得：

（3）（5）（7）

，

（7）．

故选：．

【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上、取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．

4．（5分）函数零点是　　

A．2和 B．和4 

C．和 D．和

【分析】通过函数的零点与方程根的关系，求解即可．

【解答】解：函数零点，解得方程的解，

解得或，

所以函数零点是：和4．

故选：．

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，是基本知识的考查．

5．（5分）函数的图象是　　

A． B． 

C． D．

【分析】将函数的解析式变形后，根据函数图象的平移变换法则我们可得函数的图象是由反比例函数的图象向右平移一个单位再向上平移一个单位得到的，结合反比例函数的性质及及函数图象平移法则，易得到结论．

【解答】解：函数的图象是由函数的图象向右平移一个单位再向上平移一个单位得到的，

故函数函数在区间和上都单调递增；

分析四个答案中的图象易得只有中的图象符合要求；

故选：．

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据原函数解析式判断出函数的图象是由函数的图象向右平移一个单位再向上平移一个单位得到的，从而将一个非基本函数转化为研究一个基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．

6．（5分）函数的定义域为，则实数的取值范围为　　

A． B．， C．， D．，

【分析】函数的定义域为，则被开方数恒大于等于0，然后对分类讨论进行求解，当时满足题意，当时，利用二次函数的性质解题即可．

【解答】解：函数的定义域为，

说明对任意的实数，都有成立，

当时，显然成立，

当时，需要，

解得：，

综上，函数的定义域为的实数的取值范围是，，

故选：．

【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法和运算求解的能力，属于基础题．

7．（5分）已知函数的值域为，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】运用分段函数以及一次函数，简化函数的单调性，函数的值域列出不等式组，求解即可．

【解答】解：函数的值域为，

可得：，解得．

故选：．

【点评】本题考查分段函数的知识，值域的求法，是基础题．

8．（5分）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声调约为，单位：之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为　　米．

A．5 B．10 C．45 D．48

【分析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，则同学的声强为，喷出泉水高度为50，根据题意可得，，两式相减即可求出的值．

【解答】解：设同学的声强为，喷出泉水高度为，则同学的声强为，喷出泉水高度为50，

由，得，①

，，②

①②得：，

解得，

同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45米．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是基础题．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则　　

A．， B． 

C．，1，3， D．集合的真子集个数为8

【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．

【解答】解：全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，

，，故正确，

，，故错误，

，1，3，，故正确，

集合的真子集个数为，故错误

故选：．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合的交集，补集，并集的定义是解决本题的关键．

10．（5分）下列函数中，在区间上满足对任意的实数，都有的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据常见函数的性质判断函数的单调性即可．

【解答】解：由题意得：函数在递增，

对于：函数在递增，符合题意，故正确；

对于：函数在递增，故正确；

对于：函数在递减，故错误；

对于：函数的对称轴是，故函数在递增，符合题意，故正确

故选：．

【点评】本题考查了常见函数的单调性问题，考查转化思想，是一道基础题．

11．（5分）已知，，则下列正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据条件利用不等式的基本性质，即可逐一判断各选项．

【解答】解：．，，又，，故正确；

．，，，故正确；

．，，又，，故错误；

．，，，，，故错误．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

12．（5分）已知函数，则该函数　　

A．最小值为5 B．最大值为 C．没有最小值 D．没有最大值

【分析】由函数，转化为，根据基本不等式求得最值即可．

【解答】解：函数，

可转化为，

当且仅当时，即时取等号；

故该函数的最大值为，没有最小值．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式的变形应用，属于基础题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．（5分）设，，则、的大小关系为　　．

【分析】利用作差法，判断出的符号即可获解．

【解答】解：

，

故．

故答案为：．

【点评】本题考查作差法比较大小．一般的，比较两个多项式、分式的大小，往往利用作差法，属于基础题．

14．（5分）已知，则（3）　5　．

【分析】根据题意，令，解可得，将代入中，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，若，则，

在中，令可得：（3），

故答案为：5．

【点评】本题考查函数值的计算，注意特殊值法的应用，属于基础题．

15．（5分）命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　，，　

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是假命题，求出的范围．

【解答】解：命题“，”是假命题，

原命题的否定，“存在实数，使”为真命题，

△，

或．

故答案为：，，．

【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．

16．（5分）已知不等式的解集为，则　　，的最小值为　　．

【分析】根据不等式的解集可得，，之间的关系，然后将用表示，再用基本不等式求其最小值即可．

【解答】解：不等式的解集为，

，3是方程的两个根，且，

，，

即，，

，

，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为8，

故答案为：，8．

【点评】本题考查了一元二次不等式根与系数的关系和基本不等式，属基础题．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）求值：

（1）；

（2）．

【分析】（1）指数幂的运算性质，求解．（2）对数的运算性质，求解．

【解答】解：（1）

；

（2）；

所以（1）原式，（2）原式．

【点评】本题考查了指数幂的运算性质，对数的运算性质，属于计算题，容易出错，做题要仔细认真．

18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

已知集合，，．

（1）求集合，；

（2）若是成立的_____条件，判断实数是否存在？

【分析】（1）根据不等式的解法分别求出不等式的解集即可．

（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可．

【解答】解：（1）由得，故集合，

由得，故集合，．

（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是，．

若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是，．

若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合，

则有，方程组无解．

所以，不存在满足条件的实数．

【点评】本题主要考查集合的求解以及充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件与集合关系进行转化是解决本题的关键．难度中等．

19．（12分）已知函数．

（1）画出函数的图象，并写出函数的单调区间；

（2）若直线与函数的图象有3个交点，请由（1）中函数图象直接写出的取值范围．

【分析】（1）描点画图即可；由图象直接得到函数单调区间；

（2）由图象直接得到的取值范围．

【解答】解：（1）图象如图所示，

由图象可得函数在，，上为增函数，在，上为减函数，

（2）直线与函数的图象有3个交点，则由（1）的图象可得的取值范围为．

【点评】本题考查了函数图象的画法和识别，属于基础题．

20．（12分）设集合，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【分析】（1）可求出，，根据即可得出，从而可解出的值，然后验证所得的值是否满足题意即可；

（2）根据可得出，然后可讨论△的取值情况：△，即时，显然满足题意；△，即时，，满足题意；△，即时，可得出，，然后根据韦达定理求出的值，最后即可得出的取值范围．

【解答】解：（1），，

，

，，解得或5，

时，，，，，不满足题意，应舍去，

；

（2），

，

①△，即时，，满足题意；

②△，即时，，满足题意；

③△，即时，，，则，解得，

综上得，实数的取值范围为或．

【点评】本题考查了元素与集合的关系，交集、并集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，一元二次方程根的情况和判别式△的取值的关系，考查了计算能力，属于基础题．

21．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）若，试求函数的最小值；

（Ⅱ）对于任意的，，不等式成立，试求的取值范围．

【分析】（Ⅰ）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；

（Ⅱ）由题意可得不等式成立”只要“在，恒成立”．不妨设，则只要在，恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．

【解答】解：（Ⅰ）依题意得．

因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立．

所以．

所以当时，的最小值为．（6分）

（Ⅱ）因为，所以要使得“，，

不等式成立”只要“在，恒成立”．

不妨设，则只要在，恒成立．

因为，

所以即，解得．

所以的取值范围是，．（13分）

【点评】本题主要考查函数的最值即恒成立问题的划归转化等知识，考查学生的运算求解能力，属于中档题．

22．（12分）已知函数，且（1）．

（1）若在区间上为单调函数，求实数的取值范围；

（2）若在区间上有零点，求实数的取值范围；

（3）若在，上的最大值是2，求实数的的值．

【分析】（1）由（1）可得，求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出的范围即可；

（2）由在区间上有零点，结合二次函数的图象和性质，可得关于的不等式组，解得实数的取值范围；

（3）根据二次函数的图象开口方向朝上，对称轴为，分类讨论，与对称轴位置关系，进而结合在，上的最大值是2，可求实数的值．

【解答】解：（1）函数，

由（1），得，

解得：；

故，对称轴，

若在区间上为单调函数，

则或；

（2）由（1），对称轴，

又在区间上有零点，且的一个零点是1；

所以．

（3）的图象开口方向向下，对称轴为．

①当时，，则；

②当时，（a），则，或（舍去）；

③当时，（3），则（舍去）；

综上：或．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．

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日期：2021/2/23 14:22:06；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394