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压轴题型04 比大小问题-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）
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这是一份压轴题型04 比大小问题-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了单调性法，作差法，中间值法或1/0比较法，估值法，构造函数，运用函数的单调性比较，放缩法等内容，欢迎下载使用。
函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青
睐。高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、
指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法往往可
以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)1 比较大小的常见方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
一、单选题
1．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解.
【详解】由，得，
令，，则
，
所以在上恒成立，
所以在上为减函数，
因为，且在上单调性递增；
所以，
所以，
所以，
所以，即．
故选：A.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可.
2．已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过构造函数，利用导数研究单调性，比较各式的大小.
【详解】设函数，则，
令函数，则．
令，得，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，因此在上单调递增，
所以．
令，则，所以，即．
构造函数，则，在上，在上.
因此在上单调递减，在上单调递增，
所以，令，则，
所以．得．
故选：D
【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.
3．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据观察，比较大小，可转化为比较和的大小，从而构造函数，求导判断函数单调性并利用单调性比较大小；比较大小，可转化为比较和大小，即比较和的大小，从而构造函数，求导判断函数单调性并利用单调性比较大小.
【详解】设，
则．
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，所以，
故，即，即．
设，
则．
令，则．
当时，，
函数在上单调递减．
又，所以当时，，
所以当时，，
函数在上单调递增，所以，
即，即，所以．
综上可知，．
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题中比较a，c的大小是难点，求解时细致观察这两个数的特点，发现0.25这个题眼非常关键，从而函数的构造也就明显了，一次求导不能顺利解决问题时要注意二次求导．
4．已知，若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.
【详解】因为，定义域关于原点对称，
，所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递增，所以,
所以在上单调递增，又因为为偶函数,
所以在上单调递减，
又因为,所以,
又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.
5．已知，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将化为，和b比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即可比较大小，再比较，即可得答案.
【详解】由于，
故设函数 ，
当时，，即在上单调递增，
由于，
故，即，
又，故，
故选：D
【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.
6．已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用奇函数得到，再判断，利用二次求导判断在上单调递增，从而可判断.
【详解】因为，
所以在上是奇函数.所以
对求导得，
令，则
当时，，所以在上单调递增，
则时，，即，
所以在上单调递增.
因为，所以，
因为在上单调递增，
所以.
令，则
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，
而，即，所以，即.
所以，即，则
所以
所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：
构造函数，判断.
7．已知定义在上的函数，当时，，为其导函数，且满足恒成立，若，则，，三者的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可得，，所以，故考虑构造函数，根据导数与函数的单调性的关系证明在上单调递减，利用函数的单调性比较的大小，再证明可得结论.
【详解】设，则，
因为，所以，
所以函数在上单调递减，
又，所以，
所以，所以，
设，
则，
因为，所以，
当且仅当时，，
所以在上为减函数，
所以，即，
又当时，，所以，
又，所以，
由，可得，
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】本题的关键在于结合已知条件构造恰当的函数，利用导数与函数的单调性的关系，判断函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小即可.
8．已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设，构造且研究单调性，判断的范围，作差法比较大小，即可得答案.
【详解】由题设，，，
令且，则，即在上递增，
又，即，
由，令且，
则，又，
令且，则，即递减，所以，
所以，即在上递增，故，
即在上恒成立，故，
综上，，结合单调性知：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：构造函数且研究单调性，再通过作差、构造函数判断大小，进而判断大小.
9．设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，表示出，根据的表达式构造函数，判断其单调性，说明时，，由此可判断的大小，利用，判断大小，可得答案.
【详解】设，则，
因为，
设，
故在上单调递减，，故时，，
即时，，从而，即，
所以，故；，故，
于是，
故选：B．
【点睛】难点点睛：本题判断的大小关系，由于这三个数的形式较为复杂，因此难点在于进行合理的变式，根据变形后的形式，构造合理的函数，进而利用导数判断函数单调性，利用单调性即可判断的大小关系.
10．已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较的大小.
【详解】构造函数，则，，
且，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以；
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以
故，所以，即．
综上，，
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于观察数的结构特征，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性 函数的单调性比较大小.
11．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察可得，构造函数约定，求导证明函数在是增函数，根据可以判断；
构造函数约定，利用导数判断函数在亦是增函数，根据可得，进而得到.
【详解】由，，
构造函数，，
则，
因为在上为减函数，
所以当时，，
又，所以，
故，
所以函数在单调递增，
故，
故，
因为，，
构造函数，，
则，
因为
所以 ，所以在是增函数，
所以，即，
所以，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
12．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式，构造函数，利用函数单调性，可得的大小关系；根据二项式定理以及中间执法，整理，可得答案.
【详解】由，，则，
令，，
当时，，则单调递增，即，
故，可得，即；
由，
且，则，即.
综上，.
故选：C.
13．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数单调性得出，作商比较与，得出，即可得出，同取以2为底的对数得出与，则只需比较与即可，根据对数运算与单调性得出，即可比较得出，即可得出答案.
【详解】，即，
，即，
则，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，即，
，即，
综上，
故选：D.
14．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造，二次求导后判断单调性从而得到；构造，二次求导后判断单调性从而得到，进而得到答案.
【详解】构造，则，
构造，
则，
故在内单调递减，．
故对任意恒成立，则在单调递增，
因为，所以，
故，即，
即，即，即，
同理构造，则，
构造，则，故在内单调递减，，
故对任意恒成立，则在单调递增，
故，即，即，
即，即，
则a，b，c的大小关系是．
故选：C．
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
15．已知函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由指对数图象判断，且，，构造并研究其最值得，结合，得到，求导得，然后由函数单调性即可得到其大小关系.
【详解】由，则是是的交点横坐标，如下图示，
由图易知：，且，，
构造，则，令，
当时，，则递减；当时，，则递增；
所以当时，，所以,即，
所以，即，则，故，
综上，，
因为，则时，时，
所以在上递增，在上递减，则，
而，故.
故选：B
16．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数和，利用导数求解函数的单调性，进而可比较大小.
【详解】设，则，
设 ，
由于在单调递增，且其值均大于0， 单调递减，
所以单调递减，又 ，所以在单调递减，且，
所以在时，，因此在时单调递减，
故，即，即，
设
当时，，所以在单调递增，
所以，即，
综上可知，
故选：B
【点睛】本题考查了利用导数判断大小.构造函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式或者比较数的大小时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
17．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性进行函数值的大小比较.
【详解】方法一：比较的大小时，
（法一）设函数，则，令，得，
当时，，函数单调递增；当，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
因为，所以，即.
（法二）因为，设为坐标原点，结合函数的图象知，所以；
比较的大小时，设函数，则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增，
因为，，又，所以，即，
综上可得，，故B，C，D错误.
故选：A.
方法二（估值法）：因为0.43.
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
18．实数x，y，z分别满足，，，则x，y，z的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知即，，， 构选函数 确定其在上单调递减，可得 ，又设，其在上单调递增，所以得．
【详解】解：由已知得 ，，，
设 ，，当时，，
所以 在上单调递减，因此，
即 所以 ，；
又设，，当时，，
所以在上单调递增，
因此 ，所以 ，则；
综上得.
故选：B．
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：
1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系.
2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.
19．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导确定函数单调性，通过单调性比较函数值大小，并结合指对互化关系，即可得结论.
【详解】令，则恒成立，
所以在上单调递增，则，即，所以，则；
则，即，所以，则，即，
所以，又，所以，则；
综上，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查较复杂的指对幂比较大小问题，需要构造函数结合导数判断单调性，从而判断函数值大小.解决本题的关键是构造函数，确定该函数与所对应的函数关系，对于大小，需比较与的大小，而对于大小，需比较与的大小，并结合指对互化与分数放缩即可得出结论.
20．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数，，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.
【详解】由，令，
所以，
因为，
因为，所以，，故，
所以在上单调递减，
又，所以
所以，即，所以.
由，令，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以，即，所以，
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造，，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.
二、多选题
21．已知函数在上可导, 其导函数为 , 若满足:,, 则下列判断一定不正确的是 ( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】构造函数，根据题意，求得的单调性，利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断各选项.
【详解】构造, 则 ,
导函数满足 ,
当 时 在上单调递增.
当 时在上单调递减.
又由 关于 对称,
从而，
即 ， ，故A错误；
，故B错误；
即 , 故C正确；
即 , 故D错误；
故选：ABD.
【点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性基本方法，恰当构造函数是解题的关键，属于较难题.
22．已知函数，其中a，b，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在R上单调递减D．最大值为
【答案】AB
【分析】对A、B：整理可得，构建，根据题意结合函数单调性分析判断；对B：取特值，代入检验；对D：令，整理可得，再令，整理得，结合三角函数以及对勾函数分析运算.
【详解】因为，即，
对A、B：又a，b，，则，所以，，
故，在R上递减，
由，
令，则在R上递减，且，
所以，，
且，则对，恒成立，
可得，故A，B正确；
对C：取，，，则，所以C错误；
对D：令，
则
今，则，
且，
∵，则，
∴，故，
可得，
又∵在上单调递增，且，
故，即，
所以，所以D错误．
故选：AB.
【点睛】关键点睛：对于，可解借助于三角函数换元，令，这样可以减少未知量，方便分析运算.
23．若，，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】观察式子特点，构造函数比较大小
【详解】，令，，
则，
故在上单调递增，
则，
即，
故；
而，
令，，
则，
故在上单调递减，故，
即，
故；
令，，
则，
由函数及的图象特征，
再由，，可得，
故在上单调递增，则，
即，
则，
则．
故选: BC．
【点睛】本题需要构造函数，利用导数确定函数的单调性，并借助特殊值比较大小.
24．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】考虑类似于的函数形式，因此构造函数，运用函数的单调性求解.
【详解】设，则，
令，则是减函数，
又，当时，，当时是减函数①，
，即，，
考察 ，构造函数 ， ，由①及一次函数性质知，是减函数，
，即，，.
故选：AB.
25．下列不等关系中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A，先分析当和2时，不等式显然成立，然后结合当时，得当时，，从而判断A选项．对于B，利用对数的运算及基本不等式证明当且时，，得到，从而判断B选项．对于C，根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的单调性即可判断C选项．对于D，根据常见不等式，并结合放缩法即可判断D选项．
【详解】对于A：当和2时，显然成立；因为当时，
，
所以函数此时是减函数，故当时，有
所以当时，，，即．综上，，所以A正确．
对于B：当且时，，所以，
所以当且时，，所以
，所以，所以B正确．
对于C：令，
则，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则，所以，故C不正确．
对于D：易知，设，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时函数有最小值，即有，
所以，即．因为，所以，
所以，所以，所以D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点睛：根据不等式的形式构造合适的函数，利用导数的性质是解题的关键.
26．已知当关于x的不等式在上恒成立时，正数λ的取值范围为集合D，则下列式子的值是集合D的元素的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由题可得在上恒成立，构造，利用导数判断出函数的单调性可得，构造，利用导数求出最值，可得实数的取值范围，然后逐项分析即得．
【详解】关于的不等式在上恒成立，
则，，
设，则，
所以，函数在上递增，
，即，
设，则，
令，解得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以，所以， ，即，
对A，，，又，所以，故A适合题意；
对B，，设函数单调递增，
又，，故，，故B适合题意；
对C，由，可知，，则，故C不合题意；
对D，因为，故，故D不合题意.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
27．已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（ ）
A．B．周期
C．在单调递减D．满足
【答案】ACD
【分析】根据已知条件由对称抽和对称中心得出周期为4判断A,B选项，周期再结合已知单调性判断C选项,应用周期性和单调性求函数值的大小判断D.
【详解】由知的对称轴为，所以故A正确;
由知：，
又图像关于对称，即，故，
所以，即，
所以的周期为4，故B错误;
因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，
又图像关于对称，所以在上单调递增，
因为关于对称，所以在上单调递减，故C正确；
根据周期性，，
因为关于对称，所以，
因为周期，所以；
结合在上单调递减，且上单调递增，
故，即，故D正确.
故选:ACD.
三、填空题
28．已知，，，则的大小关系是___________.
【答案】
【分析】构造函数，利用函数的单调性比较出与的大小，再用作差比较出与的大小，即可得出结果.
【详解】根据题意，设，则其导数.
令，
故在区间上，恒成立，则有，即恒成立
在上恒成立，函数在上单调递减，
则有，即
又，而，
，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
29．设，，，则____ > ______ > ______(填a，b，c)．
【答案】 c a b
【分析】由，，故考虑构造函数，利用导数判断该函数的单调性，由此比较的大小，利用对数函数的单调性，结合，证明，由，根据幂函数的性质证明，由此比较大小，由此可得结论.
【详解】因为，，
设，则，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，所以，
故，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，故，
又，因为函数在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：；；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据数据之间的联系，构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小.
四、解答题
30．已知函数的定义域为D，区间，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．
(1)已知，判断函数是否为区间上的增长函数，并说明理由；
(2)已知，设，且函数是区间上的增长函数，求实数n的取值范围；
(3)如果函数是定义域为R的奇函数，当时，，且函数为R上的增长函数，求实数a的取值范围．
【答案】(1)是，理由见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合函数单调性分析运算；
（2）根据题意整理可得对恒成立，根据恒成立问题结合一次函数分析运算；
（3）根据函数的单调性，先取特值，可求得，再证明当时，对任意，均有.
【详解】（1）数为区间上的增长函数，理由如下：
由题意可知：在上单调递增，
对，则，可得，
故函数为区间上的增长函数.
（2）若函数是区间上的增长函数，
可得对，则，即，
可得对恒成立，
则，解得，
故实数n的取值范围为.
（3）由题意可得：，
∵函数是定义域为R的奇函数，
当时，则，
故，
可得在上单调递增，在上单调递减，
注意到，
故当时，，当时，，
若函数为R上的增长函数，则对，均有，
取，即，故，则，即，
若，即时，则有：
①当时，则，且在上单调递增，
故；
②当时，则，且，
∵在上单调递减，在上单调递增，
则，
且在上单调递增，则，
故；
③当时，则，
可得，
注意到在上单调递增，
故；
④当时，则，
注意到在上单调递减，在上单调递增，
可得；
⑤当时，则，且在上单调递增，
可得；
综上所述：当时，对，均有.
故实数a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛： 根据的单调性，取特值，先求出实数a的取值范围，再证明其充分性.
函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青
睐。高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、
指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法往往可
以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)1 比较大小的常见方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
一、单选题
1．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解.
【详解】由，得，
令，，则
，
所以在上恒成立，
所以在上为减函数，
因为，且在上单调性递增；
所以，
所以，
所以，
所以，即．
故选：A.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可.
2．已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过构造函数，利用导数研究单调性，比较各式的大小.
【详解】设函数，则，
令函数，则．
令，得，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，因此在上单调递增，
所以．
令，则，所以，即．
构造函数，则，在上，在上.
因此在上单调递减，在上单调递增，
所以，令，则，
所以．得．
故选：D
【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.
3．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据观察，比较大小，可转化为比较和的大小，从而构造函数，求导判断函数单调性并利用单调性比较大小；比较大小，可转化为比较和大小，即比较和的大小，从而构造函数，求导判断函数单调性并利用单调性比较大小.
【详解】设，
则．
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，所以，
故，即，即．
设，
则．
令，则．
当时，，
函数在上单调递减．
又，所以当时，，
所以当时，，
函数在上单调递增，所以，
即，即，所以．
综上可知，．
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题中比较a，c的大小是难点，求解时细致观察这两个数的特点，发现0.25这个题眼非常关键，从而函数的构造也就明显了，一次求导不能顺利解决问题时要注意二次求导．
4．已知，若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.
【详解】因为，定义域关于原点对称，
，所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递增，所以,
所以在上单调递增，又因为为偶函数,
所以在上单调递减，
又因为,所以,
又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.
5．已知，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将化为，和b比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即可比较大小，再比较，即可得答案.
【详解】由于，
故设函数 ，
当时，，即在上单调递增，
由于，
故，即，
又，故，
故选：D
【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.
6．已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用奇函数得到，再判断，利用二次求导判断在上单调递增，从而可判断.
【详解】因为，
所以在上是奇函数.所以
对求导得，
令，则
当时，，所以在上单调递增，
则时，，即，
所以在上单调递增.
因为，所以，
因为在上单调递增，
所以.
令，则
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，
而，即，所以，即.
所以，即，则
所以
所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：
构造函数，判断.
7．已知定义在上的函数，当时，，为其导函数，且满足恒成立，若，则，，三者的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可得，，所以，故考虑构造函数，根据导数与函数的单调性的关系证明在上单调递减，利用函数的单调性比较的大小，再证明可得结论.
【详解】设，则，
因为，所以，
所以函数在上单调递减，
又，所以，
所以，所以，
设，
则，
因为，所以，
当且仅当时，，
所以在上为减函数，
所以，即，
又当时，，所以，
又，所以，
由，可得，
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】本题的关键在于结合已知条件构造恰当的函数，利用导数与函数的单调性的关系，判断函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小即可.
8．已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设，构造且研究单调性，判断的范围，作差法比较大小，即可得答案.
【详解】由题设，，，
令且，则，即在上递增，
又，即，
由，令且，
则，又，
令且，则，即递减，所以，
所以，即在上递增，故，
即在上恒成立，故，
综上，，结合单调性知：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：构造函数且研究单调性，再通过作差、构造函数判断大小，进而判断大小.
9．设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，表示出，根据的表达式构造函数，判断其单调性，说明时，，由此可判断的大小，利用，判断大小，可得答案.
【详解】设，则，
因为，
设，
故在上单调递减，，故时，，
即时，，从而，即，
所以，故；，故，
于是，
故选：B．
【点睛】难点点睛：本题判断的大小关系，由于这三个数的形式较为复杂，因此难点在于进行合理的变式，根据变形后的形式，构造合理的函数，进而利用导数判断函数单调性，利用单调性即可判断的大小关系.
10．已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较的大小.
【详解】构造函数，则，，
且，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以；
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以
故，所以，即．
综上，，
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于观察数的结构特征，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性 函数的单调性比较大小.
11．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察可得，构造函数约定，求导证明函数在是增函数，根据可以判断；
构造函数约定，利用导数判断函数在亦是增函数，根据可得，进而得到.
【详解】由，，
构造函数，，
则，
因为在上为减函数，
所以当时，，
又，所以，
故，
所以函数在单调递增，
故，
故，
因为，，
构造函数，，
则，
因为
所以 ，所以在是增函数，
所以，即，
所以，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
12．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式，构造函数，利用函数单调性，可得的大小关系；根据二项式定理以及中间执法，整理，可得答案.
【详解】由，，则，
令，，
当时，，则单调递增，即，
故，可得，即；
由，
且，则，即.
综上，.
故选：C.
13．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数单调性得出，作商比较与，得出，即可得出，同取以2为底的对数得出与，则只需比较与即可，根据对数运算与单调性得出，即可比较得出，即可得出答案.
【详解】，即，
，即，
则，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，即，
，即，
综上，
故选：D.
14．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造，二次求导后判断单调性从而得到；构造，二次求导后判断单调性从而得到，进而得到答案.
【详解】构造，则，
构造，
则，
故在内单调递减，．
故对任意恒成立，则在单调递增，
因为，所以，
故，即，
即，即，即，
同理构造，则，
构造，则，故在内单调递减，，
故对任意恒成立，则在单调递增，
故，即，即，
即，即，
则a，b，c的大小关系是．
故选：C．
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
15．已知函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由指对数图象判断，且，，构造并研究其最值得，结合，得到，求导得，然后由函数单调性即可得到其大小关系.
【详解】由，则是是的交点横坐标，如下图示，
由图易知：，且，，
构造，则，令，
当时，，则递减；当时，，则递增；
所以当时，，所以,即，
所以，即，则，故，
综上，，
因为，则时，时，
所以在上递增，在上递减，则，
而，故.
故选：B
16．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数和，利用导数求解函数的单调性，进而可比较大小.
【详解】设，则，
设 ，
由于在单调递增，且其值均大于0， 单调递减，
所以单调递减，又 ，所以在单调递减，且，
所以在时，，因此在时单调递减，
故，即，即，
设
当时，，所以在单调递增，
所以，即，
综上可知，
故选：B
【点睛】本题考查了利用导数判断大小.构造函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式或者比较数的大小时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
17．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性进行函数值的大小比较.
【详解】方法一：比较的大小时，
（法一）设函数，则，令，得，
当时，，函数单调递增；当，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
因为，所以，即.
（法二）因为，设为坐标原点，结合函数的图象知，所以；
比较的大小时，设函数，则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增，
因为，，又，所以，即，
综上可得，，故B，C，D错误.
故选：A.
方法二（估值法）：因为0.43.
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
18．实数x，y，z分别满足，，，则x，y，z的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知即，，， 构选函数 确定其在上单调递减，可得 ，又设，其在上单调递增，所以得．
【详解】解：由已知得 ，，，
设 ，，当时，，
所以 在上单调递减，因此，
即 所以 ，；
又设，，当时，，
所以在上单调递增，
因此 ，所以 ，则；
综上得.
故选：B．
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：
1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系.
2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.
19．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导确定函数单调性，通过单调性比较函数值大小，并结合指对互化关系，即可得结论.
【详解】令，则恒成立，
所以在上单调递增，则，即，所以，则；
则，即，所以，则，即，
所以，又，所以，则；
综上，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查较复杂的指对幂比较大小问题，需要构造函数结合导数判断单调性，从而判断函数值大小.解决本题的关键是构造函数，确定该函数与所对应的函数关系，对于大小，需比较与的大小，而对于大小，需比较与的大小，并结合指对互化与分数放缩即可得出结论.
20．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数，，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.
【详解】由，令，
所以，
因为，
因为，所以，，故，
所以在上单调递减，
又，所以
所以，即，所以.
由，令，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以，即，所以，
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造，，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.
二、多选题
21．已知函数在上可导, 其导函数为 , 若满足:,, 则下列判断一定不正确的是 ( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】构造函数，根据题意，求得的单调性，利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断各选项.
【详解】构造, 则 ,
导函数满足 ,
当 时 在上单调递增.
当 时在上单调递减.
又由 关于 对称,
从而，
即 ， ，故A错误；
，故B错误；
即 , 故C正确；
即 , 故D错误；
故选：ABD.
【点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性基本方法，恰当构造函数是解题的关键，属于较难题.
22．已知函数，其中a，b，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在R上单调递减D．最大值为
【答案】AB
【分析】对A、B：整理可得，构建，根据题意结合函数单调性分析判断；对B：取特值，代入检验；对D：令，整理可得，再令，整理得，结合三角函数以及对勾函数分析运算.
【详解】因为，即，
对A、B：又a，b，，则，所以，，
故，在R上递减，
由，
令，则在R上递减，且，
所以，，
且，则对，恒成立，
可得，故A，B正确；
对C：取，，，则，所以C错误；
对D：令，
则
今，则，
且，
∵，则，
∴，故，
可得，
又∵在上单调递增，且，
故，即，
所以，所以D错误．
故选：AB.
【点睛】关键点睛：对于，可解借助于三角函数换元，令，这样可以减少未知量，方便分析运算.
23．若，，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】观察式子特点，构造函数比较大小
【详解】，令，，
则，
故在上单调递增，
则，
即，
故；
而，
令，，
则，
故在上单调递减，故，
即，
故；
令，，
则，
由函数及的图象特征，
再由，，可得，
故在上单调递增，则，
即，
则，
则．
故选: BC．
【点睛】本题需要构造函数，利用导数确定函数的单调性，并借助特殊值比较大小.
24．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】考虑类似于的函数形式，因此构造函数，运用函数的单调性求解.
【详解】设，则，
令，则是减函数，
又，当时，，当时是减函数①，
，即，，
考察 ，构造函数 ， ，由①及一次函数性质知，是减函数，
，即，，.
故选：AB.
25．下列不等关系中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A，先分析当和2时，不等式显然成立，然后结合当时，得当时，，从而判断A选项．对于B，利用对数的运算及基本不等式证明当且时，，得到，从而判断B选项．对于C，根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的单调性即可判断C选项．对于D，根据常见不等式，并结合放缩法即可判断D选项．
【详解】对于A：当和2时，显然成立；因为当时，
，
所以函数此时是减函数，故当时，有
所以当时，，，即．综上，，所以A正确．
对于B：当且时，，所以，
所以当且时，，所以
，所以，所以B正确．
对于C：令，
则，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则，所以，故C不正确．
对于D：易知，设，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时函数有最小值，即有，
所以，即．因为，所以，
所以，所以，所以D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点睛：根据不等式的形式构造合适的函数，利用导数的性质是解题的关键.
26．已知当关于x的不等式在上恒成立时，正数λ的取值范围为集合D，则下列式子的值是集合D的元素的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由题可得在上恒成立，构造，利用导数判断出函数的单调性可得，构造，利用导数求出最值，可得实数的取值范围，然后逐项分析即得．
【详解】关于的不等式在上恒成立，
则，，
设，则，
所以，函数在上递增，
，即，
设，则，
令，解得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以，所以， ，即，
对A，，，又，所以，故A适合题意；
对B，，设函数单调递增，
又，，故，，故B适合题意；
对C，由，可知，，则，故C不合题意；
对D，因为，故，故D不合题意.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
27．已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（ ）
A．B．周期
C．在单调递减D．满足
【答案】ACD
【分析】根据已知条件由对称抽和对称中心得出周期为4判断A,B选项，周期再结合已知单调性判断C选项,应用周期性和单调性求函数值的大小判断D.
【详解】由知的对称轴为，所以故A正确;
由知：，
又图像关于对称，即，故，
所以，即，
所以的周期为4，故B错误;
因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，
又图像关于对称，所以在上单调递增，
因为关于对称，所以在上单调递减，故C正确；
根据周期性，，
因为关于对称，所以，
因为周期，所以；
结合在上单调递减，且上单调递增，
故，即，故D正确.
故选:ACD.
三、填空题
28．已知，，，则的大小关系是___________.
【答案】
【分析】构造函数，利用函数的单调性比较出与的大小，再用作差比较出与的大小，即可得出结果.
【详解】根据题意，设，则其导数.
令，
故在区间上，恒成立，则有，即恒成立
在上恒成立，函数在上单调递减，
则有，即
又，而，
，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
29．设，，，则____ > ______ > ______(填a，b，c)．
【答案】 c a b
【分析】由，，故考虑构造函数，利用导数判断该函数的单调性，由此比较的大小，利用对数函数的单调性，结合，证明，由，根据幂函数的性质证明，由此比较大小，由此可得结论.
【详解】因为，，
设，则，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，所以，
故，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，故，
又，因为函数在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：；；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据数据之间的联系，构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小.
四、解答题
30．已知函数的定义域为D，区间，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．
(1)已知，判断函数是否为区间上的增长函数，并说明理由；
(2)已知，设，且函数是区间上的增长函数，求实数n的取值范围；
(3)如果函数是定义域为R的奇函数，当时，，且函数为R上的增长函数，求实数a的取值范围．
【答案】(1)是，理由见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合函数单调性分析运算；
（2）根据题意整理可得对恒成立，根据恒成立问题结合一次函数分析运算；
（3）根据函数的单调性，先取特值，可求得，再证明当时，对任意，均有.
【详解】（1）数为区间上的增长函数，理由如下：
由题意可知：在上单调递增，
对，则，可得，
故函数为区间上的增长函数.
（2）若函数是区间上的增长函数，
可得对，则，即，
可得对恒成立，
则，解得，
故实数n的取值范围为.
（3）由题意可得：，
∵函数是定义域为R的奇函数，
当时，则，
故，
可得在上单调递增，在上单调递减，
注意到，
故当时，，当时，，
若函数为R上的增长函数，则对，均有，
取，即，故，则，即，
若，即时，则有：
①当时，则，且在上单调递增，
故；
②当时，则，且，
∵在上单调递减，在上单调递增，
则，
且在上单调递增，则，
故；
③当时，则，
可得，
注意到在上单调递增，
故；
④当时，则，
注意到在上单调递减，在上单调递增，
可得；
⑤当时，则，且在上单调递增，
可得；
综上所述：当时，对，均有.
故实数a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛： 根据的单调性，取特值，先求出实数a的取值范围，再证明其充分性.
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压轴题型10 导数压轴大题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）： 这是一份压轴题型10 导数压轴大题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了已知函数有两个零点，已知.，已知函数，.，已知函数.，已知，是自然对数的底数，函数等内容，欢迎下载使用。
