压轴题型02 构造法在函数中的应用-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）

这是一份压轴题型02 构造法在函数中的应用-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)1 构造法解决高考函数对称与周期性问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)2 主元构造法
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)3 分离参数构造法
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)4 局部构造法
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)5 换元构造法
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)6 特征构造法
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)7 放缩构造法
一、单选题
1．若正数满足，则的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】显然，.
因为且，所以，，.
又由题设，得，则.
故. 选A.
2．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】利用函数的单调性可以证明.令函数，化为.令，利用导数研究其单调性即可得出.
【详解】解：，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
即函数的取值范围为，，
若上存在点，使得成立，
则，.
又在定义域上单调递增.
所以假设，则（c），不满足.
同理假设，也不满足.
综上可得：.，.
函数，的定义域为，
等价为，在，上有解
即平方得，
则，
设，则，
由得，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
即当时，函数取得极小值，即（1），
当时，（e），
则.
则.
故选：.
【点睛】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
3．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称性求出P点横坐标，再由抛物线定义求出即可.
【详解】因为，即，由抛物线的对称性知，
由抛物线定义可知，，即，解得，
故选：D
4．三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.
【详解】不妨设正方体的边长为，球О的半径为R，则圆柱的底面半径为a，
因为正方体的体对角线即为球О直径，故，
利用勾股定理得：，解得，球的表面积为，
故选：C.
5．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将函数有两个零点的问题转化为函数的图象交点个数问题，结合导数的几何意义，数形结合，即可求解.
【详解】由有两个零点，即有两个正根，
即函数的图象有2个交点，
直线可变为，
令，则，即直线过定点，
当该直线与相切时，设切点为，则，
则，即，
令，则在上单调递增，
又，故有唯一零点，
故，
即与曲线相切时，切点为，
则切线斜率为1，
要使函数的图象有2个交点，需满足，
即，
故选：A
【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：
（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；
（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；
（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.
6．已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，．若有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由为奇函数，得的图像关于点对称，由为偶函数，得的图像关于直线对称，进而推出的周期为4，有5个零点，转化为曲线与直线有5个交点，根据周期性可知，的取值范围.
【详解】由为奇函数，得，则，所以的图像关于点对称，则．由为偶函数，得的图像关于直线对称，则．因为，所以，所以，则4为的周期．由函数的周期性可知，的图像关于点对称，关于直线对称．因为当时，，所以当时，．曲线与直线有5个交点，根据周期性可知，曲线与直线有5个交点．根据对称性，在同一坐标系中作出函数的图像与直线，如图．
当直线与圆相切时，，解得；当直线与圆相切时，，解得．结合图形可知．
故选：B．
【点睛】通过函数的奇偶性挖掘周期性与函数图像的对称性，从而能作出整个函数的大致图像，将函数零点转化为方程的根，再转化为两个函数图像交点的横坐标．判断两个函数图像交点的个数时注意数形结合思想的应用，动中蕴静，变化中抓住不变，抓住临界状态，利用直线与圆相切，借助点到直线的距离公式得到参数的临界值，从而求出参数的取值范围，对考生综合分析问题和解决问题的能力要求比较高．
二、填空题
7．已知函数，如果不等式对恒成立，则实数m的取值范围_______________.
【答案】
【分析】求出，将已知条件转化为对恒成立，利用换元法转化为，对恒成立，由可解得结果.
【详解】，得
又，，，
由题意得对恒成立，
等价于，即对恒成立，
显然，令
，
所以，对恒成立，
令是关于t的一次函数，
要使，对恒成立，需，即，
解得：，所以实数m的取值范围
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立
8．下列四个命题（为自然对数的底数）
①；②；③；④.
其中真命题序号为__________.
【答案】②③
【分析】构造函数，利用导数分析其单调性与最值，由，可判定①；由，可判定②；由，结合不等式的性质可判定④；由可得，可判定③.
【详解】构造函数，则有导函数，显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故 ，
由，可得，即有，故①错误；
由，可得，即有，故②正确；
设，可得，在时，，即有，则，故③正确；
构造函数，则有导函数，显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
由，可得，故④错误.
故答案为：②③
【点睛】本题考查构造函数判定不等式成立与否，还考查了利用导数分析单调性与最值，属于难题.
9．设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是____________.
【答案】
【分析】画出图象，换元后分析可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，
令，函数恰好有四个零点．
则方程化为，
设的两根为，
因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内．
令
所以，解得：，
综上：实数的取值范围为
故答案为：
【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
三、解答题
10．已知正数满足，求的最小值.
【答案】
【详解】由柯西不等式可得，
，
所以
， ①
取等号的条件分别为
， ②
③
当时，有，结合②③得
又，所以，整理得
，
故
④
记，则
，
所以在上为增函数，故当时，
于是，由④可得，从而
代入②③求得
代入①式，整理得，因此的最小值为.
11．已知函数在处的切线方程为
(1).求的解析式；
(2).若对任意的，均有求实数k的范围；
(3).设为两个正数，求证:
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，得到.进而求出解析式；
（2）研究函数的单调性，使得函数的最小值大于0即可；
（3）分和两种情况.
当时，构造函数
证得，将式子化简可得结果
【详解】（1）由得，
由题意:，解得，所以．
（2）令，
则，令得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在 上单调递增，
所以的最小值为，
由题意知，解得，故的范围是．
（3）当时，
，因，
故.
当时，不妨设，构造.
则
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为增函数.
从而当时，，
∵，∴，
即
即
故