资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩29页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
压轴题型12 概率与统计压轴大题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）
展开
这是一份压轴题型12 概率与统计压轴大题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了二项分布，超几何分布等内容，欢迎下载使用。
自2019年高考数学考试中，很多人都在惊呼数学题目难度很高。最受人瞩目的全国1卷最后一道压轴题居然是概率统计，这在全国卷中是史无前例的。而且此题超长，字数很多，阅读量大，场景陌生，除了考察概率统计还综合了数列的证明和求解，让人望而生畏、心生退意。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)1 统计问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)2 概率问题一 二项分布
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)3 概率问题二 超几何分布
1．互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；
（2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.
【详解】（1）根据题意，得，
因为，
同理，
所以
，
所以总样本的平均数为，方差.
（2）依题意可知，的所有可能取值为，
设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，
则，
所以，
，
，
所以.
2．9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题.
(1)求这9个生产总值中超过其平均值的概率；
(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.
（附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.）
【答案】(1)
(2)134.6百万元.
【分析】（1）计算9年的生产总值的平均值，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
（2）利用最小二乘法求得回归直线的方程，将代入，即可求得答案.
【详解】（1）根据统计图提供的信息，9年的生产总值的平均值为（百万元）,
所以第三产业生产总值不低于43百万元的有第年，共3个，
所以这9个生产总值中超过其平均值的概率为.
（2）从第6年开始，根据第年的第三产业生产总值为（单位：百万元）及统计图，得
所以，，，
，，
故，
所以从第6年开始，产值关于年数的线性回归方程为，
当时，，
答：第11年的第三产业生产总值约为134.6百万元.
3．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型 （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，，
【答案】(1),这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
(2)（i）；（ii）经验回归方程;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.
【分析】（1）根据相关系数计算，若两个变量正相关，若两个变量负相关，越接近于1说明线性相关越强.
（2）(i)整理得，根据二次函数求最小值时的取值；
(ii) 根据计算公式求得经验回归方程， 并代入可预测2024年移动物联网连接数.
【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.
因为,
所以 ,
所以 ,
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
（2）(i)
，
要使取得最小值，当且仅当.
(ii) 由(i)知 ，
所以y关于x的经验回归方程，又，
所以当 时，则，
所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.
4．近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：
(1)根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程；
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.
①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成绩在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式：，.
参考数据：，，
【答案】(1)
(2)①；580分；②详见解析.
【分析】（1）根据表中数据，分别求得，，，写出线性回归方程.
（2）①由（1）中的线性回归方程求得时的，进而得到该大学2022年的数学专业录取平均分，然后利用原则求解，再由584分以上的有3人可计算出本专业2022年录取学生共多少人；再由前46名占比计算出一等奖学金分数线应该设定为多少分；
②若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成绩在584分以上的人数，其中该专业获得一等奖学金的学生为46人，其中高考成绩在584分以上的有3人，则的可能取值为0，1，2，3，再由超几何分布的概率求解计算出概率并列出分布列进而求得数学期望.
【详解】（1）由题意知，
，
，
，所以，
，
故所求线性回归方程为．
（2）①由（1）知，当时，，
故该大学2022年的数学专业录取平均分约为．即
因为，又，
若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，
则本专业2022年录取学生共；
进入本专业高考成绩前46名的学生占录取人数的，
设一等奖学金分数线应该设定为分，
则，
，
故一等奖学金分数线应该设定为580分；
②若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成绩在584分以上的人数，其中该专业获得一等奖学金的学生为46人，其中高考成绩在584分以上的有3人，则的可能取值为0，1，2，3；
；；
；
.
5．由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.
(1)若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1）
(2)若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.
附：经验回归方程系数：，，，.
【答案】(1)；3.
(2)分布列见解析；.
(3)；证明见解析.
【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值；
（2）确定X的取值可能为，根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望;
（3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知 ,
故，
所以 ，
所以线性回归方程为： ，
所以，估计时，.
（2）由题意知：，，，，
则X的取值可能为，
记“含红球的行数为k”为事件，记“每列都有白球”为事件B，
所以 ，
，
，
所以X的分布列为：
所以数学期望为.
（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为 ,
记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，所以，
记“每一行都至少一个白球”为事件B，所以，
显然， ，所以 ，
即，所以.
【点睛】关键点点睛：解答要首先能正确的理解题意，弄清楚题目的要求是什么，比如第二文中的条件概率的计算，要弄清每种情况的含义，第三问难点在于正确计算出“不是每一列都至少一个红球”以及“每一行都至少一个白球”的概率，并能进行判断二者之间的关系，从而比较概率大小，证明结论.
6．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)2
(2)5
(3)空白栏中填5，
【分析】（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为，得到关于的等式，求解出即可；
（2）由各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；
（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出，即可求解出回归直线方程.
【详解】（1）设各小长方形的宽度为，
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知，
解得.
所以图中各小长方形的宽度为2.
（2）由（1）知各小组依次是，
各小组的中点分别为，对应的频率分别为，
所以可估计销售收益的平均值为.
（3）由（2）可知空白栏中填5，
由题意可知，
，，
根据公式，可求得，则，
所以所求的回归直线方程为.
7．某电视台为宣传本省，随机对本省内15~65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示
(1)分别求出、、、的值；
(2)从第2､3､4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
(3)求出直方图中，前三组（第1､2､3组）的平均年龄数（结果保留一位小数）？
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【分析】（1）先算出第4组的总人数，再根据频率分布直方图得到第4组的频率，从而可计算总人数，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得的值；
（2）先利用分层抽样求得第2、3、4组抽取的人数，再利用列举法及古典概型概率的求法即可得解；
（3）利用频率分布直方图平均数的求法即可求得所求.
【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知，
所以，
，
，
.
（2）由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为；
第3组抽取（人），记为；第4组抽取（人），记为；
所以从6人随机抽取2人的基本事件有，共15件，
其中所抽取的人中恰好没有第3组的人（记为事件）的基本事件有，共3件，
所以，即所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为.
（3）根据题意，得
前三组（第1､2､3组）的频率为，
所以前三组（第1､2､3组）的平均年龄数.
8．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
【答案】(1)，
(2)证明见解析；
(3)时，，当时，，统计含义见解析
【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；
（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.
【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,
9．某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A种疫苗后，再为居民们接种，记第n位居民（不包含张医生）接种A，B，C，D四种疫苗的概率分别为.
(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；
(2)证明：；
(3)张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A，B，C，D四种的概率，解释张医生观点的合理性.
参考数据：
【答案】(1)第2位居民接种疫苗的概率最大
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）易知第1位居民接种疫苗的概率分别为，再分若第2位居民接种则第1位居民接种BCD，若第2位居民接种B则第1位居民接种CD，利用互斥事件和独立事件的概率求解；
（2）由题意得到，同理，两式相减，结合，证明，同理可得；
（3）由，得到故数列是公比为的等比数列求解,进而得到，比较.
【详解】（1）解：第1位居民接种疫苗的概率分别为，
第2位居民接种疫苗的概率；
第2位居民接种疫苗的概率；
同理，第2位居民接种疫苗的概率也等于.
故第2位居民接种疫苗的概率最大.
（2）证明：由于第位居民接种疫苗概率分别为，
则，
同理：，
相减得，
又，同理可得，
故.
（3）因为，所以，
故数列是公比为的等比数列.
又由，
故，
即，
从而，
同理，
所以，
第10位居民接种疫苗概率应该相差无几.
第位居民接种疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理.
10．将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
(1)求；
(2)当时，求得表达式；
(3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率.
（2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案.
（3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案.
【详解】（1）当时，，
即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，
则恰好取到0的概率为；
（2）当时，这个数有1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成个四位数组成，；
综上所述：，
（3）时，，
当时，；
当时，，即，
同理有，
由，可知，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由关于k单调递增，
故当时，有的最大值为，
又，所以当时，的最大值为．
【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.
11．设数轴上有一只兔子，从坐标开始，每秒以的概率向正方向跳一个单位，以的概率向反方向跳一个单位，记兔子第n秒时的位置为．
(1)证明：；
(2)记是表达式的最大值，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)若n次跳动中一共向右跳了k次，则．得到，若n次跳动中一共向左跳了k次，则．得到，再利用，讨论或即可得证；
(2)先计算，再利用，，进行放缩可以得证.
【详解】（1）若n次跳动中一共向右跳了k次，则．
因此，，1，2，…，n．
若n次跳动中一共向左跳了k次，则．
故，，1，2，…，n．
于是，
当时，；
当时，．
故，
即．
（2）
因此．
【点睛】关键点点睛：
第一问中借助，
从而讨论或即可得证；
第二问中借助，，多次放缩才得证.
12．2022年冬奥会由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛在改造一新的水立方进行.女子冰壶比赛由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主对奥运冠军发起冲击.奥运会冰壶比赛将分为循环赛､淘汰赛和决赛三部分，其中循环赛前三名晋级淘汰赛.在淘汰赛中，循环赛第一和第二的两支队伍先进行一场比赛，胜者晋级最后的决赛，负者与循环赛第三名再进行一场比赛，胜者晋级决赛，败者即为本届比赛的第三名.决赛决出比赛的第一名与第二名.
(1)循环赛进行九轮比赛，每支队伍都需要与其余九支队伍各进行一场比赛.中国队的主要对手包括加拿大队､瑞士队､瑞典队､英国队.若循环赛的赛程完全随机排列，则中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率是多少？
(2)若中国队以循环赛第二名的成绩进入淘汰赛，同时进入淘汰赛的还有排名第一的加拿大队和排名第三的瑞士队.过往战绩表明，中国队与加拿大队对战获胜的概率为40%，与瑞士队对战获胜的概率为60%，加拿大队战胜瑞士队的概率为70%.假定每场比赛胜负的概率独立.若以随机变量X表示中国队最终获得的名次，求其分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为名
【分析】（1）利用排列组合的计数法，分别求出中国队的九个对手在前六轮的排布情况数与主要对手出在前六轮的排布情况数，从而利用古典概型的概率求法求解即可；
（2）先根据题意得到的可能取值，再分析中国队取得对应名次所经历的比赛场次，从而得到对应的概率，进而得到的分布列，由此求得的数学期望.
【详解】（1）依题意，中国队的九个对手在前六轮的排布情况总数为，若四个主要对手都出现在前六轮交锋，则前六轮的排布情况为，
所以中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率为.
（2）依题意，的可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列如下：
所以的数学期望为（名）.
13．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对立事件的概率公式与条件概率公式，结合古典概型求解即可；
（2）利用全概率公式，结合古典概型求解即可.
【详解】（1）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，
则，
.
（2）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则.
14．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
(2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；
(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果；
（2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；
（3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线.
【详解】（1）依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得
成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：；
成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：；
所以，解得，
所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人.
（2）由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为，
则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件，
其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件，
故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为.
（3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为，
所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为，
故，解得，
所以成绩良好的最低分数线为.
15．为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
(2)当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；
（2）先得到双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为，比分为2∶1或1∶2的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可.
【详解】（1）X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
，则或．
即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A部胜，
概率为，同理B部胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
不妨设最终A部获胜，
当前两天的比分为2∶0和2∶1时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，
当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为，
故最终A部获胜的概率为，
同理B部胜，概率为，
故．
所以．
16．已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡．
(1)求事件“第1轮无红色卡牌”的概率；
(2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用组合数，结合古典概型的概率求法求；
（2）应用组合数，结合互斥事件的加法公式求；
（3）讨论第一轮有红牌1、2、3张，对应第二轮出现红牌可能张数的概率和，即可求.
【详解】（1）由题意，“第1轮无红色卡牌”的概率.
（2）由题意，“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率.
（3）要使每轮都有红色卡牌，有如下情况：
第一轮抽到1张红牌，则第二轮红牌有1张、2张、3张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到2张红牌，则第二轮红牌有1张、2张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到3张红牌，则第二轮红牌有1张，
此时每轮都有红牌的概率为，
综上，3轮中“每轮均有红色卡牌”的概率.
17．智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间（单位：分钟）的频率分布直方图（如图所示），其分组如下：
.
(1)根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者使用时间的中位数；（精确到整数）
(2)在抽取的100名手机使用者中，在和中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自和的概率.
【答案】(1)57分钟
(2)
【分析】（1）设中位数为x，利用面积之和为0.5求解即可；
（2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可
【详解】（1）设中位数为x，易知x∈（40，60]，
则0.0025×20+0.0100×20+0.0150×（x-40）=0.5，
解得x=≈57.
∴这500名手机使用者使用时间的中位数是57分钟.
（2）设在（20，40]内抽取的2人分别为a，b，在（40，60]内抽取的3人分别为x，y，z，
则从5人中选出2人共有以下10种情况：
（a，b），（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z），（x，y），（x，z），（y，z），
2名组长分别选自（20，40]和（40，60]的共有以下6种情况：
（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z）.
∴所求概率为=.
18．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；
（2）根据题意，结合二项分布的概率公式求解.
【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，
36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，
其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人数超过30人的有2个.
设事件为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”
事件为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”
则，，
，
所以.
（2）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为，
所以小在轮测试中获得“优秀”的次数满组，
由，得.
所以理论上至少要进行12轮测试.
19．在运动会上，甲､乙､丙参加跳高比赛，比赛成绩达到米及以上将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了三位选手以往的比赛成绩，数据如下（单位：米）
甲：
乙：
丙：
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立
(1)求甲在比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设是甲､乙､丙在比赛中获得优秀奖的总人数，求的数学期望；
(3)甲､乙､丙在比赛中，谁获得冠军的可能性最大？
【答案】(1)；
(2)；
(3)丙获得概率的估计值最大.
【分析】（1）根据数据计算甲成绩大于等于的概率即可；
（2）易得的可能取值为，再根据所给数据可得甲乙丙获得优秀的概率，进而求得的分布列与数学期望即可；
（3）分别分析甲跳各个成绩夺冠的概率，再分析丙跳各成绩夺冠的概率，进而用概率和为1求解乙夺冠的概率，从而判断出最大值判断即可.
（1）
甲比赛成绩有10次，大于等于的有2次，所以甲获得优秀奖的概率为.
（2）
的可能取值为，时，没有人获得优秀奖，，
同理，
所以.
（3）由题意，甲跳出夺冠的概率相等，为，跳出夺冠的概率为，跳出夺冠的概率为，故甲夺冠的概率为；
丙跳出并获得冠军概率为，跳出并获得冠军的概率为，所以丙获得冠军的概率估计值为；
乙夺冠的概率为.
所以丙获得概率的估计值最大.
20．在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用．某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药．初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．
(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以表示选取的人中服药后有效的人数，求的分布列和数学期望；
(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，分别求出相应的概率，进而求解；
（2）由全概率公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）设“任取一人新药对其有效”，“患者来自第i组”（，2，3，分别对应甲，乙，丙），
则，且，，两两互斥，根据题意得：
，，，
，，，
由全概率公式，得
，
任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自于乙组的概率
，
所以，任意选取一人，发现新药对其有效，则他来自乙组的概率为6
7
8
9
42
60
78
98
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
该校最低提档分数线
510
511
520
512
526
数学专业录取平均分
522
527
540
536
554
提档线与数学专业录取平均分之差
12
16
20
24
28
0
1
2
3
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
0
1
2
广告投入（单位：万元）
1
2
3
4
5
销售收益（单位：万元）
2
3
2
7
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
0.5
第2组
18
第3组
0.9
第4组
9
0.36
第5组
3
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
P
自2019年高考数学考试中，很多人都在惊呼数学题目难度很高。最受人瞩目的全国1卷最后一道压轴题居然是概率统计，这在全国卷中是史无前例的。而且此题超长，字数很多，阅读量大，场景陌生，除了考察概率统计还综合了数列的证明和求解，让人望而生畏、心生退意。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)1 统计问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)2 概率问题一 二项分布
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)3 概率问题二 超几何分布
1．互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；
（2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.
【详解】（1）根据题意，得，
因为，
同理，
所以
，
所以总样本的平均数为，方差.
（2）依题意可知，的所有可能取值为，
设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，
则，
所以，
，
，
所以.
2．9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题.
(1)求这9个生产总值中超过其平均值的概率；
(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.
（附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.）
【答案】(1)
(2)134.6百万元.
【分析】（1）计算9年的生产总值的平均值，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
（2）利用最小二乘法求得回归直线的方程，将代入，即可求得答案.
【详解】（1）根据统计图提供的信息，9年的生产总值的平均值为（百万元）,
所以第三产业生产总值不低于43百万元的有第年，共3个，
所以这9个生产总值中超过其平均值的概率为.
（2）从第6年开始，根据第年的第三产业生产总值为（单位：百万元）及统计图，得
所以，，，
，，
故，
所以从第6年开始，产值关于年数的线性回归方程为，
当时，，
答：第11年的第三产业生产总值约为134.6百万元.
3．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型 （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，，
【答案】(1),这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
(2)（i）；（ii）经验回归方程;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.
【分析】（1）根据相关系数计算，若两个变量正相关，若两个变量负相关，越接近于1说明线性相关越强.
（2）(i)整理得，根据二次函数求最小值时的取值；
(ii) 根据计算公式求得经验回归方程， 并代入可预测2024年移动物联网连接数.
【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.
因为,
所以 ,
所以 ,
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
（2）(i)
，
要使取得最小值，当且仅当.
(ii) 由(i)知 ，
所以y关于x的经验回归方程，又，
所以当 时，则，
所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.
4．近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：
(1)根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程；
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.
①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成绩在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式：，.
参考数据：，，
【答案】(1)
(2)①；580分；②详见解析.
【分析】（1）根据表中数据，分别求得，，，写出线性回归方程.
（2）①由（1）中的线性回归方程求得时的，进而得到该大学2022年的数学专业录取平均分，然后利用原则求解，再由584分以上的有3人可计算出本专业2022年录取学生共多少人；再由前46名占比计算出一等奖学金分数线应该设定为多少分；
②若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成绩在584分以上的人数，其中该专业获得一等奖学金的学生为46人，其中高考成绩在584分以上的有3人，则的可能取值为0，1，2，3，再由超几何分布的概率求解计算出概率并列出分布列进而求得数学期望.
【详解】（1）由题意知，
，
，
，所以，
，
故所求线性回归方程为．
（2）①由（1）知，当时，，
故该大学2022年的数学专业录取平均分约为．即
因为，又，
若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，
则本专业2022年录取学生共；
进入本专业高考成绩前46名的学生占录取人数的，
设一等奖学金分数线应该设定为分，
则，
，
故一等奖学金分数线应该设定为580分；
②若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成绩在584分以上的人数，其中该专业获得一等奖学金的学生为46人，其中高考成绩在584分以上的有3人，则的可能取值为0，1，2，3；
；；
；
.
5．由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.
(1)若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1）
(2)若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.
附：经验回归方程系数：，，，.
【答案】(1)；3.
(2)分布列见解析；.
(3)；证明见解析.
【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值；
（2）确定X的取值可能为，根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望;
（3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知 ,
故，
所以 ，
所以线性回归方程为： ，
所以，估计时，.
（2）由题意知：，，，，
则X的取值可能为，
记“含红球的行数为k”为事件，记“每列都有白球”为事件B，
所以 ，
，
，
所以X的分布列为：
所以数学期望为.
（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为 ,
记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，所以，
记“每一行都至少一个白球”为事件B，所以，
显然， ，所以 ，
即，所以.
【点睛】关键点点睛：解答要首先能正确的理解题意，弄清楚题目的要求是什么，比如第二文中的条件概率的计算，要弄清每种情况的含义，第三问难点在于正确计算出“不是每一列都至少一个红球”以及“每一行都至少一个白球”的概率，并能进行判断二者之间的关系，从而比较概率大小，证明结论.
6．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)2
(2)5
(3)空白栏中填5，
【分析】（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为，得到关于的等式，求解出即可；
（2）由各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；
（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出，即可求解出回归直线方程.
【详解】（1）设各小长方形的宽度为，
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知，
解得.
所以图中各小长方形的宽度为2.
（2）由（1）知各小组依次是，
各小组的中点分别为，对应的频率分别为，
所以可估计销售收益的平均值为.
（3）由（2）可知空白栏中填5，
由题意可知，
，，
根据公式，可求得，则，
所以所求的回归直线方程为.
7．某电视台为宣传本省，随机对本省内15~65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示
(1)分别求出、、、的值；
(2)从第2､3､4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
(3)求出直方图中，前三组（第1､2､3组）的平均年龄数（结果保留一位小数）？
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【分析】（1）先算出第4组的总人数，再根据频率分布直方图得到第4组的频率，从而可计算总人数，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得的值；
（2）先利用分层抽样求得第2、3、4组抽取的人数，再利用列举法及古典概型概率的求法即可得解；
（3）利用频率分布直方图平均数的求法即可求得所求.
【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知，
所以，
，
，
.
（2）由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为；
第3组抽取（人），记为；第4组抽取（人），记为；
所以从6人随机抽取2人的基本事件有，共15件，
其中所抽取的人中恰好没有第3组的人（记为事件）的基本事件有，共3件，
所以，即所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为.
（3）根据题意，得
前三组（第1､2､3组）的频率为，
所以前三组（第1､2､3组）的平均年龄数.
8．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
【答案】(1)，
(2)证明见解析；
(3)时，，当时，，统计含义见解析
【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；
（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.
【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,
9．某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A种疫苗后，再为居民们接种，记第n位居民（不包含张医生）接种A，B，C，D四种疫苗的概率分别为.
(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；
(2)证明：；
(3)张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A，B，C，D四种的概率，解释张医生观点的合理性.
参考数据：
【答案】(1)第2位居民接种疫苗的概率最大
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）易知第1位居民接种疫苗的概率分别为，再分若第2位居民接种则第1位居民接种BCD，若第2位居民接种B则第1位居民接种CD，利用互斥事件和独立事件的概率求解；
（2）由题意得到，同理，两式相减，结合，证明，同理可得；
（3）由，得到故数列是公比为的等比数列求解,进而得到，比较.
【详解】（1）解：第1位居民接种疫苗的概率分别为，
第2位居民接种疫苗的概率；
第2位居民接种疫苗的概率；
同理，第2位居民接种疫苗的概率也等于.
故第2位居民接种疫苗的概率最大.
（2）证明：由于第位居民接种疫苗概率分别为，
则，
同理：，
相减得，
又，同理可得，
故.
（3）因为，所以，
故数列是公比为的等比数列.
又由，
故，
即，
从而，
同理，
所以，
第10位居民接种疫苗概率应该相差无几.
第位居民接种疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理.
10．将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
(1)求；
(2)当时，求得表达式；
(3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率.
（2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案.
（3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案.
【详解】（1）当时，，
即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，
则恰好取到0的概率为；
（2）当时，这个数有1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成个四位数组成，；
综上所述：，
（3）时，，
当时，；
当时，，即，
同理有，
由，可知，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由关于k单调递增，
故当时，有的最大值为，
又，所以当时，的最大值为．
【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.
11．设数轴上有一只兔子，从坐标开始，每秒以的概率向正方向跳一个单位，以的概率向反方向跳一个单位，记兔子第n秒时的位置为．
(1)证明：；
(2)记是表达式的最大值，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)若n次跳动中一共向右跳了k次，则．得到，若n次跳动中一共向左跳了k次，则．得到，再利用，讨论或即可得证；
(2)先计算，再利用，，进行放缩可以得证.
【详解】（1）若n次跳动中一共向右跳了k次，则．
因此，，1，2，…，n．
若n次跳动中一共向左跳了k次，则．
故，，1，2，…，n．
于是，
当时，；
当时，．
故，
即．
（2）
因此．
【点睛】关键点点睛：
第一问中借助，
从而讨论或即可得证；
第二问中借助，，多次放缩才得证.
12．2022年冬奥会由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛在改造一新的水立方进行.女子冰壶比赛由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主对奥运冠军发起冲击.奥运会冰壶比赛将分为循环赛､淘汰赛和决赛三部分，其中循环赛前三名晋级淘汰赛.在淘汰赛中，循环赛第一和第二的两支队伍先进行一场比赛，胜者晋级最后的决赛，负者与循环赛第三名再进行一场比赛，胜者晋级决赛，败者即为本届比赛的第三名.决赛决出比赛的第一名与第二名.
(1)循环赛进行九轮比赛，每支队伍都需要与其余九支队伍各进行一场比赛.中国队的主要对手包括加拿大队､瑞士队､瑞典队､英国队.若循环赛的赛程完全随机排列，则中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率是多少？
(2)若中国队以循环赛第二名的成绩进入淘汰赛，同时进入淘汰赛的还有排名第一的加拿大队和排名第三的瑞士队.过往战绩表明，中国队与加拿大队对战获胜的概率为40%，与瑞士队对战获胜的概率为60%，加拿大队战胜瑞士队的概率为70%.假定每场比赛胜负的概率独立.若以随机变量X表示中国队最终获得的名次，求其分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为名
【分析】（1）利用排列组合的计数法，分别求出中国队的九个对手在前六轮的排布情况数与主要对手出在前六轮的排布情况数，从而利用古典概型的概率求法求解即可；
（2）先根据题意得到的可能取值，再分析中国队取得对应名次所经历的比赛场次，从而得到对应的概率，进而得到的分布列，由此求得的数学期望.
【详解】（1）依题意，中国队的九个对手在前六轮的排布情况总数为，若四个主要对手都出现在前六轮交锋，则前六轮的排布情况为，
所以中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率为.
（2）依题意，的可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列如下：
所以的数学期望为（名）.
13．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对立事件的概率公式与条件概率公式，结合古典概型求解即可；
（2）利用全概率公式，结合古典概型求解即可.
【详解】（1）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，
则，
.
（2）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则.
14．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
(2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；
(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果；
（2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；
（3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线.
【详解】（1）依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得
成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：；
成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：；
所以，解得，
所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人.
（2）由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为，
则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件，
其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件，
故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为.
（3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为，
所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为，
故，解得，
所以成绩良好的最低分数线为.
15．为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
(2)当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；
（2）先得到双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为，比分为2∶1或1∶2的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可.
【详解】（1）X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
，则或．
即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A部胜，
概率为，同理B部胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
不妨设最终A部获胜，
当前两天的比分为2∶0和2∶1时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，
当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为，
故最终A部获胜的概率为，
同理B部胜，概率为，
故．
所以．
16．已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡．
(1)求事件“第1轮无红色卡牌”的概率；
(2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用组合数，结合古典概型的概率求法求；
（2）应用组合数，结合互斥事件的加法公式求；
（3）讨论第一轮有红牌1、2、3张，对应第二轮出现红牌可能张数的概率和，即可求.
【详解】（1）由题意，“第1轮无红色卡牌”的概率.
（2）由题意，“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率.
（3）要使每轮都有红色卡牌，有如下情况：
第一轮抽到1张红牌，则第二轮红牌有1张、2张、3张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到2张红牌，则第二轮红牌有1张、2张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到3张红牌，则第二轮红牌有1张，
此时每轮都有红牌的概率为，
综上，3轮中“每轮均有红色卡牌”的概率.
17．智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间（单位：分钟）的频率分布直方图（如图所示），其分组如下：
.
(1)根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者使用时间的中位数；（精确到整数）
(2)在抽取的100名手机使用者中，在和中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自和的概率.
【答案】(1)57分钟
(2)
【分析】（1）设中位数为x，利用面积之和为0.5求解即可；
（2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可
【详解】（1）设中位数为x，易知x∈（40，60]，
则0.0025×20+0.0100×20+0.0150×（x-40）=0.5，
解得x=≈57.
∴这500名手机使用者使用时间的中位数是57分钟.
（2）设在（20，40]内抽取的2人分别为a，b，在（40，60]内抽取的3人分别为x，y，z，
则从5人中选出2人共有以下10种情况：
（a，b），（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z），（x，y），（x，z），（y，z），
2名组长分别选自（20，40]和（40，60]的共有以下6种情况：
（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z）.
∴所求概率为=.
18．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；
（2）根据题意，结合二项分布的概率公式求解.
【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，
36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，
其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人数超过30人的有2个.
设事件为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”
事件为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”
则，，
，
所以.
（2）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为，
所以小在轮测试中获得“优秀”的次数满组，
由，得.
所以理论上至少要进行12轮测试.
19．在运动会上，甲､乙､丙参加跳高比赛，比赛成绩达到米及以上将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了三位选手以往的比赛成绩，数据如下（单位：米）
甲：
乙：
丙：
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立
(1)求甲在比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设是甲､乙､丙在比赛中获得优秀奖的总人数，求的数学期望；
(3)甲､乙､丙在比赛中，谁获得冠军的可能性最大？
【答案】(1)；
(2)；
(3)丙获得概率的估计值最大.
【分析】（1）根据数据计算甲成绩大于等于的概率即可；
（2）易得的可能取值为，再根据所给数据可得甲乙丙获得优秀的概率，进而求得的分布列与数学期望即可；
（3）分别分析甲跳各个成绩夺冠的概率，再分析丙跳各成绩夺冠的概率，进而用概率和为1求解乙夺冠的概率，从而判断出最大值判断即可.
（1）
甲比赛成绩有10次，大于等于的有2次，所以甲获得优秀奖的概率为.
（2）
的可能取值为，时，没有人获得优秀奖，，
同理，
所以.
（3）由题意，甲跳出夺冠的概率相等，为，跳出夺冠的概率为，跳出夺冠的概率为，故甲夺冠的概率为；
丙跳出并获得冠军概率为，跳出并获得冠军的概率为，所以丙获得冠军的概率估计值为；
乙夺冠的概率为.
所以丙获得概率的估计值最大.
20．在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用．某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药．初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．
(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以表示选取的人中服药后有效的人数，求的分布列和数学期望；
(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，分别求出相应的概率，进而求解；
（2）由全概率公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）设“任取一人新药对其有效”，“患者来自第i组”（，2，3，分别对应甲，乙，丙），
则，且，，两两互斥，根据题意得：
，，，
，，，
由全概率公式，得
，
任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自于乙组的概率
，
所以，任意选取一人，发现新药对其有效，则他来自乙组的概率为6
7
8
9
42
60
78
98
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
该校最低提档分数线
510
511
520
512
526
数学专业录取平均分
522
527
540
536
554
提档线与数学专业录取平均分之差
12
16
20
24
28
0
1
2
3
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
0
1
2
广告投入（单位：万元）
1
2
3
4
5
销售收益（单位：万元）
2
3
2
7
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
0.5
第2组
18
第3组
0.9
第4组
9
0.36
第5组
3
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
P
相关试卷
压轴题型14 八个视角处理双变量导数压轴题-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）： 这是一份压轴题型14 八个视角处理双变量导数压轴题-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了构造偏函数，比值代换消元，同构型双变量，切线估计与“剪刀差模型”，已知函数，其中是自然对数的底数，不等式放缩，已知函数．，多项式拟合等内容，欢迎下载使用。
压轴题型11 圆锥曲线压轴题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）： 这是一份压轴题型11 圆锥曲线压轴题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了如图，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
压轴题型10 导数压轴大题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）： 这是一份压轴题型10 导数压轴大题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了已知函数有两个零点，已知.，已知函数，.，已知函数.，已知，是自然对数的底数，函数等内容，欢迎下载使用。
