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压轴题03 不等式压轴题13题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）
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这是一份压轴题03 不等式压轴题13题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用），文件包含压轴题03不等式压轴题13题型汇总原卷版docx、压轴题03不等式压轴题13题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共93页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
压轴题03不等式压轴题十三大题型汇总
01多元不等式最值、取值范围问题
1. （2024·贵州·三模）以maxMminM表示数集M中最大（小）的数.设a>0,b>0,c>0，已知a2c+b2c=1，则minmax1a,1b,1c= .
2. （2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知正数a，b满足a+b=1，c∈R，则3abc2+b+1abc2+ab+3c2的最小值为 .
3.（多选） （2024·浙江·二模）已知正实数a，b，c，且a>b>c，x，y，z为自然数，则满足xa−b+yb−c+zc−a>0恒成立的x，y，z可以是（ ）
A．x=1，y=1，z=4B．x=1，y=2，z=5
C．x=2，y=2，z=7D．x=1，y=3，z=9
4. （2024·河北邯郸·三模）记min{x,y,z}表示x，y，z中最小的数．设a>0，b>0，则mina,1b,1a+3b的最大值为 ．
5. （2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是 .
02基本不等式提升
6.（2024·全国·模拟预测）若实数a，b，c满足条件：ea−b+c+ea+b−c=2e2a−1，则abca4+b4+c4的最大值是 ．
7. （2024·全国·模拟预测）已知x>0，y>0且x+y=1，则x21+x2+y21+y2的最小值为（ ）
A．15B．25C．35D．45
8. （2024·江苏苏州·模拟预测）已知“a>0,b>0”与“a+b=1”互为充要条件，则“1a+4ab”和“1a+1b+8a2+b2”的最小值之和为 ．
9. （2023·全国·模拟预测）已知x∈4,+∞，y∈0,5，z∈0,1，则2x+y+4zx+2z+2x+zy的最小值为 ．
10. （2023·天津武清·模拟预测）已知a>0，b>0，c>0,blg42+4clg162=62，则ac2+2abc+8a+1最小值为 .
03基本不等式与三角函数结合
11.（2023·山西·模拟预测）已知α,β,γ均是锐角，设sinαcsβ+sinβcsγ+sinγcsα的最大值为tanθ，则sinθsinθ+csθ=（ ）
A．3B．1513C．1D．513
12. （2024·湖南·模拟预测）如图所示，面积为π的扇形OMN中，M,N分别在x,y轴上，点P在弧MN上（点P与点M,N不重合），分别在点P,N作扇形OMN所在圆的切线l1,l2，且l1与l2交于点Q，其中l1与x轴交于点R，则NQ+QR的最小值为（ ）
A．4B．23C．6D．2
13. （2023·江西·二模）在△ABC中2sinA+sinB=2sinC，则5sinA+9sinC的最小值为（ ）
A．14B．16C．18D．20
14. （23-24高三上·重庆·阶段练习）若α+β−sinγ=0，则α+β−csγ的最大值为 ．
15. （22-23高三上·江苏·阶段练习）在△PAB中，PA=PB，点C，D分别在PB，PA边上．
(1)若∠APB=π3，CD=1，求△PCD面积的最大值；
(2)设四边形ABCD的外接圆半径为R，若∠APB∈π3,π，且AB⋅BC⋅CD⋅DA的最大值为49，求R的值．
04基本不等式与解析几何结合
16.（2024·河南·模拟预测）已知点Pm,n是圆 C :x2+y2=8上的任意一点，则 m−n214m+n2+1的最大值为（ ）
A．25B．24C．23D．22
17. （2024·浙江·一模）已知A,B分别是双曲线C:x24−y2=1的左，右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，PB与x=1交于M,N两点，△PMN,△PAB的外接圆面积分别为S1,S2，则S1S2的最小值为（ ）
A．316B．34C．34D．1
18. （2024·陕西安康·模拟预测）如图，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在C的渐近线上，点A关于x轴的对称点为B,OA⋅AF=0(O为坐标原点)，记四边形OAFB的面积为S1，四边形OAFB的外接圆M的面积为S2，则S1S2的最大值为 ，此时双曲线的离心率为 .
19. （2023·上海崇明·一模）已知正实数a,b,c,d满足a2−ab+1=0,c2+d2=1,则当 a−c2+b−d2取得最小值时，ab=
20. （2024·全国·模拟预测）我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆E:x22+y2=1的左、右顶点分别为A,B，上顶点为D．
(1)若椭圆F:x2s+y22=1与椭圆E在“一簇椭圆系”中，求常数s的值；
(2)设椭圆G:x22+y2=λ(0<λ<1)，过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为k2的直线l2与椭圆G有且只有一个公共点，求当λ为何值时，k1+k2取得最小值，并求其最小值；
(3)若椭圆H:x22+y2t=1(t>2)与椭圆E在“一簇椭圆系”中，椭圆H上的任意一点记为Cx0,y0求证：△ABC的垂心M必在椭圆E上．
05基本不等式与向量结合
21.（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅ba2+b2，a⊙b=a⋅bb2．若平面向量a,b满足a>b>0，且a⊕b和a⊙b都在集合n4|n∈Z,0A．1B．32C．1或74D．1或54
22. （2022·浙江杭州·模拟预测）已知单位向量e，向量bi(i=1,2)，满足e−bi=e⋅bi，且xb1+yb2=e，其中x+y=1，当|b1−b2|取到最小时，b1⋅b2= ．
23. （23-24高三下·天津和平·开学考试）在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设AB=a，AC=b，记AN=ma+nb，则m−n= ；若∠A=π6，△ABC的面积为3，则当BC= 时，AM⋅AN取得最小值．
24. （2022·浙江·模拟预测）已知e为单位向量，a⋅e=1，2022b=a+2021e，当取到最大值时，a−e等于（ ）
A．2022B．20222022C．2021D．20212021
25. （2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线x2m2−y2n2=1m>0,n>0有公共焦点F1−c,0，F2c,0 c>0，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，则1e12+3e22= ；I为△F1PF2的内心，F1,I,G三点共线，且GP⋅IP=0，x轴上点A,B满足AI=λIP，BG=μGP，则λ2+μ2的最小值为 ．
06基本不等式新考点
26.（2024·广东湛江·二模）当x>0，y>0时，x+y2≥xy.这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx+μy≥xλyμ，其中λ+μ=1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx+μy≈xλyμ.用这个式子估计10可以这样操作：1012×912≈12×10+12×9=192，则10≈196≈3.167.用这样的方法，可得328的近似值为（ ）
A．3.033B．3.035C．3.037D．3.039
27. （2024·浙江·模拟预测）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（ ）
A．46B．45C．44D．43
28. （2024·广东广州·二模）设10≤x1A．Dξ1B．Dξ1=Dξ2
C．Dξ1>Dξ2
D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1,x2,x3,x4,x5的取值有关
29. （2023·山东·二模）已知随机变量ξ~N2,σ2，且Pξ≤1=Pξ≥a+2，则11+ax−11+3xx>0的最大值为（ ）
A．3+23B．3−23
C．2+3D．2−3
30. （23-24高三上·江苏镇江·开学考试）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为p1，p2，且满足p1+p2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若EX=16，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．27B．24C．32D．28
07基本不等式与正余弦定理结合
31.（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinA=acsC,c=2．若G为△ABC的重心，则GA2+GB2−GC2的最小值为（ ）
A．12−429B．8+429C．42−23D．4+223
32. （2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足csα=13，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．1030+153cmB．1030−153cm
C．1010+53cmD．1010−53cm
33. （2024·四川泸州·二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=3a2−3b2，则tanA−B的最大值为 ．
34. （2024·四川泸州·二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=2a2−2b2，则A−B的最大值为 ．
35. （2024·福建莆田·二模）如图，点O是边长为1的正六边形ABCDEF的中心，l是过点O的任一直线，将此正六边形沿着l折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为 ．
08指对函数与不等式
36.（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：xt=X0cshabt−baY0sinhabtyt=Y0cshabt−abX0sinhabt，其中正实数X0，Y0分别为红、蓝两方的初始兵力，t为战斗时间；xt，yt分别为红、蓝两方t时刻的兵力；正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；cshx=ex+e−x2和sinhx=ex−e−x2分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．则下列结论不正确的是（ ）
A．若X0>Y0且a=b，则xt>yt0≤t≤T
B．若X0>Y0且a=b，则T=1alnX0+Y0X0−Y0
C．若X0Y0>ba，则红方获得战斗演习胜利
D．若X0Y0>ba，则红方获得战斗演习胜利
37. （2024·北京丰台·一模）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个n级火箭，在第n级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为v=3ln10na1a2⋯an9+a19+a2⋯9+an，
其中ai=mp+j=inmjmp+j=inmj−mii=1,2,⋯,n．
注：mp表示人造天体质量，mj表示第j（j=1,2,⋯,n）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
①a1a2⋯an<1；
②当n=1时，v<3ln10；
③当n=2时，若v=12ln2，则a1a2≥6．
其中所有正确结论的序号是 ．
38. （2023·天津滨海新·模拟预测）已知正实数x，y，z满足2x=3y=6z，则不正确的是（ ）
A．1x+1y=1zB．2x>3y>6z
C．x2>y3>z6D．xy>4z2
39. （2021·陕西安康·三模）若对任意x∈[2,8]，总存在y∈[1,2]，使得y+2y+mlg22x+4=lg2x成立，则m的最小值是（ ）
A．−254B．−234C．−145D．−165
40. （2023·天津滨海新·三模）已知正实数m，n，满足e1−2m=2m+nen，则m+2m2n+2nm的最小值为 .
09基本不等式与立体几何结合
41.（2024·安徽·模拟预测）设P−ABCD与Q−ABCD为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为2且∠PCQ=90°，点M在线段AC上，且3CM=AM，将异面直线PD，QM所成的角记为θ，则sinθ的最小值为（ ）
A．53B．23C．33D．13
42. （2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA−CB=2，且PC⊥AB，则二面角P−AB−C的余弦值的最小值为（ ）
A．23B．34C．12D．105
43. （23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是CD的中点，F是CC1上的动点，则三棱锥A−DEF外接球半径的最小值为（ ）
A．3B．23C．13D．15
44. （2022高三·全国·专题练习）四棱锥S−ABCD中，侧面SBC为等边三角形，底面ABCD为矩形，BC=2,AB=a，顶点S在底面ABCD的射影为H，当H落在AD上时，四棱锥S−ABCD体积的最大值是（ ）
A．1B．32C．2D．3
45.（多选） （2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥Q−EFGH中，底面是边长为22的正方形，M为QG的中点．QE=QF=QG=QH=4，过Q作平面EFGH的垂线，垂足为O，连EG，EM，设EM，QO的交点为A，在△QHF中过A作直线BC交QH，QF于B，C两点，QB=xQH，QC=yQF，过EM作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V1,V2，下列说法正确的是（ ）
A．QA=13QH+13QFB．1x+1y=3
C．V1=23xyD．V1V2的最小值为12
10基本不等式与集合、函数新定义
46.（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数z=f(x,y)在约束条件g(x,y)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ为拉格朗日系数．分别对L(x,y,λ)中的x,y,λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
Lx(x,y,λ)=fx(x,y)+λgx(x,y)=0Ly(x,y,λ)=fy(x,y)+λgy(x,y)=0Lλ(x,y,λ)=g(x,y)=0，解此方程组，得出解(x,y)，就是二元函数z=f(x,y)在约束条件g(x,y)的可能极值点．x,y的值代入到f(x,y)中即为极值．
补充说明：【例】求函数f(x,y)=x2+xy+y2关于变量x的导数．即：将变量y当做常数，即：fx(x,y)=2x+y，下标加上x，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的Lx,Ly,Lλ表示分别对x,y,λ进行求导．
(1)求函数f(x,y)=x2y2+2xy+xy2关于变量y的导数并求当x=1处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数x,y满足g(x,y)=4x2+y2+xy−1=0，求f(x,y)=2x+y的最大值．
(3)①若x,y,z为实数，且x+y+z=1，证明：x2+y2+z2≥13．
②设a>b>c>0，求2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2的最小值．
47. （多选）（23-24高三下·河南·阶段练习）定义函数y=fx的曲率函数Kx=y''1+y'232（y''是y'的导函数），函数y=fx在x=x0处的曲率半径为该点处曲率Kx0的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数y=sinx在x=π2处的曲率半径为1
C．若圆C为函数y=lnx的一个曲率圆，则圆C半径的最小值为2
D．若曲线y=lnx在x1,x2x1≠x2处的弯曲程度相同，则x1x2<12
48. （2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数x∈−1,+∞，在n∈1,+∞时，有不等式1+xn≥1+nx成立；在n∈0,1时，有不等式1+xn≤1+nx成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当n≥1时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知a1,a2,⋯,ann∈N∗是大于−1的实数（全部同号），证明1+a11+a2⋯1+an≥1+a1+a2+⋯+an
49. （2024·海南海口·一模）在计算机科学中，n维数组X=x1,x2,⋯,xn,xi∈0,1,i∈N+,n≥2是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于n维数组A=a1,a2,⋯,an,B=b1,b2,⋯,bn，定义A与B的差为A−B=a1−b1,a2−b2,⋯,an−bn,A与B之间的距离为d(A,B)=i=1nai−bi．
(1)若n维数组C=0,0,⋯,0，证明：dA,C+dB,C≥dA,B；
(2)证明：对任意的数组A,B,C，有dA−C,B−C=dA,B；
(3)设集合Sn=XX=x1,x2,⋯,xn,xi∈0,1,i∈N+,n≥2,P⊆Sn，若集合P中有mm≥2个n维数组，记P中所有两元素间的距离的平均值为dP，证明：dP≤mn2m−1．
50. （2020·全国·模拟预测）定义：设函数y=fx在a,b上的导函数为f'x，若f'x在a,b上也存在导函数，则称函数y=fx在a,b上存在二阶导函数，简记为y=f″x.若在区间a,b上f″x<0，则称函数y=fx在区间a,b上为“凸函数”.已知fx=ln1+ex−mx2在区间−1,1上为“凸函数”，则实数m的取值范围为 .
11不等式与数列结合
51.（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且2SnSn+1+Sn+1=3，a1=α0<α<1，则（ ）
A．当0<α<13−14时，a2>a1B．a3>a2
C．数列S2n−1单调递增，S2n单调递减D．当α=34时，恒有k=1nSk−1<54
52. （2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2na31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋮，其模可由向量模拓展为A=i=1nj=1naij212（其中aij为矩阵中第i行第j列的数，∑为求和符号），记作AF，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵A22=a11a12a21a22=2435，其矩阵模AF=i=1nj=1naij212=22+42+32+52=36.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)∀n∈N∗，n≥3，矩阵Bnn=100⋯0020⋯0003⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯n，求使BF>35的n的最小值.
(2)∀n∈N∗，n≥3，，矩阵Cnn= 1csθcsθcsθ⋯csθcsθ0−sinθ−sinθcsθ−sinθcsθ⋯−sinθcsθ−sinθcsθ00sin2θsin2θcsθ⋯sin2θcsθsin2θcsθ⋮⋮⋮⋮⋮⋮0000⋯(−1)n−2sinn−2θ(−1)n−2sinn−2θcsθ0000⋯0(−1)n−1sinn−1θ求CF.
(3)矩阵Dmn=lnn+2n+1 0 0⋅⋅⋅0lnn+1n22lnn+1n220⋅⋅⋅0⋮ln43n−1n−1ln43n−1n−1ln43n−1n−1⋅⋅⋅0ln32nnln32nnln32nn⋅⋅⋅ln32nn，证明：∀n∈N∗，n≥3，DF>n3n+9.
53. （23-24高三下·安徽·开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a1,a2,⋯,an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1+a2+⋯+ann≥na1a2⋯an，当且仅当a1=a2=⋯=an时，等号成立．若无穷正项数列an同时满足下列两个性质：①∃M>0,an(1)若an=n+4n2，求数列an的最小项；
(2)若bn=12n−1，记Sn=i=1nbn，判断数列Sn是否具有性质P，并说明理由；
(3)若cn=1+1nn，求证：数列cn具有性质P．
54. （2024高三上·全国·竞赛）已知等比数列an的公比q>1，a1,a2,a3−1成公差为d的等差数列．
(1)求q+d的最小值；
(2)当a11取最小值时，求集合A={an|an∈N∗}中所有元素之和．
55. （2023·全国·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了an子安贝（其中1≤n≤31，n∈N*），数列an的前n项和为Sn.若关于n的不等式an+12+256≥Sn+2t+5恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A．15B．20C．24D．27
12基本不等式与函数结合
56.（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足x>32，y>3，不等式k2x−3y−3≤8x3+y3−12x2−3y2恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．23D．43
57. （2024·云南大理·模拟预测）若m为函数fx=m(x−m)2n−x（其中m≠0）的极小值点，则（ ）
A．m>n>0B．mC．mn>m2D．mn58. （2024·全国·模拟预测）mina,b表示两个实数a，b中的较小数．已知函数fx=min3+lg14x,lg2x，且当059. （2024·湖北·模拟预测）若函数fx=x−2+1x在不同两点Ax1,fx1，Bx2,fx2处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
60. （2024·广东深圳·一模）已知函数fx=ax−x1x−x2x−x3(a>0)，设曲线y=fx在点xi,fxi处切线的斜率为kii=1,2,3，若x1,x2,x3均不相等，且k2=−2，则k1+4k3的最小值为 ．
13不等式新考点
61.（2024·全国·二模）已知a,b为实数，若不等式2ax2+4a+bx+4a+b≤2x+1对任意x∈−14,1恒成立，则3a+b的最大值是 .
62. （2024·浙江·模拟预测）对x,y定义一种新运算T，规定：Tx,y=ax+by2x+y（其中a,b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T0,1=a×0+b×12×0+1=b，已知T1,−1=−2,T4,2=1，若关于m的不等式组T2m,5−4m≤4Tm,3−2m>P恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 .
63. （2023·江苏无锡·模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数fx=x−2a+x的图像来刻画，满足关于x的方程fx=b恰有三个不同的实数根x1,x2,x3，且x1A．−8081B．169
C．8081D．20881
64. （多选）（2023·浙江·二模）已知x>0时，ex−ax−b−cax+b−lnx≥0，则（ ）
A．当c<2时，a+lna>cB．当c<2时，a+lna>2c−3
C．当c>3时，a+lna3时，a+lna<2c−3
65. （2022·山东德州·二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段13,23，记为第1次操作；再将剩下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为 ，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n的最小值为 ．(lg2=0.30，lg3=0.47)
66. （2024·全国·模拟预测）若2x−4y=2，x，y∈R，则x−y的最小值为（ ）
A．12B．32C．54D．4
67. (多选)（2023·全国·模拟预测）若x+y+z=2023，x，y，z∈R．1x+1y+1z=12023，则以下说法正确的有（ ）
A．x+yy+zz+x的最大值为827×20233
B．x+2023y+2023z+2023的最大值为2×20233
C．x−2023y−2023z−2023的最大值为0
D．xy+yz+zx恒小于0
68. （2023·河南洛阳·模拟预测）已知a>0,b>0,c>0,1a+1b+c=2，则aba+b+ab+1c的最小值为 ．
69. （2023·安徽·模拟预测）已知正实数m,n满足2m3+2n3+6mn=27，则m+n的取值范围为 .
70. （2022·浙江·模拟预测）已知实数x，y满足ex+x−1=ey+1−ln(y+1)，则ex+4y的最小值是 ．
命题预测
本专题考查类型主要涉及点等式与基本不等式的内容，其中涉及了基本不等式与三角函数，正余弦定理，解析几何，集合，函数等内容的结合。
预计2024年后命题会在上述几个方面进行，尤其是多圆不等式的考查。
高频考法
题型01多元不等式最值、取值范围问题
题型02基本不等式提升
题型03基本不等式与三角函数结合
题型04基本不等式与解析几何结合
题型05基本不等式与向量结合
题型06基本不等式新考点
题型07基本不等式与正余弦定理结合
题型08指对函数与不等式
题型09基本不等式与立体几何结合
题型10基本不等式与集合、函数新定义
题型11不等式与数列结合
题型12基本不等式与函数结合
题型13不等式新考点
利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
据三角恒等变换结合基本不等式求最值需要注意去等条件是否满足，去等条件不满足时，也可以通过对勾函数进行求解
求解三角形中有关边、角、面积的最值（范围）问题，常利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等建立a+b，ab,a2+b2（a,b为三角形的边）等之间的等量关系与不等关系，然后利用函数知识或基本不等式求解.
函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
数列与函数、不等式的综合问题的常见题型
1.数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
压轴题03不等式压轴题十三大题型汇总
01多元不等式最值、取值范围问题
1. （2024·贵州·三模）以maxMminM表示数集M中最大（小）的数.设a>0,b>0,c>0，已知a2c+b2c=1，则minmax1a,1b,1c= .
2. （2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知正数a，b满足a+b=1，c∈R，则3abc2+b+1abc2+ab+3c2的最小值为 .
3.（多选） （2024·浙江·二模）已知正实数a，b，c，且a>b>c，x，y，z为自然数，则满足xa−b+yb−c+zc−a>0恒成立的x，y，z可以是（ ）
A．x=1，y=1，z=4B．x=1，y=2，z=5
C．x=2，y=2，z=7D．x=1，y=3，z=9
4. （2024·河北邯郸·三模）记min{x,y,z}表示x，y，z中最小的数．设a>0，b>0，则mina,1b,1a+3b的最大值为 ．
5. （2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是 .
02基本不等式提升
6.（2024·全国·模拟预测）若实数a，b，c满足条件：ea−b+c+ea+b−c=2e2a−1，则abca4+b4+c4的最大值是 ．
7. （2024·全国·模拟预测）已知x>0，y>0且x+y=1，则x21+x2+y21+y2的最小值为（ ）
A．15B．25C．35D．45
8. （2024·江苏苏州·模拟预测）已知“a>0,b>0”与“a+b=1”互为充要条件，则“1a+4ab”和“1a+1b+8a2+b2”的最小值之和为 ．
9. （2023·全国·模拟预测）已知x∈4,+∞，y∈0,5，z∈0,1，则2x+y+4zx+2z+2x+zy的最小值为 ．
10. （2023·天津武清·模拟预测）已知a>0，b>0，c>0,blg42+4clg162=62，则ac2+2abc+8a+1最小值为 .
03基本不等式与三角函数结合
11.（2023·山西·模拟预测）已知α,β,γ均是锐角，设sinαcsβ+sinβcsγ+sinγcsα的最大值为tanθ，则sinθsinθ+csθ=（ ）
A．3B．1513C．1D．513
12. （2024·湖南·模拟预测）如图所示，面积为π的扇形OMN中，M,N分别在x,y轴上，点P在弧MN上（点P与点M,N不重合），分别在点P,N作扇形OMN所在圆的切线l1,l2，且l1与l2交于点Q，其中l1与x轴交于点R，则NQ+QR的最小值为（ ）
A．4B．23C．6D．2
13. （2023·江西·二模）在△ABC中2sinA+sinB=2sinC，则5sinA+9sinC的最小值为（ ）
A．14B．16C．18D．20
14. （23-24高三上·重庆·阶段练习）若α+β−sinγ=0，则α+β−csγ的最大值为 ．
15. （22-23高三上·江苏·阶段练习）在△PAB中，PA=PB，点C，D分别在PB，PA边上．
(1)若∠APB=π3，CD=1，求△PCD面积的最大值；
(2)设四边形ABCD的外接圆半径为R，若∠APB∈π3,π，且AB⋅BC⋅CD⋅DA的最大值为49，求R的值．
04基本不等式与解析几何结合
16.（2024·河南·模拟预测）已知点Pm,n是圆 C :x2+y2=8上的任意一点，则 m−n214m+n2+1的最大值为（ ）
A．25B．24C．23D．22
17. （2024·浙江·一模）已知A,B分别是双曲线C:x24−y2=1的左，右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，PB与x=1交于M,N两点，△PMN,△PAB的外接圆面积分别为S1,S2，则S1S2的最小值为（ ）
A．316B．34C．34D．1
18. （2024·陕西安康·模拟预测）如图，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在C的渐近线上，点A关于x轴的对称点为B,OA⋅AF=0(O为坐标原点)，记四边形OAFB的面积为S1，四边形OAFB的外接圆M的面积为S2，则S1S2的最大值为 ，此时双曲线的离心率为 .
19. （2023·上海崇明·一模）已知正实数a,b,c,d满足a2−ab+1=0,c2+d2=1,则当 a−c2+b−d2取得最小值时，ab=
20. （2024·全国·模拟预测）我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆E:x22+y2=1的左、右顶点分别为A,B，上顶点为D．
(1)若椭圆F:x2s+y22=1与椭圆E在“一簇椭圆系”中，求常数s的值；
(2)设椭圆G:x22+y2=λ(0<λ<1)，过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为k2的直线l2与椭圆G有且只有一个公共点，求当λ为何值时，k1+k2取得最小值，并求其最小值；
(3)若椭圆H:x22+y2t=1(t>2)与椭圆E在“一簇椭圆系”中，椭圆H上的任意一点记为Cx0,y0求证：△ABC的垂心M必在椭圆E上．
05基本不等式与向量结合
21.（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅ba2+b2，a⊙b=a⋅bb2．若平面向量a,b满足a>b>0，且a⊕b和a⊙b都在集合n4|n∈Z,0
22. （2022·浙江杭州·模拟预测）已知单位向量e，向量bi(i=1,2)，满足e−bi=e⋅bi，且xb1+yb2=e，其中x+y=1，当|b1−b2|取到最小时，b1⋅b2= ．
23. （23-24高三下·天津和平·开学考试）在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设AB=a，AC=b，记AN=ma+nb，则m−n= ；若∠A=π6，△ABC的面积为3，则当BC= 时，AM⋅AN取得最小值．
24. （2022·浙江·模拟预测）已知e为单位向量，a⋅e=1，2022b=a+2021e，当
A．2022B．20222022C．2021D．20212021
25. （2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线x2m2−y2n2=1m>0,n>0有公共焦点F1−c,0，F2c,0 c>0，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，则1e12+3e22= ；I为△F1PF2的内心，F1,I,G三点共线，且GP⋅IP=0，x轴上点A,B满足AI=λIP，BG=μGP，则λ2+μ2的最小值为 ．
06基本不等式新考点
26.（2024·广东湛江·二模）当x>0，y>0时，x+y2≥xy.这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx+μy≥xλyμ，其中λ+μ=1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx+μy≈xλyμ.用这个式子估计10可以这样操作：1012×912≈12×10+12×9=192，则10≈196≈3.167.用这样的方法，可得328的近似值为（ ）
A．3.033B．3.035C．3.037D．3.039
27. （2024·浙江·模拟预测）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（ ）
A．46B．45C．44D．43
28. （2024·广东广州·二模）设10≤x1
C．Dξ1>Dξ2
D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1,x2,x3,x4,x5的取值有关
29. （2023·山东·二模）已知随机变量ξ~N2,σ2，且Pξ≤1=Pξ≥a+2，则11+ax−11+3xx>0的最大值为（ ）
A．3+23B．3−23
C．2+3D．2−3
30. （23-24高三上·江苏镇江·开学考试）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为p1，p2，且满足p1+p2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若EX=16，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．27B．24C．32D．28
07基本不等式与正余弦定理结合
31.（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinA=acsC,c=2．若G为△ABC的重心，则GA2+GB2−GC2的最小值为（ ）
A．12−429B．8+429C．42−23D．4+223
32. （2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足csα=13，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．1030+153cmB．1030−153cm
C．1010+53cmD．1010−53cm
33. （2024·四川泸州·二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=3a2−3b2，则tanA−B的最大值为 ．
34. （2024·四川泸州·二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=2a2−2b2，则A−B的最大值为 ．
35. （2024·福建莆田·二模）如图，点O是边长为1的正六边形ABCDEF的中心，l是过点O的任一直线，将此正六边形沿着l折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为 ．
08指对函数与不等式
36.（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：xt=X0cshabt−baY0sinhabtyt=Y0cshabt−abX0sinhabt，其中正实数X0，Y0分别为红、蓝两方的初始兵力，t为战斗时间；xt，yt分别为红、蓝两方t时刻的兵力；正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；cshx=ex+e−x2和sinhx=ex−e−x2分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．则下列结论不正确的是（ ）
A．若X0>Y0且a=b，则xt>yt0≤t≤T
B．若X0>Y0且a=b，则T=1alnX0+Y0X0−Y0
C．若X0Y0>ba，则红方获得战斗演习胜利
D．若X0Y0>ba，则红方获得战斗演习胜利
37. （2024·北京丰台·一模）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个n级火箭，在第n级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为v=3ln10na1a2⋯an9+a19+a2⋯9+an，
其中ai=mp+j=inmjmp+j=inmj−mii=1,2,⋯,n．
注：mp表示人造天体质量，mj表示第j（j=1,2,⋯,n）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
①a1a2⋯an<1；
②当n=1时，v<3ln10；
③当n=2时，若v=12ln2，则a1a2≥6．
其中所有正确结论的序号是 ．
38. （2023·天津滨海新·模拟预测）已知正实数x，y，z满足2x=3y=6z，则不正确的是（ ）
A．1x+1y=1zB．2x>3y>6z
C．x2>y3>z6D．xy>4z2
39. （2021·陕西安康·三模）若对任意x∈[2,8]，总存在y∈[1,2]，使得y+2y+mlg22x+4=lg2x成立，则m的最小值是（ ）
A．−254B．−234C．−145D．−165
40. （2023·天津滨海新·三模）已知正实数m，n，满足e1−2m=2m+nen，则m+2m2n+2nm的最小值为 .
09基本不等式与立体几何结合
41.（2024·安徽·模拟预测）设P−ABCD与Q−ABCD为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为2且∠PCQ=90°，点M在线段AC上，且3CM=AM，将异面直线PD，QM所成的角记为θ，则sinθ的最小值为（ ）
A．53B．23C．33D．13
42. （2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA−CB=2，且PC⊥AB，则二面角P−AB−C的余弦值的最小值为（ ）
A．23B．34C．12D．105
43. （23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是CD的中点，F是CC1上的动点，则三棱锥A−DEF外接球半径的最小值为（ ）
A．3B．23C．13D．15
44. （2022高三·全国·专题练习）四棱锥S−ABCD中，侧面SBC为等边三角形，底面ABCD为矩形，BC=2,AB=a，顶点S在底面ABCD的射影为H，当H落在AD上时，四棱锥S−ABCD体积的最大值是（ ）
A．1B．32C．2D．3
45.（多选） （2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥Q−EFGH中，底面是边长为22的正方形，M为QG的中点．QE=QF=QG=QH=4，过Q作平面EFGH的垂线，垂足为O，连EG，EM，设EM，QO的交点为A，在△QHF中过A作直线BC交QH，QF于B，C两点，QB=xQH，QC=yQF，过EM作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V1,V2，下列说法正确的是（ ）
A．QA=13QH+13QFB．1x+1y=3
C．V1=23xyD．V1V2的最小值为12
10基本不等式与集合、函数新定义
46.（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数z=f(x,y)在约束条件g(x,y)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ为拉格朗日系数．分别对L(x,y,λ)中的x,y,λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
Lx(x,y,λ)=fx(x,y)+λgx(x,y)=0Ly(x,y,λ)=fy(x,y)+λgy(x,y)=0Lλ(x,y,λ)=g(x,y)=0，解此方程组，得出解(x,y)，就是二元函数z=f(x,y)在约束条件g(x,y)的可能极值点．x,y的值代入到f(x,y)中即为极值．
补充说明：【例】求函数f(x,y)=x2+xy+y2关于变量x的导数．即：将变量y当做常数，即：fx(x,y)=2x+y，下标加上x，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的Lx,Ly,Lλ表示分别对x,y,λ进行求导．
(1)求函数f(x,y)=x2y2+2xy+xy2关于变量y的导数并求当x=1处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数x,y满足g(x,y)=4x2+y2+xy−1=0，求f(x,y)=2x+y的最大值．
(3)①若x,y,z为实数，且x+y+z=1，证明：x2+y2+z2≥13．
②设a>b>c>0，求2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2的最小值．
47. （多选）（23-24高三下·河南·阶段练习）定义函数y=fx的曲率函数Kx=y''1+y'232（y''是y'的导函数），函数y=fx在x=x0处的曲率半径为该点处曲率Kx0的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数y=sinx在x=π2处的曲率半径为1
C．若圆C为函数y=lnx的一个曲率圆，则圆C半径的最小值为2
D．若曲线y=lnx在x1,x2x1≠x2处的弯曲程度相同，则x1x2<12
48. （2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数x∈−1,+∞，在n∈1,+∞时，有不等式1+xn≥1+nx成立；在n∈0,1时，有不等式1+xn≤1+nx成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当n≥1时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知a1,a2,⋯,ann∈N∗是大于−1的实数（全部同号），证明1+a11+a2⋯1+an≥1+a1+a2+⋯+an
49. （2024·海南海口·一模）在计算机科学中，n维数组X=x1,x2,⋯,xn,xi∈0,1,i∈N+,n≥2是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于n维数组A=a1,a2,⋯,an,B=b1,b2,⋯,bn，定义A与B的差为A−B=a1−b1,a2−b2,⋯,an−bn,A与B之间的距离为d(A,B)=i=1nai−bi．
(1)若n维数组C=0,0,⋯,0，证明：dA,C+dB,C≥dA,B；
(2)证明：对任意的数组A,B,C，有dA−C,B−C=dA,B；
(3)设集合Sn=XX=x1,x2,⋯,xn,xi∈0,1,i∈N+,n≥2,P⊆Sn，若集合P中有mm≥2个n维数组，记P中所有两元素间的距离的平均值为dP，证明：dP≤mn2m−1．
50. （2020·全国·模拟预测）定义：设函数y=fx在a,b上的导函数为f'x，若f'x在a,b上也存在导函数，则称函数y=fx在a,b上存在二阶导函数，简记为y=f″x.若在区间a,b上f″x<0，则称函数y=fx在区间a,b上为“凸函数”.已知fx=ln1+ex−mx2在区间−1,1上为“凸函数”，则实数m的取值范围为 .
11不等式与数列结合
51.（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且2SnSn+1+Sn+1=3，a1=α0<α<1，则（ ）
A．当0<α<13−14时，a2>a1B．a3>a2
C．数列S2n−1单调递增，S2n单调递减D．当α=34时，恒有k=1nSk−1<54
52. （2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2na31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋮，其模可由向量模拓展为A=i=1nj=1naij212（其中aij为矩阵中第i行第j列的数，∑为求和符号），记作AF，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵A22=a11a12a21a22=2435，其矩阵模AF=i=1nj=1naij212=22+42+32+52=36.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)∀n∈N∗，n≥3，矩阵Bnn=100⋯0020⋯0003⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯n，求使BF>35的n的最小值.
(2)∀n∈N∗，n≥3，，矩阵Cnn= 1csθcsθcsθ⋯csθcsθ0−sinθ−sinθcsθ−sinθcsθ⋯−sinθcsθ−sinθcsθ00sin2θsin2θcsθ⋯sin2θcsθsin2θcsθ⋮⋮⋮⋮⋮⋮0000⋯(−1)n−2sinn−2θ(−1)n−2sinn−2θcsθ0000⋯0(−1)n−1sinn−1θ求CF.
(3)矩阵Dmn=lnn+2n+1 0 0⋅⋅⋅0lnn+1n22lnn+1n220⋅⋅⋅0⋮ln43n−1n−1ln43n−1n−1ln43n−1n−1⋅⋅⋅0ln32nnln32nnln32nn⋅⋅⋅ln32nn，证明：∀n∈N∗，n≥3，DF>n3n+9.
53. （23-24高三下·安徽·开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a1,a2,⋯,an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1+a2+⋯+ann≥na1a2⋯an，当且仅当a1=a2=⋯=an时，等号成立．若无穷正项数列an同时满足下列两个性质：①∃M>0,an
(2)若bn=12n−1，记Sn=i=1nbn，判断数列Sn是否具有性质P，并说明理由；
(3)若cn=1+1nn，求证：数列cn具有性质P．
54. （2024高三上·全国·竞赛）已知等比数列an的公比q>1，a1,a2,a3−1成公差为d的等差数列．
(1)求q+d的最小值；
(2)当a11取最小值时，求集合A={an|an∈N∗}中所有元素之和．
55. （2023·全国·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了an子安贝（其中1≤n≤31，n∈N*），数列an的前n项和为Sn.若关于n的不等式an+12+256≥Sn+2t+5恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A．15B．20C．24D．27
12基本不等式与函数结合
56.（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足x>32，y>3，不等式k2x−3y−3≤8x3+y3−12x2−3y2恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．23D．43
57. （2024·云南大理·模拟预测）若m为函数fx=m(x−m)2n−x（其中m≠0）的极小值点，则（ ）
A．m>n>0B．m
60. （2024·广东深圳·一模）已知函数fx=ax−x1x−x2x−x3(a>0)，设曲线y=fx在点xi,fxi处切线的斜率为kii=1,2,3，若x1,x2,x3均不相等，且k2=−2，则k1+4k3的最小值为 ．
13不等式新考点
61.（2024·全国·二模）已知a,b为实数，若不等式2ax2+4a+bx+4a+b≤2x+1对任意x∈−14,1恒成立，则3a+b的最大值是 .
62. （2024·浙江·模拟预测）对x,y定义一种新运算T，规定：Tx,y=ax+by2x+y（其中a,b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T0,1=a×0+b×12×0+1=b，已知T1,−1=−2,T4,2=1，若关于m的不等式组T2m,5−4m≤4Tm,3−2m>P恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 .
63. （2023·江苏无锡·模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数fx=x−2a+x的图像来刻画，满足关于x的方程fx=b恰有三个不同的实数根x1,x2,x3，且x1
C．8081D．20881
64. （多选）（2023·浙江·二模）已知x>0时，ex−ax−b−cax+b−lnx≥0，则（ ）
A．当c<2时，a+lna>cB．当c<2时，a+lna>2c−3
C．当c>3时，a+lna
65. （2022·山东德州·二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段13,23，记为第1次操作；再将剩下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为 ，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n的最小值为 ．(lg2=0.30，lg3=0.47)
66. （2024·全国·模拟预测）若2x−4y=2，x，y∈R，则x−y的最小值为（ ）
A．12B．32C．54D．4
67. (多选)（2023·全国·模拟预测）若x+y+z=2023，x，y，z∈R．1x+1y+1z=12023，则以下说法正确的有（ ）
A．x+yy+zz+x的最大值为827×20233
B．x+2023y+2023z+2023的最大值为2×20233
C．x−2023y−2023z−2023的最大值为0
D．xy+yz+zx恒小于0
68. （2023·河南洛阳·模拟预测）已知a>0,b>0,c>0,1a+1b+c=2，则aba+b+ab+1c的最小值为 ．
69. （2023·安徽·模拟预测）已知正实数m,n满足2m3+2n3+6mn=27，则m+n的取值范围为 .
70. （2022·浙江·模拟预测）已知实数x，y满足ex+x−1=ey+1−ln(y+1)，则ex+4y的最小值是 ．
命题预测
本专题考查类型主要涉及点等式与基本不等式的内容，其中涉及了基本不等式与三角函数，正余弦定理，解析几何，集合，函数等内容的结合。
预计2024年后命题会在上述几个方面进行，尤其是多圆不等式的考查。
高频考法
题型01多元不等式最值、取值范围问题
题型02基本不等式提升
题型03基本不等式与三角函数结合
题型04基本不等式与解析几何结合
题型05基本不等式与向量结合
题型06基本不等式新考点
题型07基本不等式与正余弦定理结合
题型08指对函数与不等式
题型09基本不等式与立体几何结合
题型10基本不等式与集合、函数新定义
题型11不等式与数列结合
题型12基本不等式与函数结合
题型13不等式新考点
利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
据三角恒等变换结合基本不等式求最值需要注意去等条件是否满足，去等条件不满足时，也可以通过对勾函数进行求解
求解三角形中有关边、角、面积的最值（范围）问题，常利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等建立a+b，ab,a2+b2（a,b为三角形的边）等之间的等量关系与不等关系，然后利用函数知识或基本不等式求解.
函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
数列与函数、不等式的综合问题的常见题型
1.数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．
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