压轴题型10 导数压轴大题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用）

这是一份压轴题型10 导数压轴大题的处理策略-2024年高考数学二轮冲刺之压轴题专项训练（新高考专用），共36页。试卷主要包含了已知函数有两个零点，已知.，已知函数，.，已知函数.，已知，是自然对数的底数，函数等内容，欢迎下载使用。


目前虽然全国高考使用试卷有所差异，但高考压轴题目题型基本都是一致的，几乎没有差异，如果有差异只能是难度上的差异，高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是:切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。
导数解答题是高考数学必考题目，然而学生由于缺乏方法，同时认识上的错误，绝大多数同学会选择完全放弃，我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分的夸大。掌握导数的解体方法和套路，对于基础差的同学不说得满分，但也不至于一分不得。为了帮助大家复习，今天就总结倒数7大题型，让你在高考数学中多拿分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)1 分类讨论与极值点偏移问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)2恒成立问题的处理策略
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)3 凹凸反转问题的处理策略
1．已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围．
(2)函数，证明：函数有唯一的极小值点．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】(1)对函数求导，求出函数的单调区间，再利用函数图像，从而得出的最小值小于零，进而求出结果.
(2)通过函数的极值点的定义，将问题转化成导函数的零点问题，通过对函数求导，得出导函数严格单调，进而再利用零点存在性原求出的零点，从而得到证明.
【详解】（1）因为，所以，
当时，恒成立，函数在上单调递减，此时最多一个零点，不合题意，
当时，由，得到，
当时，，即在区间上单调递减，
当时，，即在区间上单调递增，
所以的最小值为
因为当时，，当时，，
又函数有两个零点，所以，得到，
所以实数a的取值范围为.
（2）因为函数，所以，，
令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，
又当时，，，则，
当时，，，则，
所以存在唯一实数，使得，即存在唯一零点，
且时，，时，，所以是函数唯一的极小值点，
故函数有唯一的极小值点.
2．已知.
(1)若在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围；
(2)若有两个不同的极值点（），求证：（为的二阶导数）.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数导数，讨论，，和四种情况，根据导数情况讨论函数的单调性即可得出；
（2）根据题意可得，构造函数，利用导数即可证明.
【详解】（1）由题意得，，，
①当时，在上单调递增，
所以当x＜0时，，在单调递减；
当x＞0时，，在单调递减；
所以在x＝0处取得极小值，符合题意．
当时，由可得，由可得，
②当0＜a＜1时，，在单调递增，在单调递减，
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以在x＝0处取得极小值，符合题意．
③当a＝1时，知在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在处取得最小值，即，
所以函数在R上单调递增，
所以在x＝0处无极值，不符合题意．
④当a＞1时，，由①知的减区间为，
所以当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；
所以在x＝0处取得极大值，不符合题意，
综上可知，实数a的取值范围为．
（2）为的零点，则，，，
，
令，构造函数，
由②知，当时，，即.
则，
所以在单调递减，故．
故，故原不等式得证．
【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论函数的单调性，结合极值的定义得出参数情况.
3．已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析.
(2)
【分析】（1）分类讨论，两种情况，由导数得出单调性 ；
（2）将变形为，构造函数，由其单调性得出，进而由导数得出的最大值，从而得出求实数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以.
当时，由，得，由，得，且，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，由，得，且，由，得，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为.
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）易知，.
由，可得，
所以恒成立，即恒成立.
设，，则，所以在上单调递增.
当时，，所以恒成立等价于恒成立，
即对恒成立.
设，，.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于将整理成的形式，构造函数，由其单调性以及得出，最后求出的最大值，得出a的取值范围.
4．已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求曲线与的公切线方程.
【答案】(1)在上单调递增.
(2)
【分析】（1）先求函数的导函数，再利用导数证明，由此判断函数的单调性；
（2）设曲线在点与曲线在的切线相同，由导数的几何意义可得
，利用导数研究方程的解可求，由此求公切线方程.
【详解】（1）当时，
令，有，
当时，，函数在上单调递减，
，函数在上单调递增，
故，即，
所以在上单调递增.
（2）因为，
所以，
设曲线在点与曲线在的切线相同，
则切线方程为，即，
整理得.
又切线方程也可表示为，
即，
整理得，
所以，
消整理得.
令，
令，
因为，所以函数在在单调递增，
又函数在在单调递增，
所以在单调递增，又，
当，
，
又得，
所以，
，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
因此函数只有一个零点，
即只有一个解，
此时切线方程为，
所以曲线与的公切线方程为.
【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用导数的几何意义确定切点的坐标满足的关系，再通过利用导数研究方程的解，确定切点坐标，由此求出切线方程.
5．已知.
(1)讨论的单调性；
(2)确定方程的实根个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）对求导，讨论，，和时，的正负，即可得出的单调性；
（2）将方程的实根个数转化为直线与的图象交点个数，对求导，结合的单调性和值域即可求出答案.
【详解】（1）因为，
所以，
当时，时，，是增函数，
时，，是减函数.
当时，或时，，是增函数，
时，，是减函数.
当时，，在上是增函数.
当时，或时，，是增函数，
时，，是减函数.
综上可得:当时，在上是增函数，在上是减函数；
时，在，上是增函数.在上是减函数；
时，在上是增函数；
时，在，上是增函数，在上是减函数.
（2）方程的实根个数即的实根个数.
即直线与的图象交点个数.
因为，所以时，，是增函数，
时，，是减函数.
因为，则的图象如图所示：
时，取值范围是，
时，取值范围是，
所以当，即时，方程没有实根，
当或，即或时，方程有1个实根；
当，即时，方程有2个实根.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．
6．已知函数，.
(1)当时，试讨论的单调性；
(2)求使得在上恒成立的整数的最小值；
(3)若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求得并化简，分、和，三种情况讨论，即可求解函数的单调区间；
（2）根据题意得到，结合导数得到函数的单调性，求得，进而求得答案；
（3）由（1）得到，转化为，根据，求得，即可求解.
【详解】（1）由，可得函数的定义域为，
且，
①当时，恒成立，即在上单调递增；
②若，
当时，；当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
③若，
当时，；当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）知：当时，在时单调递增，
又因为时，，所以不符合题意，所以，
由（1）知，，当时，，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
可得，
所以使得在上恒成立的整数的最小值为1.
（3）由（1）可知，当时，在上单调递增，
所以，
因为恒成立，所以，
所以，
又因为，所以，
又由，所以，所以，
即实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
7．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，求解单调性；
（2）参变分离，得到，构造，求导，得到其单调性，求出最大值，得到.
【详解】（1）.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）的定义域为，
若恒成立，则恒成立，即恒成立，
令，只需，又，
令得，
时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
故在时取得极大值，也时最大值.
所以，解得：，
故a的取值范围是.
8．已知，是自然对数的底数，函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)是否存在实数m，，都有？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)极大值为；的极小值为
(2)存在，
【分析】（1）将代入可得，对函数求导利用导函数判断其单调性即可得出其极大值为，的极小值为；
（2）易知其定义域为，结合将化简变形可得，构造函数易得其为单调递增函数，即，求得函数在定义域内的最小值即可得.
【详解】（1）由，可得，
易知的定义域为，
则．
∴的极大值为；的极小值为．
（2）因为，由得，
即的定义域为．
当时，由可得，
，不等式两边同时除以可得，
，即
可得
所以．
设，则
即．
易得，所以为单调递增函数．
由，可得，所以
设，则．
∴当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增．
即时，；
由题意可得，即．
∴存在实数m，且m的取值范围为．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立求解参数取值范围时，常用的方法是通过构造函数将问题转化成求解函数最大值或最小值问题，即可求得参数取值范围.
9．已知函数.
(1)若成立，求实数的取值范围；
(2)证明：有且只有一个零点，且.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究的区间最值，根据能成立有，即可求范围；
（2）应用导数研究的零点所在区间为并证明唯一性，再由可得，构造研究单调性即可证结论.
【详解】（1）由得：0，则在上单调递减，
在上最大值为，
若成立，则必有，
由，得，故实数的取值范围为.
（2）由在上单调递减，且恒成立，
最小正周期，在最大值为1，
由此在恒为负值，没有零点.
下面看在上的零点情况.
，则，故，
即在上单调递减，
，
故在上有唯一零点.
综上，在上有且只有一个零点.
令且，则，
所以，
令，则，即在上单调递减，
所以，
即.
10．已知函数，的导函数为.记函数在区间内的零点为，.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：.
【答案】(1)在上单调递减；在，上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）根据正切函数定义域可得定义域，求导后，根据的正负可确定的单调性；
（2）当时，可知恒成立，函数无零点；当时，利用零点存在定理可说明，由此可得的范围，结合函数单调性，通过分析法可知只需证明即可，结合可证得结论.
【详解】（1）的定义域为，；
当时，；当时，；
在上单调递减；在，上单调递增.
（2）①当时，，恒成立，此时无零点；
②当时，由（1）知：在上单调递增，
，，
存在唯一，使得；
，，，
又在上单调递增，
要证，即证，只需证，
又，则只需证；
，，
，
得证.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和函数零点的问题，本题证明与零点有关的不等式的关键是能够利用零点存在定理说明零点所在的范围，从而通过分析法将问题转化为证明的问题.
11．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）转化不等式，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
【详解】（1）由题可得，．
当，即时，，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，
由，得或；由，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，
由，得或；由，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，，在上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，
的单调递增区间为，，
单调递减区间为；当时，的单调递增区间为．
（2）当时，由，得，
即．
设，，
则．
设，，则．
因为当时，，所以函数在上单调递增．
又因为，所以当时，，即．
令，得，因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
又因为，所以．
因此，当时，恒成立．
故当时，．
【点睛】利用导数研究函数的性质或证明不等式，当一次求导无法求得函数的单调区间，可考虑进行二次求导来对函数进行研究，研究过程中要注意导函数和原函数的对应关系，不能弄混.
12．已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】(1)
(2)最小值为2
【分析】（1）讨论m的取值范围，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可求得答案；
（2）将不等式恒成立，转化为函数的最值问题，即设，利用导数求其最值，分类讨论，即可求得答案.
【详解】（1）若时，在区间上单调递减，
所以.
若，则二次函数图象对称轴，
当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远，
所以.
当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近，
.
若，对称轴在区间上单调递减，
综上，.
（2）因为恒成立，
即恒成立，
令,
所以,
当时，因为，所以，
所以在上是单调递增函数.
又因为，所以关于的不等式不能恒成立.
当时，,
令得，所以当时，；当时，.
因此函数在上是增函数，在上是减函数.
故函数的最大值为.
令，因为.
又因为在上是减函数，所以当时，,
即关于的不等式恒成立，
所以整数的最小值为2.
【点睛】方法点睛：解答关于的不等式恒成立问题，需将问题转化求函数最值，因此利用导数结合分类讨论，求解函数最值即可解决.
13．已知函，.
(1)讨论在的单调性；
(2)是否存在，且，使得曲线在和处有相同的切线？证明你的结论.
【答案】(1)答案见解析
(2)不存在，证明见解析
【分析】（1）对求导，讨论和时，的正负即可得出答案；
（2）假设存在，求出在和处的切线方程，建立等式，将等式化简，减少变量，从而构造新的函数，研究新函数的单调性，即可证明.
【详解】（1），
故时，；时，，
当，即时，在单调递减，在单调递增；
当，即时，在单调递增.
综上，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增.
（2）解法一：不存在a，，，且，使得曲线在和处有相同的切线.
证明如下：假设存在满足条件的a，，，
因为在处的切线方程为，
即，
同理在处的切线方程为，
且它们重合，所以，
整理得，
即，，
所以，
由两边同乘以，
得，
令，，则，且，
由得，代入得，两边取对数得，
令，
当时，，，
所以在上单调递增，又，所以，从而，与矛盾；
当时，，，
所以在上单调递增，又，所以，从而，与矛盾；
综上，不存在，，使得，且.
故不存在a，，且，使得曲线在和处有相同的切线.
解法二：不存在a，，且，使得曲线在和处有相同的切线.
证明如下：假设存在满足条件的a，，，
因为在处的切线方程为，即
，
同理在处的切线方程为，
且它们重合，所以，
整理得，
令，，可得，
由两边同乘以，
得，则，且，
令，则，且.
由（1）知，当时，单调递增，当时，单调递减，
又当时，，当时，，
所以若，存在，不妨设，
设，，又，所以，则，
由，得即，
则，所以，
所以，即，
令，，则，
所以在上单调递减，所以当时，，
即，取，即，
所以在时无解，
综上，不存在，，使得，且.
故不存在a，，且，使得曲线在和处有相同的切线.
解法三：不存在a，，且，使得曲线在和处有相同的切线.
证明如下：假设存在满足条件的a，，，
因为在处的切线方程为，
即，
同理在处的切线方程为，
且它们重合，所以，
整理得，
即，，
所以，
由两边同乘以，
得，
令，，则，且，
令，则，且.
由（1）知，当时，单调递增，当时，单调递减，
又当时，，当时，，
所以若，存在，不妨设，
则，，
所以，
以下证明.
令，，则，
所以在上单调递减，所以当时，，
因为，所以，，
整理得.
因为，所以，与矛盾；
所以不存在，，使得，且.
故不存在a，，且，使得曲线在和处有相同的切线.
【点睛】本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性.
14．已知函数．
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)若（）是的两个极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，得切点处的导数值，根据点斜式即可求解切线方程；
（2）根据极值点的定义，可得方程的两个根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成，构造函数，结合导数证明即可.
【详解】（1）当时，，则，，，
所以在处的切线方程为,即；
（2）证明：由，可知，
因为（）是的极值点,所以方程的两个不等的正实数根，
所以，，
则
．
要证成立，只需证，即证，
即证，即证，即证，
设，则，即证，
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．
【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
15．如图，过抛物线的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C，当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4．
(1)求p的值；
(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形的面积公式进行求解即可；
（2）根据导数的几何意义，结合抛物线的弦长公式、几何概型运算公式进行求解即可.
【详解】（1）当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，，，
所以，解得；
（2）由（1），抛物线，即，，，
设，，，，
则，，
联立得，，，
则，点P到AB的距离，
所以，，
又，所以，
又四边形ABCD是直角梯形或矩形，
所以，
所以概率，
由得，所以所求概率的取值范围是．
【点睛】关键点睛：利用导数的几何意义求出切线方程进而求出弦长是解题的关键.
16．已知函数.
(1)证明：；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）构造函数，利用导数证得，从而证得.
（2）由分离，利用（1）的结论求得的取值范围.
（3）结合（1），列不等式，根据等比数列的前项和公式证得不等式成立.
【详解】（1）令，，由，解得，
当时，；当时，；
所以在递减，递增，
即，即；
（2）由可得：
由（1）知（当且仅当取等号），
，所以，即；
（3）由（1）知，令，可得，
所以
因为数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以.
【点睛】利用导数证明不等式的基本过程是：转化要证明的不等式（一边为或常数），然后构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性、极值和最值等，由此证得不等式成立.
17．设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，不等式恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在和上单调递增
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为，当时，原不等式可化为，当时，原不等式可化为，根据函数的单调性讨论m的取值范围．
【详解】（1）依题意得．
①当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
③当时在上恒成立，所以在上单调递增；
④当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增．
（2）当时，恒成立，则恒成立．
（i）当时，不等式即，满足条件．
（ii）当时，原不等式可化为，该式对任意恒成立．
设，则．
设，则．
因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增．
又因为，所以是在上的唯一零点，
所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以当时，，所以．
（iii）当时，原不等式可化为，
此时对于（ii）中的函数，可知当时，，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，即，所以在上单调递减，
所以当时，，所以．
综上所述，m的取值范围是．
18．已知函数.
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减
(2)
【分析】（1）当时，求得，利用导数符号与函数单调性的关系可得出函数的单调性；
（2）对实数的取值进行分类讨论，在时，利用（1）中的结论验证即可；在或时，由可得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，利用单调性可验证在上不恒成立，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，则．
令，其中，
则，则在上单调递减．
故当时，，
所以在上单调递减．
（2）解：由（1）可知当且当时，函数在上为减函数，
此时，，
则当时，，满足题意；
由，化简可得，
令，其中，则．
当时，若，则，在上是减函数，
所以当时，，不符合题意．
当时，，则在上是减函数，此时，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
19．讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】在的前提下，分析在时的正负情况，即可得函数的单调性.
【详解】由题.
①当，在上单调递减，在上单调递增；
②当，.
i当，，则在上单调递减，在上单调递增；
ii当，令或.
I若，，
或，则在上单调递减，在上单调递增；
II若，则，故在上单调递减；
III若，，
或，则在上单调递减，在上单调递增；
IV若，则在上单调递增，在上单调递减.
V若，，，
则在上单调递增，在上单调递减.
综上：当，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递减；
当，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减.
20．对定义在区间上的函数，如果对任意都有成立，那么称函数在区间上可被替代.
(1)若，试判断在区间上，能否可被替代？
(2)若，且函数在上可被函数替代，求实数的取值范围.
【答案】(1)能被替代；证明见解析
(2)
【分析】（1）根据定义，列式求出的导数，分析导数在定义域内的取值范围，得出最大值与最小值，最后作出判断即可；
（2）根据定义列式，利用还原法将，再通过对数运算化简式子，分离参数，根据分离后的函数单调性找出参数取值区间.
【详解】（1），，
设，，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，，
所以，在区间上，能被替代.
（2），且函数在上可被函数替代，则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，既有对任意恒成立。
也就是对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以，即对任意恒成立，
变形可得，即对任意恒成立，
对于函数，该函数在上为增函数，则函数有最大值为，所以；
对于函数，该函数在上为增函数，则函数有最小值，所以，
综上，满足条件的实数的取值范围是
【点睛】思路点睛：
常规函数求导问题中，涉及到三角函数的思路一般为两种：一、正常利用求导公式进行计算；二、利用换元法将三角函数换元进行计算。根据函数式子的复杂程度判断使用哪个思路，式子越复杂，复合函数形式越多，越优先考虑换元法思路.
2
3
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增