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压轴题05数列压轴题15题型汇总 -2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）（原卷版）
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这是一份压轴题05数列压轴题15题型汇总 -2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）（原卷版），共23页。
01数列不等式、单调性与最值性问题
1.（2024·浙江宁波·二模）已知数列an满足an=λn2-n，对任意n∈1,2,3都有an>an+1，且对任意n∈nn≥7,n∈N都有anA．114,18B．114,17C．115,17D．115,18
2. （2024·全国·模拟预测）若数列an，对于∀k∈N*, n∈N*，都有an+k-an>kt（t为常数）成立，则称数列an具有性质P(t)．已知数列an的通项公式为an=2n+1-λn2+4n，且具有性质P(4)，则实数λ的取值范围是（ ）
A．(85,+∞)B．(43,+∞)C．(-∞,43)D．(-∞,85)
3. （23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知数列an满足2an+1-1an+an+12an+1=2，n∈N*．
(1)已知an>0，
①若a3=1，求a1；
②若关于m的不等式am<1的解集为M，集合M中的最小元素为8，求a1的取值范围；
(2)若a1=111，是否存在正整数kk≥2，使得ak=a1，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．
4. （多选）（2024·广东·模拟预测）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数f(x)有两个不相等的实根b,c，其中c>b.在函数f(x)图象上横坐标为x1的点处作曲线y=f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1，重复以上的过程得到x3；一直下去，得到数列{xn}.记an=lnxn-bxn-c，且a1=1，xn>c，下列说法正确的是（ ）
A．x1=ec-be-1（其中lne=1）B．数列{an}是递减数列
C．a6=132D．数列an+1an的前n项和Sn=2n-21-n+1
5. （2024·陕西西安·三模）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足an=Tn3Tn-1(n∈N*)，则不等式Sn>11成立的n的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．10
02数列分奇偶问题
6.（2024·河北石家庄·二模）已知数列an满足a1=7,an+1=an-3,n为奇数,2an,n为偶数.
(1)写出a2,a3,a4;
(2)证明:数列a2n-1-6为等比数列;
(3)若bn=a2n，求数列n⋅bn-3的前n项和Sn.
7. （2024·广东佛山·二模）已知数列an满足a1=1，an+1=an+1,n为奇数3an,n为偶数，且bn=a2n+1-a2n-1．
(1)证明bn为等比数列，并求数列bn的通项公式；
(2)设cn=bn-5bn+1-5，且数列cn的前n项和为Tn，证明：当n≥2时，1213n-1-3<3Tn-n8. （2024·北京丰台·一模）已知数列an满足an+1=an2n=2k，k∈N*,an+12n=2k-1，k∈N*,则（ ）
A．当a1<0时，an为递增数列，且存在常数M>0，使得anB．当a1>1时，an为递减数列，且存在常数M>0，使得an>M恒成立
C．当0N0时，an-12<1100
D．当0N0，使得an-12>11000
9. （2024·辽宁·二模）如果数列xn,yn，其中yn∈Z，对任意正整数n都有xn-yn<12，则称数列yn为数列xn的“接近数列”．已知数列bn为数列an的“接近数列”．
(1)若an=2n+23n∈N*，求b1,b2,b3的值；
(2)若数列an是等差数列，且公差为dd∈Z，求证：数列bn是等差数列；
(3)若数列an满足a1=231100，且an+1=-910an+5720，记数列an､bn的前n项和分别为Sn,Tn，试判断是否存在正整数n，使得Sn10. （多选）2024·辽宁沈阳·二模）已知数列an的通项公式为an=-1n⋅1n-c2+1n=1,2,3,⋯，则下列说法正确的有（ ）
A．若c≤1，则数列an单调递减
B．若对任意n∈N*，都有an≥a1，则c≤1
C．若c∈N*，则对任意i,j∈N*，都有ai+aj≠0
D．若an的最大项与最小项之和为正数，则2k-1203数列新定义问题
11. （2024·广东深圳·二模）无穷数列a1，a2，…，an，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an﹔如果n是奇数，就对3n+1尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果an=m且am=n，求m，n的值；
(3)记an=fn，n∈N*，求一个正整数n，满足n12. （2024·广东梅州·二模）已知an是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为Mn，即Mn=maxa1,a2,⋅⋅⋅,an；前n项的最小值记为mn，即mn=mina1,a2,⋅⋅⋅,an，令pn=Mn-mn（n=1,2,3,⋅⋅⋅），并将数列pn称为an的“生成数列”．
(1)若an=3n，求其生成数列pn的前n项和；
(2)设数列pn的“生成数列”为qn，求证：pn=qn；
(3)若pn是等差数列，证明：存在正整数n0，当n≥n0时，an，an+1，an+2，⋅⋅⋅是等差数列．
13. （2024·浙江·模拟预测）已知实数q≠0，定义数列an如下：如果n=x0+2x1+22x2+⋯+2kxk,xi∈0,1，i=0,1,2,⋯,k，则an=x0+x1q+x2q2+⋯+xkqk．
(1)求a7和a8（用q表示）；
(2)令bn=a2n-1，证明：i=1nbi=a2n-1；
(3)若114. （2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对∀k∈N*,k≥2,ak-1+ak+1≤2ak恒成立，则称数列an为“上凸数列”．
(1)若an=n2-1，判断an是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若an为“上凸数列”，则当m≥n+2m,n∈N*时，am+an≤am-1+an+1．
（ⅰ）若数列Sn为an的前n项和，证明：Sn≥n2a1+an；
（ⅱ）对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,xi,⋯,xn（n为常数且n≥2,n∈N*），若i=1nxi2-1≥i=1nxi-λ2-1恒成立，求λ的最小值．
15. （2024·吉林白山·二模）已知数列an的前n项和为Sn，若数列an满足：①数列an项数有限为N；②SN=0；③i=1Nai=1，则称数列an为“N阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列an1≤n≤10为“10阶可控摇摆数列”，求an的通项公式；
(2)若等差数列an1≤n≤2m,m∈N*为“2m阶可控摇摆数列”，且am>am+1，求数列an的通项公式；
(3)已知数列an为“N阶可控摇摆数列”，且存在1≤m≤N，使得i=1Nai=2Sm，探究：数列Sn能否为“N阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
04数列重新排序问题
16. （2024·全国·模拟预测）已知n∈N*，an=12n-1，bn=1(n+1)2-1，数列an与数列bn的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列cn，则数列cn的前99项和为（ ）
A．196197B．198199C．98197D．99199
17. （2024·黑龙江·二模）已知集合A=a1,a2,⋯,an,⋯,B=b1,b2,⋯,bn,⋯,an是公比为2的等比数列且a2+3,a3+1,a4-3构成等比数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn是等差数列，将集合A∪B的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为cn.
①若bn=5n-1，数列cn的前n项和为Sn，求使Sn≤2024成立的n的最大值；
②若A∩B=∅，数列cn的前5项构成等比数列，且c1=1,c9=8，试写出所有满足条件的数列bn.
18. （2022·上海虹口·一模）已知集合A={y|y=2x,x∈N*}，B={y|y=3x,x∈N*}.A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}，Sn为数列{an}的前n项的和.
(1)求S10；
(2)如果am=81，a2022=t，求m和t的值；
(3)如果n=3k-12+k(k∈N*)，求11Sn（用k来表示）.
19. （2020·湖南长沙·三模）已知数列an的前n项和为Sn，a1=aa>0,a∈N*，Sn=pan+1（p≠0且p≠-1，n∈N*）．
（1）求数列an的通项公式；
（2）在①ak+1，ak+3，ak+2，②ak+2，ak+1，ak+3这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：
对任意的正整数k，若将ak+1，ak+2，ak+3按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为dk，求p的值及对应的dk．
20. （2022·上海金山·一模）已知有穷数列an的各项均不相等，将an的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列pn，称pn为an的“序数列”.例如，数列a1､a2､a3满足a1>a3>a2，则其“序数列”pn为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.
(1)若数列3-2x､5x+6､x2的“序数列”为2､3､1，求实数x的取值范围；
(2)若项数均为2021的数列xn､yn互为“保序数列”，其通项公式分别为xn=n+12⋅23n，yn=-n2+tn（t为常数），求实数t的取值范围；
(3)设an=qn-1+p，其中p､q是实常数，且q>-1，记数列an的前n项和为Sn，若当正整数k≥3时，数列an的前k项与数列Sn的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p､q满足的条件.
05数列与三角函数结合
21. （2023·天津河北·一模）已知an是等差数列，其公差d大于1，其前n项和为Sn,bn是等比数列，公比为q，已知a1=b1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求an和bn的通项公式；
(2)若正整数m,n,p满足m(3)记cn=an2cs2nπ3-sin2nπ3，求cn的前3n项和P3n.
22. （2024·吉林·二模）已知数列an,a1=1,an+1=2an-csnπ2+2sinnπ2n∈N*.
(1)求a2,a3.
(2)求an的通项公式；
(3)设nan-2n的前n项和为Tn,若Tm=2024m∈N*,求m.
23. （2024·河南开封·三模）点S是直线PQ外一点，点M，N在直线PQ上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段PQ上，记P,Q;M=SPsin∠PSMSQsin∠MSQ；若点M在线段PQ外，记P,Q;M=-SPsin∠PSMSQ⋅sin∠MSQ．记P,Q;M,N=P,Q;MP,Q;N．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=2，A=60°，点D是射线BC上一点，且B,C;D=c2．
(1)若AD=3+1，求∠ADC；
(2)射线BC上的点M0，M1，M2，…满足B,C;Mn,D=-1+3n2，n∈N，
（i）当n=0时，求AM0+8AD的最小值；
（ii）当n≠0时，过点C作CPn⊥AMn于Pn，记an=CPnn，求证：数列an的前n项和Sn<2+2．
24．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列an,a1=1,Sn为数列an的前n项和，且Sn=13(n+2)an．
(1)求数列an的通项公式；
(2)求证：sinan-an<0；
(3)证明：1+sin1a11+sin1a21+sin1a3⋯1+sin1an25. （2022·上海金山·一模）若数列an满足an+an+1+an+2+⋯+an+k=0n∈N*,k∈N*，则称数列an为“k阶相消数列”.已知“2阶相消数列”bn的通项公式为bn=2csωn，记Tn=b1b2⋯bn，1≤n≤2021，n∈N*，则当n= 时，Tn取得最小值
06数列中的周期性
26. （2023·湖南永州·二模）已知数列an满足a3=-14,an+an+1=116n2csnπ2，则a240= ．
27. （2023·全国·模拟预测）若数列an满足an+1-anan+1-an=1，且a1=2，则数列an+3anan+2的前2023项的积为 .
28. （2021·广东·模拟预测）已知Sn为数列an的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量OA，OB，OC，满足OC=an-1+an+1OA+1-anOB，n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2021= .
29. （2024·湖南长沙·一模）对于数列an，如果存在正整数T，使得对任意nn∈N*，都有an+T=an，那么数列an就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期.若周期数列bn,cn满足：存在正整数k，对每一个ii≤k,i∈N*，都有bi=ci，我们称数列bn和cn为“同根数列”.
(1)判断数列an=sinnπ､bn=1,n=13,n=2bn-1-bn-2,n≥3是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
(2)若an和bn是“同根数列”，且周期的最小值分别是m+2和m+4m∈N*，求k的最大值.
30. （22-23高三下·北京·阶段练习）若无穷数列an的各项均为整数．且对于∀i,j∈N*，ij，使得ak=aiaj-ai-aj，则称数列an满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①an=n，n=1，2，3，…；
②bn=n+2，n=1，2，3，…．
(2)若数列an满足性质P，且a1=1，求证：集合n∈N*an=3为无限集；
(3)若周期数列an满足性质P，求数列an的通项公式．
07数列中插入项问题
31. （2024·全国·模拟预测）已知an=2n，数列cn为a1,b1,a2,b2,b3,a3,b4,b5,b6,a4,b7,b8,b9,b10,a5,⋯，规律是在ak和ak+1中间插入k项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列bn，则数列cn的前30项和为 ．
32. （2024·河北沧州·一模）在数列an中，已知a1+a22+a322+⋯+an2n-1=2n．
(1)求数列an的通项公式；
(2)在数列an中的a1和a2之间插入1个数x11，使a1,x11,a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21,x22，使a2,x21,x22,a3成等差数列；…；在an和an+1之间插入n个数xn1,xn2,⋯,xnn，使an,xn1,xn2,⋯,xnn,an+1成等差数列，这样可以得到新数列bn:a1,x11,a2,x21,x22,a3,x31,x32,x33,a4,⋯,an，设数列bn的前n项和为Sn，求S55（用数字作答）．
33. （2024·新疆·二模）已知an为等差数列，前n项和为Tn，若T4=4T2,a2n=2an+1.
(1)求an；
(2)对任意的m∈N*，将an中落入区间2m,22m内项的个数记为bm.
①求bm；
②记cm=222m-1-bm, cm的前m项和记为Tm，是否存在m,t∈N*，使得Tm-tTm+1-t=1ct+1成立？若存在，求出mt的值；若不存在，请说明理由.
34. （23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn2+2Sn+1=94an2．
(1)求证：1S1+1S2+1S3+⋯+1Sn<34
(2)在an与an+1间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列dn中是否存在3项dm,dk,dp，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
35. （23-24高三上·天津东丽·阶段练习）已知an是等差数列，bn是公比不为1的等比数列，a2=6，a4+a5=22，3a1=4b1，且2b2是3b1与b3的等差中项．
(1)求：数列an和bn的通项公式．
(2)设dn=-1nanbn2,n为奇数-8n2+36n-36bn,n为偶数，求i=12ndi.
(3)若对于数列an、bn，在ak和ak+1之间插入bk个2k∈N*，组成一个新的数列cn，记数列cn的前n项和为Tn，求T2024．
08数列与放缩结合
36. （2024·全国·模拟预测）已知数列an的各项均为正数，a1=1，an+2an≥an+12．
(1)若a2=3，证明：an≥3n-1；
(2)若a10=512，证明：当a4取得最大值时，1a1+1a2+⋯+1an<2．
37. （2024·山东·二模）记Sn为数列an的前n项和，a2=14,Sn+12n=ancsnπ．
(1)求a3和an的通项公式；
(2)设数列1an的前n项和为Tn，证明：18-18×14n38. （2024·天津和平·一模）若数列an满足an+1=an2+dn∈N*，其中d≠0,an>0，则称数列an为M数列.
(1)已知数列an为M数列，当d=1,a1=1时.
（ⅰ）求证：数列an2是等差数列，并写出数列ann∈N*的通项公式；
（ⅱ）Tn=k=12nak4+ak2(-1)kn∈N*，求k=1n1Tkn∈N*.
(2)若an是M数列n∈N*，且d>0，证明：存在正整数n.使得i=1n1ai>2024.
39. （2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当fx在x=0处的nn∈N*阶导数都存在时，fx=f0+f'0x+f″02!x2+f303!x3+⋯+fn0n!xn+ ⋯．注：f″x表示fx的2阶导数，即为f'x的导数，fnxn≥3表示fx的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：csx=1-x22!+x44!-x66!+⋯．当x≥0时，试比较csx与1-x22的大小，并给出证明；
(3)设n∈N*，证明：k=1n1(n+k)tan1n+k>n-14n+2．
40. （2024·全国·模拟预测）已知数列an的首项为1，前n项和为Sn，且Sn=2Sn-1+1，其中n≥2．
(1)求证：数列an是等比数列；
(2)当n≥2时，求证：1S1+1S2+1S3+⋅⋅⋅+1Sn<21-12n．
09斐波那契数列问题
41. （2024·新疆·二模）斐波那契数列又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇的契合，小到地球上的动植物，如向日葵､松果､海螺的成长过程，大到海浪､飓风､宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列an一般以递推的方式被定义：a1=a2=1,an+2=an+an+1，则下列说法正确的是（ ）
A．记Sn为数列an的前n项和，则S7=31
B．在斐波那契数列中，从不大于34的项中任取一个数，恰好取到偶数的概率为13
C．a1+a3+a5+⋯+a2023=a2025
D．a12+a32+a52+⋯+a20232=a2024a2025
42. （多选）（2024·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1,2,3,5,8,13,⋯数列中的每一项称为斐波那契数，记作Fn．已知F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2n∈N*,n>2．则（ ）
A．F12=134
B．F2+F4+F6+F8=F9-1
C．若斐波那契数Fn除以4所得的余数按照原顺序构成数列an，则a2023+a2024=2
D．若F2024=p0．则F1+F2+F3+⋅⋅⋅+F2022=p0-2
43. （2024·江西·一模）斐波那契数列(Fibnacci sequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(Lenard Fibnacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0=1,a1=1,an=an-1+an-2(n≥2,n∈N*),A=a1,a2,⋯,a2024,B⊆A且B≠∅中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ．
44. （多选）（22-23高三上·山西·阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，现将an中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为bn，数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，下列说法正确的是（ ）
A．T2022=1348B．S1000=a1002-1
C．若Tn=2022，则n=3033D．a12+a22+a32+⋯+a5002=a500a501
45. （多选）（2021·福建福州·模拟预测）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{an}，a1=a2=1，an=an-1+an-2(n≥3)，边长为斐波那契数an的正方形所对应扇形面积记为bn(n∈N*)，则（ ）
A．3an=an-2+an+2(n≥3)B．a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2019=a2021+1
C．π4(b2020-b2019)=a2018⋅a2021D．b1+b2+b3+⋅⋅⋅+b2020=π4a2020⋅a2021
10数列与排列组合结合
46.（多选） （2024·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为pk（k∈N*），则（ ）
A．p2=12B．p3>p4C．pk+2pk+1=1D．p15>13
47. （多选）（2023·广东深圳·二模）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处有一只青蛙，假设青蛙会随机地沿一条棱跳到相邻的某个顶点，且跳向每个顶点的概率相同，记青蛙跳动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn，则下列结论正确的是（ ）
A．P1=23
B．青蛙跳动奇数次后只能位于点B,C,D,A1四个点中某一个点处
C．数列Pn-12是等比数列
D．青蛙跳动4次后恰好回到点A的概率为727
48. （2024·全国·模拟预测）从集合x∈N*|1≤x≤9中随机抽取若干个数（大于等于一个）．
(1)求这些数排序后能成等比数列的概率；
(2)求这些数排序后能成等差数列的概率．
49. （2023·河北承德·模拟预测）某校高三年级有n(n>2,n∈N*)个班，每个班均有(n+30)人，第k（k=1,2,3,⋅⋅⋅,n）个班中有(k+10)个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是813，则n= .
50. （23-24高三下·浙江杭州·开学考试）设整数n,k满足1≤k≤n，集合A=2m0≤m≤n-1,m∈Z.从A中选取k个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有Cnk个，设它们的和为an,k.例如a3,2=20⋅21+20⋅22+21⋅22=14.
(1)若n≥2，求an,2；
(2)记fnx=1+an,1x+an,2x2+⋯+an,nxn.求fn+1xfnx和fn+1xfn2x的整式表达式；
(3)用含n，k的式子来表示an+1,k+1an,k.
11高斯函数问题
51. （2023·全国·模拟预测）已知正项数列an，bn满足：a1=1，bn=an2，bn+1-bn=an，S2023=1b1+1b2+⋯+1b2023，[x]表示不超过x的最大整数，则S2023=（ ）
A．1B．2C．3D．2023
52. （2024·四川成都·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数fx=x称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数，如2.3=2,-1.9=-2，已知数列an满足a1=1,a2=5，an+2+4an=5an+1，若bn=lg2an+1,Sn为数列8108bn⋅bn+1的前n项和，则S2025= ．
53. （2024·河北·模拟预测）已知x表示不超过x的最大整数，x=x-x，设n∈N*，且n3+n4+n6=1，则n的最小值为 ；当1≤n≤2024时，满足条件的所有n值的和S= .
54. （2024高三·全国·专题练习）设n∈N*，an为(2x+3)n-(x+1)n的展开式的各项系数之和，c=2t-3，t∈R，bn=[a15]+[2a252]+⋯+[nan5n]([n]表示不超过实数x的最大整数)，则(n-t)2+(bn+c)2的最小值为 ．
55. （2023·全国·模拟预测）已知数列an为公差不为0的等差数列，a3=5，且a2,a5,a14成等比数列，设x表示不超过x的最大整数，如3.5=3，-1.5=-2，记bn=lg2an，Sn为数列bn的前n项和，则S2024= .
12数列与实际模型
56. （2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60°），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到A11，然后分叉向A21与A22方向继续繁殖，其中∠A21A11A22=60°，且A11A21与A11A22关于OA11所在直线对称，A11A21=A11A22=12OA11….若OA11=4cm，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（r∈N*，单位：cm）至少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
57. （2024·山西·模拟预测）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为22，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列bn，若an的前n项和为Sn=λn2+(20+λ)nλ<0,n∈N*，令cn=maxan,1bn2，其中max{x,y}表示x，y中的较大值.若cn≥c3恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[-4,-3]B．[-3,-2]C．-23,-12D．-3,-23
58. （2024·贵州遵义·一模）第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Kch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Kch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级Kn(n∈N*)角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为60°），则n级Kn角雪花曲线的开三角个数为 ，n级Kn角雪花曲线的内角和为 ．
59. （2024·吉林·模拟预测）“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用A1,A2,⋯,A16表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线有ai条，其中1≤i≤16,i∈N，记a2n+1=m1≤n≤7,n∈N，则i=1na2i= （结果用m表示）.
60. （2024·云南大理·模拟预测）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为23的线段PQ，取PQ的中点M1，以PM1为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为S1，再取M1Q的中点M2，以M1M2为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为S2，以此类推，则S3= ，k=1n14k+1SkSk+1= .
13数列与集合新定义
61. （2024·浙江绍兴·二模）已知k∈N*，集合Xk=xx=2i0+2i1+⋅⋅⋅+2ik,0≤i0(1)求X2中最小的元素；
(2)设a=21+23∈X1，b∈X1，且a+b∈X1，求b的值；
(3)记Yk=Xk∩2k+n-1,2k+n，n∈N*，若集合Yk中的元素个数为bn，求m=1k+1bm2m-1.
62. （2024·北京东城·一模）有穷数列a1,a2,⋯,an(n>2)中，令Sp,q=ap+ap+1+⋯+aq1≤p≤q≤n,p,q∈N*，
(1)已知数列-3,2,-1,3，写出所有的有序数对p,q，且p0；
(2)已知整数列a1,a2,⋯,an,n为偶数，若Si,n-i+1i=1,2,⋯,n2，满足：当i为奇数时，Si,n-i+1>0；当i为偶数时，Si,n-i+1<0.求a1+a2+⋯+an的最小值；
(3)已知数列a1,a2,⋯,an满足S1,n>0，定义集合A=iSi+1,n>0,i=1,2,⋯,n-1.若A=i1,i2,⋯,ikk∈N*且为非空集合，求证：S1,n>ai1+ai2+⋯+aik.
63. （2024·湖南邵阳·二模）给定整数n≥3，由n元实数集合P定义其随影数集Q=x-y∣x,y∈P,x≠y.若minQ=1，则称集合P为一个n元理想数集，并定义P的理数t为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合S=-2,-1,2,3,T=-0.3,-1.2,2.1,2.5是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集P，求证：minP+maxP≥4；
(3)当P=x1,x2,⋯,x2024取遍所有2024元理想数集时，求理数t的最小值.
注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，maxP,minP分别表示数集P中的最大数与最小数.
64. （2024·北京西城·一模）对正整数m≥3,n≥6，设数列A:a1,a2,⋯,an,ai∈0,1i=1,2,⋯,n.B是m行n列的数阵，bij表示B中第i行第j列的数，bij∈0,1i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n，且B同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合ia1bi1+a2bi2+⋯+anbin=0或3,i=1,2,⋯,m中元素的个数为K．
(1)若A:1,1,1,0,0,0,B=111000101100000111，求K的值；
(2)若对任意p,q∈1,2,⋯,n(p①B能否满足m=3r？说明理由；
②证明：K≥124n2-4n．
65. （2024·福建泉州·模拟预测）a,b表示正整数a，b的最大公约数，若x1,x2,⋯,xk⊆1,2,⋯,mk,m∈N*，且∀x∈x1,x2,⋯,xk，x,m=1，则将k的最大值记为φm，例如：φ1=1，φ5=4.
(1)求φ2，φ3，φ6；
(2)已知m,n=1时，φmn=φmφn.
（i）求φ6n；
（ii）设bn=13φ6n-1，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn<625.
14数列与函数结合
66. （2024·青海·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足fx+y=fxfy-2fx-2fy+6，f1=4，则f1+f2+⋅⋅⋅+f99=（ ）
A．299+198B．299+196C．2100+198D．2100+196
67. （多选）（2024·湖南娄底·一模）已知函数fx的定义域和值域均为x∣x≠0,x∈R，对于任意非零实数x,y,x+y≠0，函数fx满足：fx+yfx+fy=fxfy，且fx在-∞,0上单调递减，f1=1，则下列结论错误的是（ ）
A．f12=2B．i=12023f12i=22023-2
C．fx在定义域内单调递减D．fx为奇函数
68.（多选） （2024·山西晋城·二模）已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的x,y∈R，都有fxy=xfy+yfx，若f2=2，则下列说法正确的是（ ）
A．f(1)=0B．f(x)的图象关于y轴对称
C．i=12024f2i=2023×22025+2D．i=12024f2i=2024×22026+2
69. （2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知fx=1-x2,-1≤x≤1fx-2,x>1，若直线y=knx与fx有2n个交点n∈N*，则k12+k22+⋯+kn2= .
70. （23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数fx的定义域为R，且f4x+1的图象关于点0,2中心对称，若f2+x-f2-x+4x=0，则i=1100fi= .
15数列与函数导数结合
71. （2024·甘肃·一模）已知函数fx=sinxex（e为自然对数的底），x∈[0,+∞)，记xn为fx从小到大的第n个极值点，数列an的前n项和为Sn，且满足an=fxn，则S2024=（ ）
A．2eπ-e-2023π2eπ41-eπB．21-e2024π2eπ41-eπ
C．2eπ-e-2023π2eπ4eπ+1D．21-e2024π2eπ4eπ+1
72. （多选）（2024·全国·模拟预测）记函数fnx的导函数为fn+1x，已知f1x=x2ex，若数列an，bn满足fnx=x2+anx+bnex，则（ ）
A．an为等差数列B．bn为等比数列
C．n=3501bn=4849D．8bn≤2an
73. （2024·全国·模拟预测）已知f(x)=eax-x-1，其中a∈R．
(1)当a=1时，证明：f(x)≥0；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(3)设n∈Z*，n≥2，证明：1+212+313+⋯+ n1n>n+ln(n+2)-ln3．
74. （2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知函数f(x)=lnx-axex．
(1)当a=1时，证明：f(x)有且仅有一个零点．
(2)当x>0时，f(x)≤x恒成立，求a的取值范围．
(3)证明：ln22+ln33+⋅⋅⋅+lnnn≤n-e(1-e-n)e-1(n≥2,n∈N*)．
75. （2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2na31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋮，其模可由向量模拓展为A=i=1nj=1naij212（其中aij为矩阵中第i行第j列的数，∑为求和符号），记作AF，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵A22=a11a12a21a22=2435，其矩阵模AF=i=1nj=1naij212=22+42+32+52=36.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)∀n∈N*，n≥3，矩阵Bnn=100⋯0020⋯0003⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯n，求使BF>35的n的最小值.
(2)∀n∈N*，n≥3，，矩阵Cnn= 1csθcsθcsθ⋯csθcsθ0-sinθ-sinθcsθ-sinθcsθ⋯-sinθcsθ-sinθcsθ00sin2θsin2θcsθ⋯sin2θcsθsin2θcsθ⋮⋮⋮⋮⋮⋮0000⋯(-1)n-2sinn-2θ(-1)n-2sinn-2θcsθ0000⋯0(-1)n-1sinn-1θ求CF.
(3)矩阵Dmn=lnn+2n+1 0 0⋅⋅⋅0lnn+1n22lnn+1n220⋅⋅⋅0⋮ln43n-1n-1ln43n-1n-1ln43n-1n-1⋅⋅⋅0ln32nnln32nnln32nn⋅⋅⋅ln32nn，证明：∀n∈N*，n≥3，DF>n3n+9.
76.(多选) （2023·江西·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较小部分a与较大部分b的比值等于较大部分b与整体部分a+b的比值，其比值为5-12，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（ ）
A．若椭圆Γ的焦点在x轴上，上顶点为B，右顶点为A，左焦点为F．小欧提出只要满足BF⋅BA=0，椭圆Γ的离心率就等于5-12
B．一顶角等于36°的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于5-12
C．假设n∈N*，小莱发现若公比大于0的等比数列an与著名的斐波那契数列的递推公式fn+2=fn+1+fn相同，则数列an的公比等于5-12
D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离a与柱高b满足lg4a=lg6b=lg9a+b，则ab=5-12
77. （多选）（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正四面体ABCD中，AB=2，P1，P2，…，Pn在线段AB上，且AP1=P1P2=⋯=Pn-1Pn=PnB，过点P1作平行于直线AC，BD的平面，截面面积为an，则下列说法正确的是（ ）
A．a1=1
B．an为递减数列
C．存在常数m，使1an+m为等差数列
D．设Sn为数列n+1n2an的前n项和，则Sn=2023506时，n=2023
78. （2023·湖南长沙·一模）如图，已知曲线C1:y=2xx+1(x>0)及曲线C2:y=13x(x>0)．从C1上的点Pnn∈N*作直线平行于x轴，交曲线C2于点Qn，再从点Qn作直线平行于y轴，交曲线C1于点Pn+1，点Pn的横坐标构成数列an0(1)试求an+1与an之间的关系，并证明：a2n-1<12(2)若a1=13，求an的通项公式．
79. （2024·河南·模拟预测）对于数列an，定义An=a1+3a2+⋯+3n-1an为数列an的“加权和”．设数列an的“加权和”An=n⋅3n，记数列an+pn+1的前n项和为Tn，若Tn≤T5对任意的n∈N*恒成立，则实数p的取值范围为（ ）
A．-167,-73B．-125,-73C．-52,-125D．-167,-94
80. （2024·北京石景山·一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：x∈0,1时，Rx=1q,x=pqp,q∈N*,pq为既约真分数0,x=0,1和0,1内的无理数．若数列an=Rn-1n,n∈N*，给出下列四个结论：
①an=1n；②an+2其中所有正确结论的序号是 ．
命题预测
本专题考查类型主要涉及点为数列，其中包含了数列的单调性、不等式，数列与三角函数、集合、函数等的结合，也包含数列的放缩，新定义等。
预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。
高频考法
题型01数列不等式、单调性与最值性问题
题型02数列分奇偶问题
题型03数列新定义问题
题型04数列重新排序问题
题型05数列与三角函数结合
题型06数列中的周期性
题型07数列中插入项问题
题型08数列与放缩结合
题型09斐波那契数列问题
题型10数列与排列组合结合
题型11高斯函数问题
题型12数列与实际模型
题型13数列与集合新定义
题型14数列与函数结合
题型15数列与函数导数结合
数列的新定义问题，一般根据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项公式求法（如公式法、累加法、待定系数法等）求得数列通项公式和前n项和，最后再通项和前n项和的基础上讨论数列的性质.
数列型不等式问题的求解过程中常用到放缩法，一般有两种情况：一是先放缩，再求和；二是先求和，再放缩．常用的放缩技巧如下：
（1）对1n2的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况：①1n2<1n2-n=1n-1-1nn≥2；②1n2<1n2-1=121n-1-1n+1n≥2；③1n2<1n2-14=212n-1-12n+1．
（2）对12n的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况：
①12n>1n+n+1=n+1-n；②12n<1n+n-1=n-n-1n≥2．
（3）对12n-1的放缩，为12n-1≤12n-1．
解决以集合为背景的新定义问题，注意：根据集合定义式，确定集合中元素的特点
抽象函数表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据题目信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出f(-x),f(x)的关系式等.
01数列不等式、单调性与最值性问题
1.（2024·浙江宁波·二模）已知数列an满足an=λn2-n，对任意n∈1,2,3都有an>an+1，且对任意n∈nn≥7,n∈N都有an
2. （2024·全国·模拟预测）若数列an，对于∀k∈N*, n∈N*，都有an+k-an>kt（t为常数）成立，则称数列an具有性质P(t)．已知数列an的通项公式为an=2n+1-λn2+4n，且具有性质P(4)，则实数λ的取值范围是（ ）
A．(85,+∞)B．(43,+∞)C．(-∞,43)D．(-∞,85)
3. （23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知数列an满足2an+1-1an+an+12an+1=2，n∈N*．
(1)已知an>0，
①若a3=1，求a1；
②若关于m的不等式am<1的解集为M，集合M中的最小元素为8，求a1的取值范围；
(2)若a1=111，是否存在正整数kk≥2，使得ak=a1，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．
4. （多选）（2024·广东·模拟预测）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数f(x)有两个不相等的实根b,c，其中c>b.在函数f(x)图象上横坐标为x1的点处作曲线y=f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1，重复以上的过程得到x3；一直下去，得到数列{xn}.记an=lnxn-bxn-c，且a1=1，xn>c，下列说法正确的是（ ）
A．x1=ec-be-1（其中lne=1）B．数列{an}是递减数列
C．a6=132D．数列an+1an的前n项和Sn=2n-21-n+1
5. （2024·陕西西安·三模）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足an=Tn3Tn-1(n∈N*)，则不等式Sn>11成立的n的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．10
02数列分奇偶问题
6.（2024·河北石家庄·二模）已知数列an满足a1=7,an+1=an-3,n为奇数,2an,n为偶数.
(1)写出a2,a3,a4;
(2)证明:数列a2n-1-6为等比数列;
(3)若bn=a2n，求数列n⋅bn-3的前n项和Sn.
7. （2024·广东佛山·二模）已知数列an满足a1=1，an+1=an+1,n为奇数3an,n为偶数，且bn=a2n+1-a2n-1．
(1)证明bn为等比数列，并求数列bn的通项公式；
(2)设cn=bn-5bn+1-5，且数列cn的前n项和为Tn，证明：当n≥2时，1213n-1-3<3Tn-n
A．当a1<0时，an为递增数列，且存在常数M>0，使得an
C．当0
D．当0
9. （2024·辽宁·二模）如果数列xn,yn，其中yn∈Z，对任意正整数n都有xn-yn<12，则称数列yn为数列xn的“接近数列”．已知数列bn为数列an的“接近数列”．
(1)若an=2n+23n∈N*，求b1,b2,b3的值；
(2)若数列an是等差数列，且公差为dd∈Z，求证：数列bn是等差数列；
(3)若数列an满足a1=231100，且an+1=-910an+5720，记数列an､bn的前n项和分别为Sn,Tn，试判断是否存在正整数n，使得Sn
A．若c≤1，则数列an单调递减
B．若对任意n∈N*，都有an≥a1，则c≤1
C．若c∈N*，则对任意i,j∈N*，都有ai+aj≠0
D．若an的最大项与最小项之和为正数，则2k-12
11. （2024·广东深圳·二模）无穷数列a1，a2，…，an，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an﹔如果n是奇数，就对3n+1尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果an=m且am=n，求m，n的值；
(3)记an=fn，n∈N*，求一个正整数n，满足n
(1)若an=3n，求其生成数列pn的前n项和；
(2)设数列pn的“生成数列”为qn，求证：pn=qn；
(3)若pn是等差数列，证明：存在正整数n0，当n≥n0时，an，an+1，an+2，⋅⋅⋅是等差数列．
13. （2024·浙江·模拟预测）已知实数q≠0，定义数列an如下：如果n=x0+2x1+22x2+⋯+2kxk,xi∈0,1，i=0,1,2,⋯,k，则an=x0+x1q+x2q2+⋯+xkqk．
(1)求a7和a8（用q表示）；
(2)令bn=a2n-1，证明：i=1nbi=a2n-1；
(3)若1
(1)若an=n2-1，判断an是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若an为“上凸数列”，则当m≥n+2m,n∈N*时，am+an≤am-1+an+1．
（ⅰ）若数列Sn为an的前n项和，证明：Sn≥n2a1+an；
（ⅱ）对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,xi,⋯,xn（n为常数且n≥2,n∈N*），若i=1nxi2-1≥i=1nxi-λ2-1恒成立，求λ的最小值．
15. （2024·吉林白山·二模）已知数列an的前n项和为Sn，若数列an满足：①数列an项数有限为N；②SN=0；③i=1Nai=1，则称数列an为“N阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列an1≤n≤10为“10阶可控摇摆数列”，求an的通项公式；
(2)若等差数列an1≤n≤2m,m∈N*为“2m阶可控摇摆数列”，且am>am+1，求数列an的通项公式；
(3)已知数列an为“N阶可控摇摆数列”，且存在1≤m≤N，使得i=1Nai=2Sm，探究：数列Sn能否为“N阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
04数列重新排序问题
16. （2024·全国·模拟预测）已知n∈N*，an=12n-1，bn=1(n+1)2-1，数列an与数列bn的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列cn，则数列cn的前99项和为（ ）
A．196197B．198199C．98197D．99199
17. （2024·黑龙江·二模）已知集合A=a1,a2,⋯,an,⋯,B=b1,b2,⋯,bn,⋯,an是公比为2的等比数列且a2+3,a3+1,a4-3构成等比数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn是等差数列，将集合A∪B的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为cn.
①若bn=5n-1，数列cn的前n项和为Sn，求使Sn≤2024成立的n的最大值；
②若A∩B=∅，数列cn的前5项构成等比数列，且c1=1,c9=8，试写出所有满足条件的数列bn.
18. （2022·上海虹口·一模）已知集合A={y|y=2x,x∈N*}，B={y|y=3x,x∈N*}.A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}，Sn为数列{an}的前n项的和.
(1)求S10；
(2)如果am=81，a2022=t，求m和t的值；
(3)如果n=3k-12+k(k∈N*)，求11Sn（用k来表示）.
19. （2020·湖南长沙·三模）已知数列an的前n项和为Sn，a1=aa>0,a∈N*，Sn=pan+1（p≠0且p≠-1，n∈N*）．
（1）求数列an的通项公式；
（2）在①ak+1，ak+3，ak+2，②ak+2，ak+1，ak+3这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：
对任意的正整数k，若将ak+1，ak+2，ak+3按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为dk，求p的值及对应的dk．
20. （2022·上海金山·一模）已知有穷数列an的各项均不相等，将an的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列pn，称pn为an的“序数列”.例如，数列a1､a2､a3满足a1>a3>a2，则其“序数列”pn为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.
(1)若数列3-2x､5x+6､x2的“序数列”为2､3､1，求实数x的取值范围；
(2)若项数均为2021的数列xn､yn互为“保序数列”，其通项公式分别为xn=n+12⋅23n，yn=-n2+tn（t为常数），求实数t的取值范围；
(3)设an=qn-1+p，其中p､q是实常数，且q>-1，记数列an的前n项和为Sn，若当正整数k≥3时，数列an的前k项与数列Sn的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p､q满足的条件.
05数列与三角函数结合
21. （2023·天津河北·一模）已知an是等差数列，其公差d大于1，其前n项和为Sn,bn是等比数列，公比为q，已知a1=b1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求an和bn的通项公式；
(2)若正整数m,n,p满足m
22. （2024·吉林·二模）已知数列an,a1=1,an+1=2an-csnπ2+2sinnπ2n∈N*.
(1)求a2,a3.
(2)求an的通项公式；
(3)设nan-2n的前n项和为Tn,若Tm=2024m∈N*,求m.
23. （2024·河南开封·三模）点S是直线PQ外一点，点M，N在直线PQ上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段PQ上，记P,Q;M=SPsin∠PSMSQsin∠MSQ；若点M在线段PQ外，记P,Q;M=-SPsin∠PSMSQ⋅sin∠MSQ．记P,Q;M,N=P,Q;MP,Q;N．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=2，A=60°，点D是射线BC上一点，且B,C;D=c2．
(1)若AD=3+1，求∠ADC；
(2)射线BC上的点M0，M1，M2，…满足B,C;Mn,D=-1+3n2，n∈N，
（i）当n=0时，求AM0+8AD的最小值；
（ii）当n≠0时，过点C作CPn⊥AMn于Pn，记an=CPnn，求证：数列an的前n项和Sn<2+2．
24．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列an,a1=1,Sn为数列an的前n项和，且Sn=13(n+2)an．
(1)求数列an的通项公式；
(2)求证：sinan-an<0；
(3)证明：1+sin1a11+sin1a21+sin1a3⋯1+sin1an
06数列中的周期性
26. （2023·湖南永州·二模）已知数列an满足a3=-14,an+an+1=116n2csnπ2，则a240= ．
27. （2023·全国·模拟预测）若数列an满足an+1-anan+1-an=1，且a1=2，则数列an+3anan+2的前2023项的积为 .
28. （2021·广东·模拟预测）已知Sn为数列an的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量OA，OB，OC，满足OC=an-1+an+1OA+1-anOB，n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2021= .
29. （2024·湖南长沙·一模）对于数列an，如果存在正整数T，使得对任意nn∈N*，都有an+T=an，那么数列an就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期.若周期数列bn,cn满足：存在正整数k，对每一个ii≤k,i∈N*，都有bi=ci，我们称数列bn和cn为“同根数列”.
(1)判断数列an=sinnπ､bn=1,n=13,n=2bn-1-bn-2,n≥3是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
(2)若an和bn是“同根数列”，且周期的最小值分别是m+2和m+4m∈N*，求k的最大值.
30. （22-23高三下·北京·阶段练习）若无穷数列an的各项均为整数．且对于∀i,j∈N*，i
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①an=n，n=1，2，3，…；
②bn=n+2，n=1，2，3，…．
(2)若数列an满足性质P，且a1=1，求证：集合n∈N*an=3为无限集；
(3)若周期数列an满足性质P，求数列an的通项公式．
07数列中插入项问题
31. （2024·全国·模拟预测）已知an=2n，数列cn为a1,b1,a2,b2,b3,a3,b4,b5,b6,a4,b7,b8,b9,b10,a5,⋯，规律是在ak和ak+1中间插入k项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列bn，则数列cn的前30项和为 ．
32. （2024·河北沧州·一模）在数列an中，已知a1+a22+a322+⋯+an2n-1=2n．
(1)求数列an的通项公式；
(2)在数列an中的a1和a2之间插入1个数x11，使a1,x11,a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21,x22，使a2,x21,x22,a3成等差数列；…；在an和an+1之间插入n个数xn1,xn2,⋯,xnn，使an,xn1,xn2,⋯,xnn,an+1成等差数列，这样可以得到新数列bn:a1,x11,a2,x21,x22,a3,x31,x32,x33,a4,⋯,an，设数列bn的前n项和为Sn，求S55（用数字作答）．
33. （2024·新疆·二模）已知an为等差数列，前n项和为Tn，若T4=4T2,a2n=2an+1.
(1)求an；
(2)对任意的m∈N*，将an中落入区间2m,22m内项的个数记为bm.
①求bm；
②记cm=222m-1-bm, cm的前m项和记为Tm，是否存在m,t∈N*，使得Tm-tTm+1-t=1ct+1成立？若存在，求出mt的值；若不存在，请说明理由.
34. （23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn2+2Sn+1=94an2．
(1)求证：1S1+1S2+1S3+⋯+1Sn<34
(2)在an与an+1间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列dn中是否存在3项dm,dk,dp，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
35. （23-24高三上·天津东丽·阶段练习）已知an是等差数列，bn是公比不为1的等比数列，a2=6，a4+a5=22，3a1=4b1，且2b2是3b1与b3的等差中项．
(1)求：数列an和bn的通项公式．
(2)设dn=-1nanbn2,n为奇数-8n2+36n-36bn,n为偶数，求i=12ndi.
(3)若对于数列an、bn，在ak和ak+1之间插入bk个2k∈N*，组成一个新的数列cn，记数列cn的前n项和为Tn，求T2024．
08数列与放缩结合
36. （2024·全国·模拟预测）已知数列an的各项均为正数，a1=1，an+2an≥an+12．
(1)若a2=3，证明：an≥3n-1；
(2)若a10=512，证明：当a4取得最大值时，1a1+1a2+⋯+1an<2．
37. （2024·山东·二模）记Sn为数列an的前n项和，a2=14,Sn+12n=ancsnπ．
(1)求a3和an的通项公式；
(2)设数列1an的前n项和为Tn，证明：18-18×14n
(1)已知数列an为M数列，当d=1,a1=1时.
（ⅰ）求证：数列an2是等差数列，并写出数列ann∈N*的通项公式；
（ⅱ）Tn=k=12nak4+ak2(-1)kn∈N*，求k=1n1Tkn∈N*.
(2)若an是M数列n∈N*，且d>0，证明：存在正整数n.使得i=1n1ai>2024.
39. （2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当fx在x=0处的nn∈N*阶导数都存在时，fx=f0+f'0x+f″02!x2+f303!x3+⋯+fn0n!xn+ ⋯．注：f″x表示fx的2阶导数，即为f'x的导数，fnxn≥3表示fx的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：csx=1-x22!+x44!-x66!+⋯．当x≥0时，试比较csx与1-x22的大小，并给出证明；
(3)设n∈N*，证明：k=1n1(n+k)tan1n+k>n-14n+2．
40. （2024·全国·模拟预测）已知数列an的首项为1，前n项和为Sn，且Sn=2Sn-1+1，其中n≥2．
(1)求证：数列an是等比数列；
(2)当n≥2时，求证：1S1+1S2+1S3+⋅⋅⋅+1Sn<21-12n．
09斐波那契数列问题
41. （2024·新疆·二模）斐波那契数列又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇的契合，小到地球上的动植物，如向日葵､松果､海螺的成长过程，大到海浪､飓风､宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列an一般以递推的方式被定义：a1=a2=1,an+2=an+an+1，则下列说法正确的是（ ）
A．记Sn为数列an的前n项和，则S7=31
B．在斐波那契数列中，从不大于34的项中任取一个数，恰好取到偶数的概率为13
C．a1+a3+a5+⋯+a2023=a2025
D．a12+a32+a52+⋯+a20232=a2024a2025
42. （多选）（2024·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1,2,3,5,8,13,⋯数列中的每一项称为斐波那契数，记作Fn．已知F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2n∈N*,n>2．则（ ）
A．F12=134
B．F2+F4+F6+F8=F9-1
C．若斐波那契数Fn除以4所得的余数按照原顺序构成数列an，则a2023+a2024=2
D．若F2024=p0．则F1+F2+F3+⋅⋅⋅+F2022=p0-2
43. （2024·江西·一模）斐波那契数列(Fibnacci sequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(Lenard Fibnacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0=1,a1=1,an=an-1+an-2(n≥2,n∈N*),A=a1,a2,⋯,a2024,B⊆A且B≠∅中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ．
44. （多选）（22-23高三上·山西·阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，现将an中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为bn，数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，下列说法正确的是（ ）
A．T2022=1348B．S1000=a1002-1
C．若Tn=2022，则n=3033D．a12+a22+a32+⋯+a5002=a500a501
45. （多选）（2021·福建福州·模拟预测）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{an}，a1=a2=1，an=an-1+an-2(n≥3)，边长为斐波那契数an的正方形所对应扇形面积记为bn(n∈N*)，则（ ）
A．3an=an-2+an+2(n≥3)B．a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2019=a2021+1
C．π4(b2020-b2019)=a2018⋅a2021D．b1+b2+b3+⋅⋅⋅+b2020=π4a2020⋅a2021
10数列与排列组合结合
46.（多选） （2024·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为pk（k∈N*），则（ ）
A．p2=12B．p3>p4C．pk+2pk+1=1D．p15>13
47. （多选）（2023·广东深圳·二模）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处有一只青蛙，假设青蛙会随机地沿一条棱跳到相邻的某个顶点，且跳向每个顶点的概率相同，记青蛙跳动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn，则下列结论正确的是（ ）
A．P1=23
B．青蛙跳动奇数次后只能位于点B,C,D,A1四个点中某一个点处
C．数列Pn-12是等比数列
D．青蛙跳动4次后恰好回到点A的概率为727
48. （2024·全国·模拟预测）从集合x∈N*|1≤x≤9中随机抽取若干个数（大于等于一个）．
(1)求这些数排序后能成等比数列的概率；
(2)求这些数排序后能成等差数列的概率．
49. （2023·河北承德·模拟预测）某校高三年级有n(n>2,n∈N*)个班，每个班均有(n+30)人，第k（k=1,2,3,⋅⋅⋅,n）个班中有(k+10)个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是813，则n= .
50. （23-24高三下·浙江杭州·开学考试）设整数n,k满足1≤k≤n，集合A=2m0≤m≤n-1,m∈Z.从A中选取k个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有Cnk个，设它们的和为an,k.例如a3,2=20⋅21+20⋅22+21⋅22=14.
(1)若n≥2，求an,2；
(2)记fnx=1+an,1x+an,2x2+⋯+an,nxn.求fn+1xfnx和fn+1xfn2x的整式表达式；
(3)用含n，k的式子来表示an+1,k+1an,k.
11高斯函数问题
51. （2023·全国·模拟预测）已知正项数列an，bn满足：a1=1，bn=an2，bn+1-bn=an，S2023=1b1+1b2+⋯+1b2023，[x]表示不超过x的最大整数，则S2023=（ ）
A．1B．2C．3D．2023
52. （2024·四川成都·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数fx=x称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数，如2.3=2,-1.9=-2，已知数列an满足a1=1,a2=5，an+2+4an=5an+1，若bn=lg2an+1,Sn为数列8108bn⋅bn+1的前n项和，则S2025= ．
53. （2024·河北·模拟预测）已知x表示不超过x的最大整数，x=x-x，设n∈N*，且n3+n4+n6=1，则n的最小值为 ；当1≤n≤2024时，满足条件的所有n值的和S= .
54. （2024高三·全国·专题练习）设n∈N*，an为(2x+3)n-(x+1)n的展开式的各项系数之和，c=2t-3，t∈R，bn=[a15]+[2a252]+⋯+[nan5n]([n]表示不超过实数x的最大整数)，则(n-t)2+(bn+c)2的最小值为 ．
55. （2023·全国·模拟预测）已知数列an为公差不为0的等差数列，a3=5，且a2,a5,a14成等比数列，设x表示不超过x的最大整数，如3.5=3，-1.5=-2，记bn=lg2an，Sn为数列bn的前n项和，则S2024= .
12数列与实际模型
56. （2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60°），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到A11，然后分叉向A21与A22方向继续繁殖，其中∠A21A11A22=60°，且A11A21与A11A22关于OA11所在直线对称，A11A21=A11A22=12OA11….若OA11=4cm，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（r∈N*，单位：cm）至少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
57. （2024·山西·模拟预测）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为22，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列bn，若an的前n项和为Sn=λn2+(20+λ)nλ<0,n∈N*，令cn=maxan,1bn2，其中max{x,y}表示x，y中的较大值.若cn≥c3恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[-4,-3]B．[-3,-2]C．-23,-12D．-3,-23
58. （2024·贵州遵义·一模）第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Kch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Kch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级Kn(n∈N*)角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为60°），则n级Kn角雪花曲线的开三角个数为 ，n级Kn角雪花曲线的内角和为 ．
59. （2024·吉林·模拟预测）“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用A1,A2,⋯,A16表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线有ai条，其中1≤i≤16,i∈N，记a2n+1=m1≤n≤7,n∈N，则i=1na2i= （结果用m表示）.
60. （2024·云南大理·模拟预测）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为23的线段PQ，取PQ的中点M1，以PM1为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为S1，再取M1Q的中点M2，以M1M2为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为S2，以此类推，则S3= ，k=1n14k+1SkSk+1= .
13数列与集合新定义
61. （2024·浙江绍兴·二模）已知k∈N*，集合Xk=xx=2i0+2i1+⋅⋅⋅+2ik,0≤i0
(2)设a=21+23∈X1，b∈X1，且a+b∈X1，求b的值；
(3)记Yk=Xk∩2k+n-1,2k+n，n∈N*，若集合Yk中的元素个数为bn，求m=1k+1bm2m-1.
62. （2024·北京东城·一模）有穷数列a1,a2,⋯,an(n>2)中，令Sp,q=ap+ap+1+⋯+aq1≤p≤q≤n,p,q∈N*，
(1)已知数列-3,2,-1,3，写出所有的有序数对p,q，且p
(2)已知整数列a1,a2,⋯,an,n为偶数，若Si,n-i+1i=1,2,⋯,n2，满足：当i为奇数时，Si,n-i+1>0；当i为偶数时，Si,n-i+1<0.求a1+a2+⋯+an的最小值；
(3)已知数列a1,a2,⋯,an满足S1,n>0，定义集合A=iSi+1,n>0,i=1,2,⋯,n-1.若A=i1,i2,⋯,ikk∈N*且为非空集合，求证：S1,n>ai1+ai2+⋯+aik.
63. （2024·湖南邵阳·二模）给定整数n≥3，由n元实数集合P定义其随影数集Q=x-y∣x,y∈P,x≠y.若minQ=1，则称集合P为一个n元理想数集，并定义P的理数t为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合S=-2,-1,2,3,T=-0.3,-1.2,2.1,2.5是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集P，求证：minP+maxP≥4；
(3)当P=x1,x2,⋯,x2024取遍所有2024元理想数集时，求理数t的最小值.
注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，maxP,minP分别表示数集P中的最大数与最小数.
64. （2024·北京西城·一模）对正整数m≥3,n≥6，设数列A:a1,a2,⋯,an,ai∈0,1i=1,2,⋯,n.B是m行n列的数阵，bij表示B中第i行第j列的数，bij∈0,1i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n，且B同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合ia1bi1+a2bi2+⋯+anbin=0或3,i=1,2,⋯,m中元素的个数为K．
(1)若A:1,1,1,0,0,0,B=111000101100000111，求K的值；
(2)若对任意p,q∈1,2,⋯,n(p
②证明：K≥124n2-4n．
65. （2024·福建泉州·模拟预测）a,b表示正整数a，b的最大公约数，若x1,x2,⋯,xk⊆1,2,⋯,mk,m∈N*，且∀x∈x1,x2,⋯,xk，x,m=1，则将k的最大值记为φm，例如：φ1=1，φ5=4.
(1)求φ2，φ3，φ6；
(2)已知m,n=1时，φmn=φmφn.
（i）求φ6n；
（ii）设bn=13φ6n-1，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn<625.
14数列与函数结合
66. （2024·青海·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足fx+y=fxfy-2fx-2fy+6，f1=4，则f1+f2+⋅⋅⋅+f99=（ ）
A．299+198B．299+196C．2100+198D．2100+196
67. （多选）（2024·湖南娄底·一模）已知函数fx的定义域和值域均为x∣x≠0,x∈R，对于任意非零实数x,y,x+y≠0，函数fx满足：fx+yfx+fy=fxfy，且fx在-∞,0上单调递减，f1=1，则下列结论错误的是（ ）
A．f12=2B．i=12023f12i=22023-2
C．fx在定义域内单调递减D．fx为奇函数
68.（多选） （2024·山西晋城·二模）已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的x,y∈R，都有fxy=xfy+yfx，若f2=2，则下列说法正确的是（ ）
A．f(1)=0B．f(x)的图象关于y轴对称
C．i=12024f2i=2023×22025+2D．i=12024f2i=2024×22026+2
69. （2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知fx=1-x2,-1≤x≤1fx-2,x>1，若直线y=knx与fx有2n个交点n∈N*，则k12+k22+⋯+kn2= .
70. （23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数fx的定义域为R，且f4x+1的图象关于点0,2中心对称，若f2+x-f2-x+4x=0，则i=1100fi= .
15数列与函数导数结合
71. （2024·甘肃·一模）已知函数fx=sinxex（e为自然对数的底），x∈[0,+∞)，记xn为fx从小到大的第n个极值点，数列an的前n项和为Sn，且满足an=fxn，则S2024=（ ）
A．2eπ-e-2023π2eπ41-eπB．21-e2024π2eπ41-eπ
C．2eπ-e-2023π2eπ4eπ+1D．21-e2024π2eπ4eπ+1
72. （多选）（2024·全国·模拟预测）记函数fnx的导函数为fn+1x，已知f1x=x2ex，若数列an，bn满足fnx=x2+anx+bnex，则（ ）
A．an为等差数列B．bn为等比数列
C．n=3501bn=4849D．8bn≤2an
73. （2024·全国·模拟预测）已知f(x)=eax-x-1，其中a∈R．
(1)当a=1时，证明：f(x)≥0；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(3)设n∈Z*，n≥2，证明：1+212+313+⋯+ n1n>n+ln(n+2)-ln3．
74. （2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知函数f(x)=lnx-axex．
(1)当a=1时，证明：f(x)有且仅有一个零点．
(2)当x>0时，f(x)≤x恒成立，求a的取值范围．
(3)证明：ln22+ln33+⋅⋅⋅+lnnn≤n-e(1-e-n)e-1(n≥2,n∈N*)．
75. （2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2na31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋮，其模可由向量模拓展为A=i=1nj=1naij212（其中aij为矩阵中第i行第j列的数，∑为求和符号），记作AF，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵A22=a11a12a21a22=2435，其矩阵模AF=i=1nj=1naij212=22+42+32+52=36.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)∀n∈N*，n≥3，矩阵Bnn=100⋯0020⋯0003⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯n，求使BF>35的n的最小值.
(2)∀n∈N*，n≥3，，矩阵Cnn= 1csθcsθcsθ⋯csθcsθ0-sinθ-sinθcsθ-sinθcsθ⋯-sinθcsθ-sinθcsθ00sin2θsin2θcsθ⋯sin2θcsθsin2θcsθ⋮⋮⋮⋮⋮⋮0000⋯(-1)n-2sinn-2θ(-1)n-2sinn-2θcsθ0000⋯0(-1)n-1sinn-1θ求CF.
(3)矩阵Dmn=lnn+2n+1 0 0⋅⋅⋅0lnn+1n22lnn+1n220⋅⋅⋅0⋮ln43n-1n-1ln43n-1n-1ln43n-1n-1⋅⋅⋅0ln32nnln32nnln32nn⋅⋅⋅ln32nn，证明：∀n∈N*，n≥3，DF>n3n+9.
76.(多选) （2023·江西·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较小部分a与较大部分b的比值等于较大部分b与整体部分a+b的比值，其比值为5-12，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（ ）
A．若椭圆Γ的焦点在x轴上，上顶点为B，右顶点为A，左焦点为F．小欧提出只要满足BF⋅BA=0，椭圆Γ的离心率就等于5-12
B．一顶角等于36°的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于5-12
C．假设n∈N*，小莱发现若公比大于0的等比数列an与著名的斐波那契数列的递推公式fn+2=fn+1+fn相同，则数列an的公比等于5-12
D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离a与柱高b满足lg4a=lg6b=lg9a+b，则ab=5-12
77. （多选）（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正四面体ABCD中，AB=2，P1，P2，…，Pn在线段AB上，且AP1=P1P2=⋯=Pn-1Pn=PnB，过点P1作平行于直线AC，BD的平面，截面面积为an，则下列说法正确的是（ ）
A．a1=1
B．an为递减数列
C．存在常数m，使1an+m为等差数列
D．设Sn为数列n+1n2an的前n项和，则Sn=2023506时，n=2023
78. （2023·湖南长沙·一模）如图，已知曲线C1:y=2xx+1(x>0)及曲线C2:y=13x(x>0)．从C1上的点Pnn∈N*作直线平行于x轴，交曲线C2于点Qn，再从点Qn作直线平行于y轴，交曲线C1于点Pn+1，点Pn的横坐标构成数列an0
79. （2024·河南·模拟预测）对于数列an，定义An=a1+3a2+⋯+3n-1an为数列an的“加权和”．设数列an的“加权和”An=n⋅3n，记数列an+pn+1的前n项和为Tn，若Tn≤T5对任意的n∈N*恒成立，则实数p的取值范围为（ ）
A．-167,-73B．-125,-73C．-52,-125D．-167,-94
80. （2024·北京石景山·一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：x∈0,1时，Rx=1q,x=pqp,q∈N*,pq为既约真分数0,x=0,1和0,1内的无理数．若数列an=Rn-1n,n∈N*，给出下列四个结论：
①an=1n；②an+2
命题预测
本专题考查类型主要涉及点为数列，其中包含了数列的单调性、不等式，数列与三角函数、集合、函数等的结合，也包含数列的放缩，新定义等。
预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。
高频考法
题型01数列不等式、单调性与最值性问题
题型02数列分奇偶问题
题型03数列新定义问题
题型04数列重新排序问题
题型05数列与三角函数结合
题型06数列中的周期性
题型07数列中插入项问题
题型08数列与放缩结合
题型09斐波那契数列问题
题型10数列与排列组合结合
题型11高斯函数问题
题型12数列与实际模型
题型13数列与集合新定义
题型14数列与函数结合
题型15数列与函数导数结合
数列的新定义问题，一般根据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项公式求法（如公式法、累加法、待定系数法等）求得数列通项公式和前n项和，最后再通项和前n项和的基础上讨论数列的性质.
数列型不等式问题的求解过程中常用到放缩法，一般有两种情况：一是先放缩，再求和；二是先求和，再放缩．常用的放缩技巧如下：
（1）对1n2的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况：①1n2<1n2-n=1n-1-1nn≥2；②1n2<1n2-1=121n-1-1n+1n≥2；③1n2<1n2-14=212n-1-12n+1．
（2）对12n的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况：
①12n>1n+n+1=n+1-n；②12n<1n+n-1=n-n-1n≥2．
（3）对12n-1的放缩，为12n-1≤12n-1．
解决以集合为背景的新定义问题，注意：根据集合定义式，确定集合中元素的特点
抽象函数表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据题目信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出f(-x),f(x)的关系式等.
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