湖北省云学新高考联盟学校2023-2024学年高二数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

这是一份湖北省云学新高考联盟学校2023-2024学年高二数学上学期10月联考试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了 若，则等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. 6B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出，从而求出模长.
【详解】，故.
故选：B
2. 一组数据按从小到大的顺序排列如下：，则该组数据的中位数与分位数之和等于（ ）
A. 36B. 37C. 38D. 39
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数和分位数的定义进行求解即可.
【详解】该组数据的中位数为16，
因为
所以该组数据分位数，
所以该组数据的中位数与分位数之和等于，
故选：C
3. 已知单位向量是平面内的一组基底，且，若向量与垂直，则的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用数量积的定义和性质即可得的值.
【详解】为单位向量且，
所以，，，
向量与垂直，所以，
即，
即，
解得.
故选:A
4. 过点与圆相切的两条直线垂直，则（ ）
A. B. -1C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的切线性质、正方形的判定定理进行求解即可.
【详解】，
设该圆的圆心为，半径为，设点为点，
如图所示：过与圆相切的直线为，切点为，
连接，显然，
由题意可知相切的两条直线垂直，
所以四边形是矩形，又因为，
所以四边形是正方形，
因此有，
故选：D
5. 已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线所过的定点，再根据时取得最小值结合圆的弦长公式即可得解.
【详解】直线，即，
令，解得，
所以直线过定点，
圆的圆心，半径，
因为，
所以点在圆内，
则圆心到直线的距离（时取等号），
所以（时取等号），
所以的最小值为.
故选：C.
6. 如图，在平行六面体中，，为中点，则点到直线的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理、空间向量数量积的运算性质和定义，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设，
因为，
所以，
，，
因为，
所以，
因此，
所以点到直线的距离为，
故选：D
7. 若点在圆上运动，为的中点．点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，点的运动轨迹为圆，两圆上动点距离最小值为圆心距减去两圆半径即可.
【详解】∵点在圆上运动，，
∴中点到圆心的距离为，
由圆的定义可知，点的运动轨迹为以，半径的圆，
又∵点在圆
∴的最小值为：.
故选：B.
8. 三棱锥中，，直线与平面所成的角为30°，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出辅助线，设，表达出其他边长，利用边长关系得到，进而求出三棱锥的体积最大值.
【详解】过点作⊥平面于点，连接，
则，
因为，所以，
设，则，
在平面上，且，
即，解得，
在中，，
即，解得，
综上，，
故三棱锥体积.
故选：D
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，下列说法正确的是（ ）
A. 为等腰三角形
B. 中，边上的中线所在的直线方程为
C. 重心的坐标为
D. 的重心到直线的距离为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据两点间距离公式、中点坐标公式、重心坐标公式，结合点到直线距离公式逐一判断即可.
【详解】A：因为，
所以，因此该三角形是等腰三角形，因此本选项正确；
B：中点的坐标为，
所以边上的中线所在的直线方程为，故本选项正确；
C：因为，
所以的重心的坐标为，即，所以本选项正确；
D：直线的方程为，
所以的重心到直线的距离为，所以本选项不正确，
故选：ABC
10. 如图，在正四棱柱中，为四边形对角线的交点，点在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（ ）
A. 直线与直线所成角的余弦值为
B. 点到平面距离为
C. 线段上存在点，使得平面
D. 正四棱柱外接球的表面积为
【答案】AB
【解析】
【分析】构建空间直角坐标系，向量法求线线角、点面距离，判断线面位置关系，根据正四棱柱外接球半径是体对角线的一半，应用球体表面积公式求表面积.
【详解】构建如下图示的空间直角坐标系，则，
所以，则，
所以直线与直线所成角的余弦值为，A对；
由，则，若是面一个法向量，
故，令，则，而，
所以点到平面的距离，B对；
由且，则，显然不可能与平行，C错；
由正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半，即为，故外接球的表面积为，D错.
故选：AB
11. 某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A. 均值为6.2B. 均值为7.2
C. 方差为19.56D. 方差为20.56
【答案】BC
【解析】
【分析】利用平均数公式和总体方差与部分方差的公式进行求解.
【详解】AB选项，三所学校的学生文学经典名著的均值为
，A错误，B正确；
CD选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为
，
C正确，D错误.
故选：BC
12. 在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，下列说法正确的是（ ）
A. 点到直线的距离最大值是
B. 过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点
C. 的最小值为
D. 的最小值为10
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，求出直线的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质即可判断；
对B，设为直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，
先求出切点所在圆的方程，再与圆的方程联立作差，得到直线的方程，即可求其定点,即可判断；
对C，利用三角代换转化为三角函数，通过三角函数求最值即可判断；
对D，利用转化思想，结合点在圆上，探求一定点，利用三点共线时取最值，即可判断.
【详解】由圆的方程可得，圆心，半径，
由得，，所以直线的方程为，
即，
对选项A，圆心到直线的距离为：，
所以点到直线的距离最大值是，故选项A错误；
对选项B，设为直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，连接，如图所示：
由直线与圆相切性质可知：，
所以在以为直径的圆上，其圆心为的中点，设为，
设，
所以，，
半径为，
所以所在圆的方程为：，
整理得，
将圆与圆的方程联立，
作差得直线的方程，
因为点在直线上，
所以， ，
代入直线的方程得，
整理得，
所以解得，
所以直线恒过定点，故选项 B正确；
对选项C，由在上，
所以可设，
所以，，
所以，
化简可得，，
即，
所以，其中，
故当时，的最小值为，故选项C正确；
对选项D，，
设存定点，使得点在圆上运动时均有，
设，则有，
化简可得，①
又因为，即，②
②代入①化简可得，
即，
所以，所以，
因为，当三点共线，且在线段上时，，
所以，
所以的最小值为10，故选项D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分．
13. 甲､乙､丙三人参加一次面试，他们通过面试的概率分别为，所有面试是否通过互不影响．那么三人中恰有两人通过面试的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据事件独立性和互斥性直接计算求解即可.
【详解】三人中恰有两人通过面试，可能情况为甲和乙通过、丙未通过；甲和丙通过、乙未通过；乙和丙通过、甲未通过.
根据事件互斥性可知所求概率为.
故答案为：
14. 已知点在曲线上运动，则的最大值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】曲线以原点为圆心，2为半径的上半圆，表示上半圆上的点与连线的斜率，作出图形，可知当直线与半圆相切时的斜率即得结果.
【详解】变形为，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，
如图，

在上半圆上，表示点与连线的斜率，
由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，
设直线与半圆相切时直线斜率为，直线方程，即，
因此，解得（由图舍去），
所以的最大值为.
故答案为：
15. 正方体棱长为为平面的中心，点在侧面内运动且，则最小值是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式，结合空间两点间距离公式进行求解即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
，
因为为平面的中心，所以，
，
因为，
所以，
，
当时，有最小值，
故答案为：
【点睛】关键关键：本题的关键是建立空间直角坐标系，利用配方法.
16. 若非零实数对满足关系式，则__________．
【答案】或
【解析】
【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.
【详解】由，
可得，
可以看成点到直线的距离，
可以看成点到直线的距离，
因为，
所以.
因为，，
所以当点，在直线同侧时，直线与直线平行，
当点，在直线异侧时，，关于直线对称，
因为直线的斜率，
直线的斜率为，
所以或，
所以或.
故答案为：或.
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知直线过点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程
（2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；
（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.
【小问1详解】
因为直线与直线垂直，
所以可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为
【小问2详解】
当直线过原点时，直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或
18. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求外接圆半径.
（2）求周长的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合余弦定理即可求解.
（2）由余弦定理结合基本不等式，即可求得周长的最大值.
【小问1详解】
设外接圆半径为，
因为，,，
所以，则，
即，整理得，
所以由余弦定理可得，，
因为，所以，
故外接圆半径.
【小问2详解】
因为，
所以，即，
又因为，，
所以，即，当且仅当等号成立.
又因为，，
故的周长的最大值为．
19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点．

（1）求证：平面；
（2）若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设为中点，连接，证明即可；
（2）利用向量法求出两个平面的法向量，再利用平面与平面的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
设为中点，连接，
又分别是中点，
所以，，
又底面是正方形，
所以，，故四边形为平行四边形，则，
由平面平面，则平面.
【小问2详解】
由题意知，以为原点，构建空间直角坐标系，

令，则，
所以，
所以，
令为平面的一个法向量，则，
令，即，
令为平面的一个法向量，则，
令，即，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值．
20. 已知定点，点B为圆上的动点．
（1）求AB的中点C的轨迹方程：
（2）若过定点的直线与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设，由中点坐标公式得出点的坐标，代入，即可得到的轨迹方程；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心距，半径，半弦长的关系，即可求解.
【小问1详解】
设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
化简得，
故的轨迹方程为．
【小问2详解】
由圆 可得，圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，
所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，故圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或．
21. 为了模拟“田忌赛马”故事中，双方的对阵情况．甲､乙分别拥有3张写有数字的卡片，甲的3张卡片上的数字分别为．乙的3张卡片上的数字分别为，已知．他们按“田忌赛马”故事中规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲､乙各出示1张卡片，比较卡片上的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片．他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时双方都不知道对方所出示的卡片上的数字，三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较大的一方获得胜利．
（1）若甲，乙二人按照“田忌赛马”故事中双方第一次对阵出牌，即第一次甲出示的卡片上写有数字X，乙出示的卡片上写有数字z，后两次则任意出牌，求甲最终获得胜利的概率：
（2）记事件A=“第一次甲出示的卡片上的数字大”，事件B=“乙获得胜利”，计算事件A和B的概率，并说明事件A与事件B是否相互独立．
【答案】（1）
（2），，事件与事件不独立．
【解析】
【分析】（1）根据互斥事件与独立事件概率公式求解即可；
（2）确定事件的样本空间，利用古典概型计算即可.
【小问1详解】
由于第一次甲出示的卡片上的数字较大，故第二次或第三次甲出示的卡片上的数字必须较大才能获得胜利，即要对，甲才能获得胜利．
所以甲获得胜利为事件，则．
【小问2详解】
在第一次出示的卡片中，样本空间为第一次双方出示的卡片上的数字匹配情况，则
所以．
记，，
则三次出示卡片甲､乙卡片上数字匹配情况的样本空间为
B=“乙获得胜利"，则，所以．
．故事件与事件不独立．
22. 在平面直角坐标系中，圆为过点的圆．
（1）求圆的标准方程：
（2）过点作直线，交圆于两点，不在轴上．
①过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的取值范围：
②设直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程：若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②点在定直线上.
【解析】
【分析】（1）设出圆方程，代入求解即可；（2）直线的方程为，分与两种情形讨论，，即计算弦长即可得；（3）联立直线与圆的方程，进而求解直线，求出点G横坐标，化简即可.
【小问1详解】
设圆的标准方程为
圆的标准方程为
【小问2详解】
设直线的方程为，即．则圆心到直线的距离
（i）若，则直线为轴，此时，
则，
若，则直线为，即．
则圆心到直线的距离
，当且仅当时取等
综上所述：
（ii）设，联立方程组可得：
直线方程为，直线方程为，联立可得的横坐标
由①可知
点在定直线上.