湖北省云学名校新高考联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省云学名校新高考联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：2024年4月23日14：3016：30时长：120分钟满分：150分
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2.“是第一象限角”是“”的( )条件
A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要
3.已知复数,其中为虚数单位,,若为纯虚数,则复数在复平面内对应的点在第( )象限
A.一B.二C.三D.四
4.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中有两解的是( )
A.B.
C.D.
5.若,且,则下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
6.已知定义在上的奇函数满足,当时,,则( )
A.-1B.-2C.1D.2
7.计算下列各式的值,其结果为2的是( )
A.B.
C.D.
8.已知函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.B.的图象关于直线对称
C.在上的单调递增区间为
D.在内有3个最大值点,则
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知平面向量,则下列命题正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则在上的投影向量的坐标为
D.若与的夹角为锐角,则的取值范围为
10.如图,摩天轮的半径为50米,摩天轮的中心点距离地面的高度为55米,摩天轮匀速逆时针旋转,每24分钟转一圈,摩天轮上点的起始位置在最高点处,下列结论正确的是( )
A.经过12分钟,点首次到达最低点B.第16分钟和第32分钟点距离地面一样高
C.从第28分钟至第40分钟点距离地面的高度一直在降低
D.摩天轮在旋转一周的过程中,点有8分钟距离地面的高度不低于80米
11.已知函数在区间内有两个零点,则下列结论正确的是( )
A.当时,B.
C.D.
三、填空题:本题共3小题,每小題5分,共15分.
12.已知都是锐角,,则______________.
13.已知正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点,为边CD的中点,为线段AB上的动点,则的最小值为______________.
14.在中,,则______________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数.
(1)若在上单调递减,求的取值范围;
(2)若,解不等式.
16.(15分)
已知分别为的三个内角的对边,且的面积.
(1)求角的大小;
(2)若,且,求.
17.(15分)
设虚数是实数,且.
(1)求|z|的值以及的实部的取值范围;
(2)若,求的最小值.
18.(17分)
如图,已知均为等边三角形,的边长为分别为的中点.
(1)用基底表示向量;
(2)延长AD与BC交于点,延长AE与BC交于点,求.
19.(17分)
已知函数.
(1)求的对称中心;
(2)将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度,然后保持各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象.
(i)求的值域;
(ii)当时,恒成立,求实数的取值范围.
2024年云学名校联盟高一年级4月期中联考
数学试题评分细则
一、单选题(每小题5分,共40分)
第1题提示:如图易得答案.
第2题提示:若是第一象限角,由正弦函数的定义易得;但是若,则是第一、二象限角,即是第一象限角是第一象限角.
第3题提示:,若为纯虚数,则,即,则在复平面内对应的点为.
第4题提示:A项是解AAS类型的三角形,有唯一解;B项解SAS类型的三角形,也是唯一解;C项是解SSA类型的三角形,角为针角,也是三角形的最大角,对应三角形最大边,但是,故该三角形无解;D项是解SSA类型的三角形,,此三角形有两解。
第题提示:由易得C项正确,其余各项举反例判断错误即可.
第6题提示:由已知可得的对称中心和对称轴,进而得到周期为4,.
第7题提示:;
B:;
C:由,得,故
D:
第8题提示:由图象可得.
对于C项:在的单调递增区间为和;
对于项:当时,,所以,所以.
二、多选题(每小题6分,共18分.第9题选对一个得3分,两个都对得6分;第10题和第11题选对一个得2分,选对两个得4分,三个都对得6分,有错则全错,得0分)
第9题提示:若,则与的夹角为锐角的充要条件是.
第10题提示:点距离地面的高度得,而在上有减有增;令80,得.
第11题提示:等价于,所以;
对于项,设,作出单位圆,由三角函数定义可知,设扇形OAB的面积为,则,即,故；
对于项,画出且与的函数图象,的最小正周期为,由图象可知与之间的距离大于,即;
对于项:由图得,故,故;
对于D项,由,由图可知,均大于0,由C项知,又由B项知,所以,
综上.
三、填空题(每小题5分,共15分)
第12题提示:由已知易得.
第13题提示:(其中为EF中点)，画图可知，当时,PM有最小值,此时有最小值.
第14题提示:原式等价于,也即,所以(当且仅当时等号成立),
而,所以且,即;不妨设,由余弦定理可得,再由正弦定理可得.
填空题12-14评分细则:填空题按原评分细则给分。
四、解答题(第15题13分,第16题15分,第17题15分,第18题17分,第19题17分,共77分)
15.解:(1)依题意,且,………….4分
解得,即的取值范围是.(注:如果漏掉等号,扣1分)………….6分
(2)依题意,
即,从而有
(注:写对一个不等式得1分)………….9分
解得或,………….12分
即不等式解集为.………….13分
15题评分细则:
(1)在上单调递减
(漏等号扣1分)
4分6分
写成也可以不扣分
(2)当时，
得9分(每个式子1分)
写成扣2分
解立得分直接得集合，不写不扣分
综上，不等式解集为分
16.解:(1)由三角形面积公式,得,……………2分
再由正弦定理得……………..4分
所以,可得,6分所以.……………..7分
(2)由余弦定理,
得7,……………..9分
即,……………分
又,所以,……………分
联立上面两个式子可得或……………分
16题评分细则:按参考答案的评分细则给分。
17.解:(1)依题且为实数,所以,得,即.……………..3分
此时,……………分
又,得,即的实部的取值范围是.…………….7分
(2)由已知得
,……………分
由于,故,……………13分
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为1. ……………15分
17题评分细则:
解:(1)依题……………1分
且为实数, ……………3分
所以,得,即.……………4分
此时,……………5分
又,得,即的实部的取值范围是.……………7分
注:无与有关的说明扣1分
(2)由已知得
…………10分
由于,故,…………13分
当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为1. ………15分
18.解:(1)
则,所以.…………9分
(2)由已知三点共线,可设,则,
又三点共线,所以,得,
所以,即为BC上靠近得三等分点,
…………12分
由已知三点共线,可设,则
又三点共线,所以,得,
故,……………………15分
所以,
所以………17分
18题评分细则:
解:(1)
则,所以.………19分
(2)由已知三点共线,可设,则,又M,B,C三点共线,所以,得,
所以,即为BC上靠近得三等分点, ………12分
由已知三点共线,可设,则
又三点共线,所以,得,
故,………15分
所以,
所以………17分
19.解:(1)
,………2分
令,得,
所以的对称中心为………4分
(2)由已知可得,………6分
令,则,其对称轴为,
故当时,;当时,,
所以函数的值域为………10分
(ii)原不等式等价于
也即
即恒成立
①当时,恒成立,显然成立,故符合题意; ………11分
②当时,令,由可得,
此时,
所以,
当且仅当且即时等号成立, ………13分
所以的最小值为,
若要满足不等式恒成立则,得,
则;………14分
③当时,同理可得,
当且仅当且即时等号成立,
所以的最小值为2a,
若要满足不等式恒成立则,得,
则;………16分
综上所述,的取值范围为.………17分
19题评分细则:按参考答案的评分细则给分。题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
C
B
C
D
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
ABD
题号
12
13
14
答案