湖北省云学新高考联盟学校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题

2023年云学新高考联盟学校高二年级10月联考

数学试卷

考试时间：2023年10月18日14：30~16：30

时长：120分钟 满分：150分

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若，则（    ）

A.6    B.    C.    D.7

2.一组数据按从小到大的顺序排列如下：，则该组数据的中位数与分位数之和等于（    ）

A.36    B.37    C.38    D.39

3.已知单位向量是平面内的一组基底，且，若向量与垂直，则的值为（    ）

A.    B.    C.1    D.-1

4.过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ）

A.    B.-1    C.1    D.

5.已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（    ）

A.    B.2    C.    D.4

6.如图，在平行六面体中，，

为的中点，则点到直线的距离为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.若点在圆上运动，为的中点.点在圆上运动，则的最小值为（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

8.三棱锥P-ABC中，，直线PA与平面ABC所成的角为30°，直线PB与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，下列说法正确的是（    ）

A.为等腰三角形

B.中，边上的中线所在的直线方程为

C.的重心的坐标为

D.的重心到直线的距离为

10.如图，在正四棱柱中，为四边形对角线的交点，点在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（    ）

A.直线与直线所成角的余弦值为

B.点到平面的距离为

C.线段上存在点，使得平面

D.正四棱柱外接球的表面积为

11.某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本.其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（    ）

A.均值为6.2    B.均值为7.2

C.方差为19.56    D.方差为20.56

12.在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，下列说法正确的是（    ）

A.点到直线的距离最大值是

B.过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点

C.的最小值为

D.的最小值为10

三､填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分.

13.甲､乙､丙三人参加一次面次，他们通过面试的概率分别为，所有面试是否通过互不影响.那么三人中恰有两人通过面试的概率是__________.

14.已如点在曲线上运动，则的最大值为__________.

15.正方体棱长为为底面的中心，点在侧面内远动且，则最小值是__________.

16.若非零实数对满足关系式，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.已知直线过点.

（1）若直线与直线垂直，求直线的方程

（2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程.

18.已知的内角的对边分别为，且.

（1）求外接圆半径：

（2）求周长的最大值.

19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点.

（1）求证：平面；

（2）若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.

20.已知定点，点B为圆上的动点.

（1）求AB的中点C的轨迹方程：

（2）若过定点的直线与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线的方程.

21.为了模拟“田忌赛马”故事中，双方的对阵情况.甲､乙分别拥有3张写有数字的卡片，甲的3张卡片上的数字分别为.乙的3张卡片上的数字分别为，已知.他们按“田忌赛马”故事中规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲､乙各出示1张卡片，比较卡片上的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片.他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时双方都不知道对方所出示的卡片上的数字，三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较大的一方获得胜利.

（1）若甲乙二人按照“田忌赛马”故事中双方第一次对阵出牌，即第一次甲出示的卡片上写有数字X，乙出示的卡片上写有数字z，后两次则任意出牌，求甲最终获得胜利的概率：

（2）记事件A=“第一次甲出示的卡片上的数字大”，事件B=“乙获得胜利”，计算事件A和B的概率，并说明事件A与事件B是否相互独立.

22.在平面直角坐标系中，圆为过点的圆.

（1）求圆的标准方程：

（2）过点作直线，交圆于两点，不在轴上.

①过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的取值范围：

②设直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程：若不是，说明理由.

2023年云学新高考联盟学校高二年级10月联考

数学试卷参考答案

1.B    2.C    3.A    4.D    5.C    6.D    7.B    8.D

9.ABC    10.AB    11.BC    12.BCD

13.    14.    15.    16.或

17.（1）因为直线与直线垂直，

所以可设直线的方程为，

因为直线过点，所以，解得，

所以直线的方程为.

（2）当直线过原点时，直线的方程是，即.

当直线不过原点时，设直线的方程为，

把点代入方程得，所以直线的方程是.

综上，所求直线的方程为或.

18.（1）因为，注意到且结合正弦定理

有，整理得，

所以由余弦定理可得

.故外接圆半径

（2）

又，即

的周长的最大值为.

19.【详解】（1）若为中点，连接，又分别是中点，

所以，又底面是正方形，

所以，故四边形为平行四边形，则，

由面面，则平面

（2）由题意知，以为原点，构建空间直角坐标系，

令，则，

所以，

令为面的一个法向量，则，

令，即

令为面的一个法向量，则，令，即

，

所以，

即面与面夹角的余弦值.

20.（1）设点的坐标为，则点的坐标为

点为圆上的动点

化简得，

故的轨迹方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

因为半径，故圆心到直线的距离，

由点到直线的距离公式得，解得，

直线的方程为，即，

故直线的方程为或.

21.（1）由于第一次甲出示的卡片上的数字较大，故第二次或第三次甲出示的卡片上的数字必须较大才能获得胜利，即要对，甲才能获得胜利.所以甲获得胜利为事件，则

.

（2）在第一次出示的卡片中，样本空间为第一次双方出示的卡片上的数字匹配情况，

则

所以.

记，

，则三次出示卡片甲､乙卡片上数字匹配情况的样本空间为“乙

获得胜利"，所以.

.故事件与事件不独立.

22.（1）设圆的标准方程为

圆的标准方程为

（2）设直线的方程为，即.则圆心到直线的距离

（i）若，则直线为轴，此时，

则

若，则直线为，即.

则圆心到直线的距离

，当且仅当时取等

综上所述：

（ii）设，联立方程组可得：

直线方程为，直线方程为，联立可得的横坐标

由①可知

点在定直线上