湖北省云学名校新高考联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学A卷试题（Word版附解析）

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命题学校：黄冈中学命题人：胡小琴 郑齐爱 审题人：襄阳五中 曹标平 咸宁高中 陈小燕
考试时间：2024年5月20日14:30-16:30 时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 计算的值为（ ）．
A. 1B. 0C. 20D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】结合公式，进行求解．
【详解】计算得．
故选：D．
2. 已知等差数列，等比数列，满足，，则（ ）．
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列和等比数列的性质计算即可得出结果.
【详解】数列是等差数列，，可得，即，
数列是等比数列，，可得，可得，
则．
故选：B．
3. 已知函数，则（ ）．
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意先求出，所以，对原函数求导，求解出即可.
【详解】由题意得，且，
从而.
故选：A.
4 设随机变量，已知，则（ ）
A. 0.95B. 0.05C. 0.975D. 0.425
【答案】A
【解析】
【分析】服从标准正态分布，利用标准正态分布的对称性可求得其概率．
【详解】.
故选：A.
5. 的展开式中含项的系数为（ ）．
A. B. C. 50D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】求出二项式展开式的通项，再分析指数情况求出含项的系数.
【详解】的展开式通项为，令，3，
得的展开式中含项的系数为．
故选：D
6. 设某批产品中，由甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占，，，已知甲、乙车间生产的产品的次品率分别为，.现从该批产品中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的，由全概率公式求.
【详解】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的，
则，，,,，.
由全概率公式：.
即，.
故选：A
7. 在数学中，自然常数．小布打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到密码．如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（ ）．
A. 30B. 32C. 36D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①排在最后一位；②不排在最后一位 ，由加法计数原理计算即可.
【详解】根据题意，分两种情况：
①2排在最后一位，
则倒数第二位也是2，再从剩下4个位置选出2个，安排两个8，最后安排7和1，
此时有个不同的密码；
②2不排在最后一位，
则倒数第一位安排7或1，将两个2看成一个整体，与两个8和7或1中剩下的数排列，
此时有个不同的密码；
则一共有个不同的密码．
故选：C．
8. 已知函数，对任意，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件构造新函数，再由函数的单调性，求出a的取值范围.
【详解】当时，易知函数在上是增函数，
不妨设，则．
由，所以．
所以，即．
设，则在区间上是减函数．
所以在时恒成立，
因为，所以在时恒成立，
即在时恒成立，即．
而在区间上是增函数，所以的最大值为，所以，
又，所以．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9. 已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若是正项数列，则是单调递增数列
B. ，，一定是等比数列
C. 若存在，使对都成立，则是等差数列
D. 若存在，使对都成立，则是等差数列
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，设出公比，得到方程，结合是正项数列，得到公比，得到是单调递增数列；B选项，举出反例；C选项，根据对都成立，得到，从而得到为常数列，为公差为0的等差数列；D选项，结合C选项，得到当为偶数时，，为奇数时，，D错误.
【详解】A选项，设公比为，故，解得或，
若是正项数列，则，，故，故是单调递增数列，A正确；
B选项，当且为偶数时，，，均为0，不合要求，B错误：
C选项，若，则单调递增，此时不存在，使对都成立，
若，此时，故存在，使得对都成立，
此时为常数列，为公差为0的等差数列，C正确；
D选项，由C选项可知，，故当为偶数时，，
当为奇数时，，显然不等差数列，D错误.
故选：AC.
10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）．
A. 四名同学的报名情况共有64种
B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有36种
C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，根据分步乘法计数原理得到A错误；B选项，将四名志愿者分为2，1，1三组，由分步乘法计数原理得到共有36种；C选项，分两种情况，有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个和每2个人报名了1个项目，分别计算出项目数，相加得到答案；D选项，先计算出和，利用条件概率求解公式得到答案.
【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，
由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确；
对于C，四名同学最终只报了两个项目，若有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个项目，
此时有种情况，
若每2个人报名了1个项目，此时有种情况，
综上，共有种情况，
“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；
对于D，事件A：先从4名同学选出2人，组成一组，再进行全排列，
故，
事件：甲同学1人报名‘关怀老人’项目，剩余3人分为2组，和剩余的2个项目进行全排列，
故，
所以，D正确．
故选：BCD．
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. 若在R上单调递增，则
B. 若，则过点能作两条直线与曲线相切
C. 若有两个极值点，，且，则a的取值范围为
D. 若，且的解集为，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A.由导数和单调性的关系，转化为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解；B.首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程，转化为关于切点的方程有2个实数根，利用导数以及零点存在性定理，即可判断；C.转化为导函数有2个零点，利用数形结合，即可求解；D.首先求解不等式，再将转化为关于的式子，即可求解.
【详解】对于A，对求导得：，
因为函数在R上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，记，则，
因为，当时，，即函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项A正确；
对于B，时，，，
设图象上一点，则，
故过点的切线方程为，
将代入上式得，整理得，
构造函数，则，
构造函数，则，
令得，令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以函数单调递增，
又，，
即方程在区间仅有一解，从而在R上也仅有一解，
所以过点只能作一条直线与曲线相切，B选项错误；
对于C，因为函数有两个极值点，，
所以有两个零点，，即方程有两个解为，，
记，因为，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值，
方程有两个解为，等价于与图像有两个不同公共点，
所以，所以，C选项正确；
对于D，由，得，等价于，即，
当时，，，又，故，所以，
当时，，无解，
故的解集为，
此时，
当时，，，从而D错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题前3个选项都是利用导数解决函数问题，尤其是BC选项，属于函数零点问题，B选项转化为判断零点各数，C选项是已知零点个数，求参数的取值范围.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，且期望，则方差__________．
【答案】2.1
【解析】
【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据二项分布的方差公式即可得解.
【详解】因为随机变量，
所以，解得，
所以．
故答案为：.
13. 若定义域都为R的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则__________．
【答案】2024
【解析】
【分析】对两边同时求导导数得，再利用赋值法与累加法即可得解.
【详解】对，两边同时求导导数得，
则，，，，
从而．
故答案为：2024
14. 各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）．
【答案】56
【解析】
【分析】转化为隔板法，解决问题.
【详解】设，，，对应个位到千位上的数字，则，
且，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1，
先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空），
故共有种．
故答案为：56．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知一个袋内有4只不同的红球，5只不同的白球．
（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，现从袋中任取5只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于8分的取法有多少种？（用数字作答）
（2）在条件（1）下，当总分为8分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答）
【答案】（1）45 （2）480
【解析】
【分析】（1）设取出个红球个白球，依题意可确定或，再由组合数公式计算可得；
（2）总分为分，则取的个数为红球个，白球个，先将球取出，再利用插空法排列，按照分步乘法计数原理计算可得.
【小问1详解】
设取出个红球个白球，依题意可得，
因为，所以或，
∴符合题意的取法种数有种．
【小问2详解】
总分为分，则取的个数为红球个，白球个，将取出的球排成一排分两步完成，
第一步先取球，共有种，
第二步再排，先把个白球全排列，再将个红球插空，共有，
根据分步乘法计数原理可得不同排法有种．
16. 在的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列．
（1）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；
（2）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）,
（2）；；
【解析】
【分析】（1）借助等差中项的性质与二项式展开式的通项公式计算可得，再借助二项式系数的增减性与赋值法即可得解；
（2）借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【小问1详解】
展开式的通项公式为，
因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为，，，
所以，即，所以，（或舍去）
因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，
即，
令得，即展开式各项系数和为；
【小问2详解】
由，则，，，
令，∴，4，8，即当、4、8时对应的项为有理项，
所以所有有理项为：；；．
17. 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；
（3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）所以，，．
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）由题意可知X的所有取值，再利用古典概型的概率公式求出相应概率，进而得出分布列，再结合期望公式求解即可；
（3）由题意可知，，再结合二项分布的数学期望求解.
【小问1详解】
设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A，
所以．
【小问2详解】
因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以X的分布列为：
所以X的数学期望为．
【小问3详解】
由题意可知，，，
所以，，
所以．
18. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既等差数列，又是等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得到，求出公比和公差，得到数列和的通项公式；
（2）法1：利用错位相减法求和得到，变形得到，构造，作差得到，求出实数的取值范围；
法2：裂项相消法得到，变形得到，构造，作差得到，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，20，既是等差数列，又是等比数列，
故，20，的公差为0，公比为1，
所以．
又，设公差为d、公比为，
则，解得或（舍去），
所以，．
【小问2详解】
法1：由（1）可得，
所以，
，
所以
，
所以．
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以，…，
从而对，，所以，
即实数的取值范围为．
法2:：，
．
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以，…，
从而对，，所以，
即实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：数列单调性思路，作差法判断数列的单调性或看作函数，利用导函数得到单调性，本题利用作差法得到数列的单调性.
19. 已知函数，其导函数为．
（1）求函数的极值点；
（2）若直线是曲线的切线，求的最小值；
（3）证明：．
【答案】（1）函数的极小值点为，没有极大值点．
（2）e （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数判断函数单调性，即可求得函数的极值点.
（2）设切点，求出切线方程，求得，构造函数，利用导数求函数的单调性，从而求出的最小值.
（3）利用（1）的结论令，，可得，
利用累加法结合数列的裂项求和方法，即可证得结论.
【小问1详解】
定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的极小值点为，没有极大值点．
【小问2详解】
令，则，，
设切点为，则，，
则切线方程为，即，
又是曲线的切线方程，则，则，
令，，，，
令，所以时，， 时，，
在单调递减，在单调递增，
所以，即的最小值为e．
【小问3详解】
证明：由（1）可知，在单调递减，单调递增，
所以，则，
因为，则，当时取等号，
令，则，
因为，所以，
又因为，所以，
则，，…，，
累加后可得，
即．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是根据不等式，得出，利用累加法和裂项相消法证得结论.
时长t（小时）
人数
3
4
33
42
18
X
0
1
2
3
P