湖北省黄冈市云学名校联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学A卷试题（Word版附解析）

这是一份湖北省黄冈市云学名校联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学A卷试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题学校：黄冈中学命题人：胡小琴 郑齐爱 审题人：襄阳五中 曹标平 咸宁高中 陈小燕
考试时间：2024年5月20日14:30-16:30 时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算的值为（ ）．
A．1B．0C．20D．21
2．已知等差数列，等比数列，满足，，则（ ）．
A．B．C．2D．4
3．已知函数，则（ ）．
A．2B．1C．0D．
4．设随机变量，已知，则（ ）．
A．0.050B．0.425C．0.950D．0.975
5．的展开式中含项的系数为（ ）．
A．B．C．50D．10
6．设某批产品中，由甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占50％，30％，20％，已知甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3％，5％．现从该批产品中任取一件，若取到的是次品的概率为3.8％，则推测丙车间的次品率为（ ）．
A．4％B．3％C．6％D．5％
7．在数学中，自然常数．小布打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到密码．如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（ ）．
A．30B．32C．36D．48
8．已知函数，对任意，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9．已知是等比数列，是其前n项和，，下列说法中正确的是（ ）．
A．若是正项数列，则是单调递增数列
B．，，一定是等比数列
C．若存在，使对都成立，则是等差数列
D．若对任意，总存在使成立，则可能是单调递减数列
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）．
A．四名同学的报名情况共有64种
B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种
C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．若在R上单调递增，则
B．若，则过点能作两条直线与曲线相切
C．若有两个极值点，，且，则a的取值范围为
D．若，且的解集为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机变量，且期望，则方差__________．
13．若定义域都为R的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则__________．
14．各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为__________（请用数字作答）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知一个袋内有4只不同的红球，5只不同的白球．
（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，现从袋中任取5只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于8分的取法有多少种？（用数字作答）
（2）在条件（1）下，当总分为8分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答）
16．（本小题满分15分）
在的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列．
（1）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；
（2）求展开式中所有的有理项．
17．（本小题满分15分）
某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；
（3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系。
18．（本小题满分17分）
已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前n项和，满足对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知函数，其导函数为．
（1）求函数的极值点；
（2）若直线是曲线的切线，求的最小值；
（3）证明：．
2024年云学名校联盟高二年级5月联考
数学评分细则
命题学校：黄冈中学 命题人：胡小琴 郑齐爱 审题人：襄阳五中 曹标平 咸宁高中 陈小燕
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
11．．【答案】D
【解析】计算得，故选D．
2．【答案】B
【解析】数列是等差数列，，可得，即，
数列是等比数列，，可得，可得，
则．故选B．
3．【答案】A
【解析】由题设得，，
从而．故选A．
4．【A卷】【答案】C
【解析】．故选C．
【B卷】【答案】C
【解析】由题意得：，
解得：．故选C．
5．【答案】D
【解析】的展开式通项为，令，3，
则的展开式中含项的系数为．故选D．
6．【答案】A
【解析】设丙车间的次品率为P，由题全概率公式知％％％，
解得％．故选：A．
7．【答案】C
【解析】根据题意，分两种情况：
①2排在第一位，则第二位也是2，再从剩下4个位置选出2个，安排两个8，最后安排7和1，
此时有个不同的密码；
②2不排成第一位，则第一位安排7或1，将两个2看成一个整体，与两个8和7或1中剩下的数排列，
此时有个不同的密码；
则一共有个不同的密码．故选C．
8．【答案】B
【解析】当时，易知函数在上是增函数，
不妨设，则．
由，所以．
所以，即．
设，则在区间上是减函数．
所以在时恒成立，
因为，所以在时恒成立，
即在时恒成立，即．
而在区间上是增函数，所以的最大值为，所以，
又，所以．故答案为：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分．
9．【答案】ACD
【详解】A中，，所以是单调递增数列，
B中反例当，n为偶数，，，为零的常数列，故B错；
C中，则是等差数列，C正确；
D中由题设，若，则是单调递减数列，故D正确．故答案为：ACD．
10．【答案】BCD
【详解】解：对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确；
对于C，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；
对于D，由已知有：，，
所以，D正确．故选：BCD．
11．【答案】AC
【解析】对于A，对求导得：，
因为函数在R上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，记，则，
因为，当时，，即函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项A正确；
对于B，时，，，
设图象上一点，则，
故过点的切线方程为，
将代入上式得，整理得，
构造函数，则，
构造函数，则，
令得，令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以函数单调递增，
又，，
即方程在区间仅有一解，从而在R上也仅有一解，
所以过点只能作一条直线与曲线相切，B选项错误．
对于C，因为函数有两个极值点，，
所以有两个零点，，即方程有两个解为，，
记，因为，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值，
方程有两个解为，等价于与图像有两个不同公共点，
所以，所以，C选项正确；
对于D，由，得，等价于，即，
当时，，，又，故，所以，
当时，，无解，故的解集为，
此时，
当时，，，从而D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】2.1
【详解】，则有，．
13．【答案】2024
【详解】对，两边同时求导导数得，
则，，…，，
从而．故答案为：2024．
14．【答案】56
【详解】设，，，对应个位到千位上的数字，则，且，相当于6个相同的球排成一排，先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空），故共有种．故答案为：56．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15．解：（1）设取出x个红球y个白球，，
因为，所以或，（2分）
∴符合题意的取法种数有种．（6分）
（2）总分为8分，则取的个数为红球3个，白球2个，将取出的球排成一排分两步完成，第一步先取球，共有种，第二步再排，先把两个白球全排列，再将3个红球插空，共有，
根据分步乘法计数原理可得，4种．（13分）
【只回答的给到9分】．
【评分细则】15题．所以或．（2分）（到这一步给2分）
16．解：（1）展开式的通项为，
因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为，，，
所以，即，所以．（或舍去）．（3分）
因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，（4分）
即．（6分）
令得，即展开式各项系数和为．（8分）
（2）由（1）知通项公式：，，，欲求有理项，令，∴，4，8，即当=、4、8时对应的项为有理项，（12分）
所以所有有理项为：；；．（15分）
【评分细则】16．（1）展开式的通项为，（1分）
因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为，，，
所以，即，所以．（或舍去）．（3分）
因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，（4分）
即．（6分）
此处只写出第5项二项式系数最大，没有写结果，扣1分。
令得，即展开式各项系数和为．（8分）
此处学生把展开式中所有项的都加起来得到的结果正确不扣分，结果不正确不得分．
（2）由（1）知通项公式：，，，（9分）
欲求有理项，令，∴，4，8，即当、4、8时对应的项为有理项，（12分）
所以所有有理项为：；（13分）
；（14分）
（15分）（漏一个扣1分）
17．解：（1）设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A，
所以．（3分）
（2）因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以X的分布列为：
（8分）
所以X的数学期望为．（10分）
（3）由题意可知，，，（13分）
所以，，
所以．（15分）
【评分细则】17题严格要求原评分细则给分。
18．解：（1）因为，20，既是等差数列，又是等比数列，
所以．（2分）
又，设公差为d、公比为，
则，解得或（舍去），
所以，．（7分）
（2）由（1）可得，
所以，解法一（错位相减法），
，
所以
，
所以．（11分）
解法二（裂项相消法），
．（11分）
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，（12分）
令，则，
所以，…，（16分）
从而对，，所以，
即实数的取值范围为．（17分）
19．解：（1），，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的极小值点为，没有极大值点．（4分）
（2）令，则，，
设切点为，则，，
则切线方程为，即，
又是曲线的切线方程，则，则，（7分）
则令，，，，
令，所以时，，为单调递增函数；
时，，为单调递减函数；
所以，即的最小值为e．（10分）
（3）证明：由（1）可知，，即，
当时取等号，令，
则，所以，（14分）
又，所以，
所以，，…，，
累加后可得，
即，
即．（17分）
【评分细则】
19.（1）的导函数求对了，可得1分；
第一问没有指出函数的单调性而直接说明极值点，扣一分；
第一问的结论中没有指出：无极大值点，要扣一分；
第一问只求了极值，而没有指明相应的极值点，扣一分。
（2）求出，到这里可得到7分，其他按评分标准。
（3）第三问另解，如果把看成数列的前n项和，可求出当时，，（12分）（下面的细节跟原评分标准相同），
（第三问，也可以用分析法来书写，请老师酌情给分）
时长t（小时）
人数
3
4
33
42
18
X
0
1
2
3
P