湖北省云学名校新高考联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省云学名校新高考联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A．－1B．1C．2D．4
2．已知数列满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆和点，若过点的5条弦的长度构成一个等差数列，则该数列公差的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况．
A．54B．72C．78D．84
5．如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ）
A．66B．120C．165D．220
6．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分又不必要
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列，其前项和记为，则下列说法不正确的是（ ）
A．若是等差数列，且，则
B．若是等差数列，且，则
C．若是等比数列，且为常数，则
D．若是等比数列，则也是等比数列
10．关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为1B．存在无理项
C．常数项为400D．的系数为－80
11．已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的极值点为
B．曲线与有且仅有两条公切线，并且斜率之积等于1
C．若时，则
D．若时，恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．今天是星期四，那么天后是星期______．
13．一个兵乓球从高的桌面上落下，每次反弹的高度都是原来高度的，则乒乓球至少在第______次着地时，它所经过的总路程会超过．
14．曲线在点处的切线方程为______；若当时，恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
编号为的三个除编号外完全相同的盒子里，分别装有3个红球，2个白球；3个黄球，3个白球；4个黑球，5个白球．（所有球除颜色外完全相同）
（1）现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子的条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？
（2）现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？
16．（本小题满分15分）
已知等差数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
17．（本小题满分15分）
已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若过原点可以作两条直线与函数的图象相切，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知数列的前项和为，且满足．数列的前项和为，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称夌克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数．
（1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
（2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
（3）已知，证明：．
2024年云学名校联盟高二年级4月期中联考
数学评分细则
1．B【解析】，故选B．
2．D【解析】，故选D．
3．C【解析】半径为，所以过点的最短弦长为6，最长弦长为10，从而公差，故选C．
4．C【解析】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次，甲不是第一名，乙不是最后一名，总共的情况有，故选C．
5．D【解析】前10项的和等于，故选D．
6．C【解析】可以理解成动点与动点的距离，结合与的图象，容易得到最短距离为，故选C．
7．B【解析】由“为递增数列”可以得到，解得，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件，故选B．
8．A【解析】，构造函数，利用函数单调性可得且；再构造函数，求导可得，所以在上单调递增，因为，所以，即，所以
，也即，综上：，故选A．
9．ACD【解析】A选项中，当等差数列是常数列时，由不能得到，所以A错；B正确；C选项中常数应该等于－2，所以C选项错；D选项中，当时，不是等比数列，所以D选项错，故选ACD．
10．AD【解析】：展开式的通项可以表示为
A．令，则即为各项系数之和，A正确；
B．展开式的通项公式中，所以不存在无理项，B错误；
C．常数项中的次数为0，则或或，则，C错误；
D．的系数即的系数之和，表示为，D正确，故选AD．
11．BCD【解析】：A．，显然在单调递增，而，所以在递减，在递增，所以该函数有极小值点1，极小值；所以A错误；B．的图象关于直线对称，则两条公切线关于直线对称，斜率之积为B正确；
C．令，则，令在单调递增，而使得即且在递减，在递增，，故C正确；
D．恒成立，则恒成立，构造函数，显然单调递增，则恒成立，即恒成立，可得，故D正确；所以选BCD．
12．三【解析】，所以除以7余6，故答案为：三．
13．7【解析】由题意得第次着地时经过的总路程为
，
，所以在第7次着地时它所经过的总路程会超过．所以答案为：7
14．【解析】，所以切线的斜率为2，切线方程为：．原不等式可化简为，令，由第一问可知恒成立，即恒成立，所以在上单调递增．
恒成立．解得：．答案为：．（第一空2分，第二空3分）
【评分细则】
填空题按原评分细则阅卷
15．A．解析：（1）设“选到2号盒子”，“摸到的两个球都是白球”
则
（2）设“先选到第号盒子”“摸出白球”，
则．，，．
即这个球来自2号盒子的概率为．
【评分细则】
15．A．解析：（1）设“选到2号盒子”，“摸到的两个球都是白球”
或者写了在选到2号盒子的条件下摸出的两个球都是白球的概率，只有，
（3）设“先选到第号盒子”“摸出白球”，
．，，．
即这个球来自2号盒子的概率为
15B．解析：（1）利用隔板法，共有；
（2）以甲同学共班情况分类：
当甲和另一名男生在同一个班时，共有种，
当甲和另一名女生在同一个班时，共有种；
所以分法总数为种．
16．解：（1）设等差数列的首项为，公差为．
因为，所以，
化简得，所以
所以数列的通项公式为
（2）
整理得
所以
整理得
【评分细则】
本题也可以分奇偶讨论，10分及之前部分评分标准相同，结果是：
17．解析：（1）
当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，或．
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
当时，或．
所以在和上单调递增，在上单调递减
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增
当时，在和上单调递增，在上单调递减
当时，在上单调递增．
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）设切点为，
则切线方程为
代入原点可得，
整理可得，
由题意可知方程有两个根，并且不是方程的根，
当时，方程化简为：，
令，
或且．
所以在和上单调递增，在和上单调递减．
由图象可知或，解得：或．
【评分细则】
17题按照原评分细则阅卷．
18．解析：（1）对于数列，当时，，解得；
当时，，
与原式作差可得，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以
对于数列，当时，，解得
时，；
与原式作差可得．．
因为，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以
（2）由（1）可知，所以
所以
两式作差可得，所以
所以恒成立．化简得．
当时，恒成立，
当时，恒成立，．
综上可得：．
【评分细则】
18题按照原评分细则阅卷．
19．解析：（1）记，则
显然，当时，关于的函数单调递减，
．
（2）令，则，恒成立，在递增，在递增在递增，即
（4）由题，，则，则
令，
易得在上递增，在上递减，从而
即当且仅当时取等号）
即
得证．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
C
D
C
B
A
ACD
AD
BCD