【期中真题】山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题.zip
展开青岛二中2022—2023学年第一学期期中考试
高三试题(数学)
命题人：孙晓红、程志、丁玲玲、刘美玲 审核人：董天龙
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有几四是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. 2 D. 5
2. 设非空集合若，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知公差为的等差数列中，、、成等比数列，若该数列的前项和则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知正数a，b，c满足成等差数列，则下列两条直线.的位置关系是（ ）
A. 垂直 B. 重合 C. 平行 D. 相交
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，平均数和方差都不变
B. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强
C. 在一个2×2列联表中，由计算得K²的值，则K²的值越小，判断两个变量有关的把握越大
D. 若 ，则
6. “角a与β的终边关于直线对称”是“”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知，，，，则（ ）
A B. C. D.
8. 已知椭圆 过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A，B两点，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当 取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题75分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符分题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知向量 则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 存在θ，使得
C. 与向量共线的单位向量是 D. 向量模的最大值是
11. 若点P是棱长为2的正方体表面上的动点，点M是棱的中点，则（ ）
A. 当点P在底面内运动时，三棱锥 的体积为定值
B. 当时，线段长度的最大值为4
C. 当直线AP与平面所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D. 直线DM被正方体 的外接球所截得的线段的长度为
12. 已知函数 ，若函数有四个不同的零点：，且，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______
14. 已知圆C:，直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则满足上述条件的直线l共有__________________条.
15. 已知.若曲线存在两条过点的切线，则的取值范围是___________.
16. 在三棱锥 中，底面ABC是边长为2的正三角形，，点M为的垂心，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求角B；
（2）已知点D在AC边上，且，求的面积.
18. 在①；②，，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知正项数列的前项和为，， ，数列满足 .
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和.
19. 某足球俱乐部在对球员的使用上总是进行数据分析,在2022年度赛季中,为了考查甲球员对球队的贡献度,现作如下数据统计:
| 球队胜 | 球队负 | 总计 |
甲参加 |
| 8 | 30 |
甲未参加 | 8 |
|
|
总计 |
| 20 |
|
（1）求r,s的值,据此能否有95%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;.
（2）根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为:0.3、0.5、0.1、0.1,当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为:0.4、0.2、0.6、0.2.则:
①当他参加比赛时,求球队某场比赛输球的概率;
②当他参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求乙球员担当前锋的概率;
③如果你是教练员,应用概率统计有关知识,该如何合理安排乙球员的参赛位置?
附表及公式:
P(K²≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6635 | 7.879 | 10.828 |
20. 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍” (如图2)。
（1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面；
（2）若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值.
21. 已知函数
（1）当时，求极值；
（2）若 且 恒成立，求实数a的取值范围.
22. 已知等轴双曲线 的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P 在第一象限，O是原点.
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）设面积分别为，求的取值范围.
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