山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则m的值是( )．
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2或 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线垂直，则 SKIPIF 1 < 0 计算即可.
【详解】解：因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 9B. SKIPIF 1 < 0 C. 1D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解.
【详解】因为空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
3. 直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是( )．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】分过直线原点和不过原点的两类情况作讨论即可求解.
【详解】若直线 SKIPIF 1 < 0 过坐标原点,则 SKIPIF 1 < 0 ,此时横纵截距都等于0,满足题意;
若直线 SKIPIF 1 < 0 不过坐标原点,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线过点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ,
故选:D.
4. 已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点B、C在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是( )．
A. SKIPIF 1 < 0 B. 6C. SKIPIF 1 < 0 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.
【详解】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 知，该椭圆的长半轴 SKIPIF 1 < 0 ，
A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，而点 SKIPIF 1 < 0 在BC边上，点B，C又在椭圆上，
由椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0
故选：D.
5. 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共点个数为( )．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个
【答案】D
【解析】
【分析】求直线过的定点，再判断直线与圆位置关系，
【详解】 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
故直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相切或相交，公共点个数为1个或2个，
故选：D
6. 已知大小为 SKIPIF 1 < 0 二面角 SKIPIF 1 < 0 棱上有两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为( )．
A. 22B. 49C. 7D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，通过线面垂直的判定定理可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出答案．
【详解】解：过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
故选：C．
7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 SKIPIF 1 < 0 ，若将军从点 SKIPIF 1 < 0 处出发，河岸线所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用点关于直线的找到最短距离，根据两点之间的距离公式即可求得.
【详解】由已知得 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
圆心 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，则最短总路程为 SKIPIF 1 < 0
故选：B
8. 已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆离心率的取值范围是( )．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆的性质可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得离心率的取值范围．
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与左右焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的连线，
由 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆及直线的对称性可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，又直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知空间中三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则( )．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. A，B，C三点共线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量的模的坐标表示即可判断A；判断 SKIPIF 1 < 0 是否成立即可判断B；根据 SKIPIF 1 < 0 即可判断C；判断向量 SKIPIF 1 < 0 是否共线即可判断D.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 不共线，则A，B，C三点不共线，故D错误.
故选：ABC.
10. 在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列选项正确的是( )．
A. SKIPIF 1 < 0
B. 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
C. 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
D. 存在实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】解：如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，又 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 四点共面，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 共面，
即存在实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：ABD．
11. 已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，则下列结论正确的是( )．
A. 直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 过A，B两点，且过点 SKIPIF 1 < 0 的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线的长度为 SKIPIF 1 < 0
D. 以线段AB为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】由圆与圆的位置关系，直线方程，圆的方程对选项逐一判断，
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，
对于B，设过A，B两点，且过点 SKIPIF 1 < 0 的圆的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误，
对于C， SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，
两圆半径相等，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，
对于D， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以线段AB为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：AD
12. 在平面直角坐标系xOy中，方程 SKIPIF 1 < 0 对应的曲线为E，则( )．
A. 曲线E是封闭图形，其围成的面积小于 SKIPIF 1 < 0
B. 曲线E关于原点中心对称
C. 曲线E上的点到原点距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D. 曲线E上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】对于选项B结合中心对称的概念即可判断；对于选项C，设曲线E上任意一点为 SKIPIF 1 < 0 ，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D，结合点到直线的距离公式即可判断；对于选项A，求出与直线 SKIPIF 1 < 0 平行且与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程，再根据曲线 SKIPIF 1 < 0 的对称性求出此直线与坐标轴围成图形的面积结合图形即可得解.
【详解】解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由此作出曲线E的图象，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
对于选项B，因为点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均满足方程，则可得到曲线 SKIPIF 1 < 0 关于原点中心对称，所以选项B正确；
对于选项C，设曲线E上任意一点为 SKIPIF 1 < 0 ，则其到原点的距离的平方为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点到原点距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对于选项D，由图可知曲线 SKIPIF 1 < 0 上到直线 SKIPIF 1 < 0 距离最小的点位于第一象限，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则其到直线 SKIPIF 1 < 0 距离 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
所以曲线E上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误；
对于选项A，设与直线 SKIPIF 1 < 0 平行且与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由曲线 SKIPIF 1 < 0 的对称性可得，
以 SKIPIF 1 < 0 四点为顶点的正方形的四条边与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，
这个正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线E是封闭图形，其围成的面积小于 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确.
故选：AB.
第Ⅱ卷(共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，确定斜边上中点坐标并求外接圆半径，即可写出 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的方程.
【详解】由题设易知： SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，故外接圆圆心是斜边的中点，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以斜边为 SKIPIF 1 < 0 ，则外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 的外接圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题知直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，曲线表示半圆，作出图像，数形结合即可求得答案．
【详解】解：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 是圆心为 SKIPIF 1 < 0 半径为1的上半圆， SKIPIF 1 < 0 为右顶点，如图所示，其中点 SKIPIF 1 < 0 为直线与曲线相切时的切点
由图可知，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有公共点时，直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切时，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由图可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点的椭圆标准方程是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设与已知椭圆焦点相同的椭圆的方程，将已知点的坐标代入，可得参数的值，求出椭圆的方程．
【详解】解：由题意设椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入， SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比 SKIPIF 1 < 0 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线以AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P是正方体的表面 SKIPIF 1 < 0 (包括边界)上的动点，若动点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P所形成的阿氏圆的半径为______；三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值是______．
阿波罗尼奥斯
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，即可得到点 SKIPIF 1 < 0 所形成的阿氏圆的半径；求出 SKIPIF 1 < 0 即为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 最大的高，然后利用三棱锥的体积公式求解即可．
【详解】解：以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 所形成的阿氏圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
则当 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 距离最大时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，
结合图形可知当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，即 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 最大的高，
SKIPIF 1 < 0
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上的一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)由向量的加减运算，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得答案.
(2)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积公式，即可求得结果.
【详解】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不共线，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)结合(1)可得：
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查了向量的加减运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于基础题目.
18. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点为P．
(1)若直线l经过点P且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，求直线l的方程；
(2)若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求△OAB的面积．(其中O为坐标原点)．
【答案】(1)4x－3y－3＝0
(2)30
【解析】
【分析】(1)联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案；
(2)由点斜式方程，设出直线方程，求得 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面积公式，可得答案.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点为P(－3，－5)．
由于直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故过点P且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即4x－3y－3＝0．
【小问2详解】
由题知：设直线m的斜率为k SKIPIF 1 < 0 ，则直线m的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
故△OAB的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
19. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
(2)取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，推导出 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，根据已知条件可求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的长，利用锥体的体积公式可求得四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【小问1详解】
证明：取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点，所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
在底面 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，从而四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
解：取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 是正三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．
在正三角形 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
则在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ．
四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
20. 如图，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴位于 SKIPIF 1 < 0 轴下方的端点，过 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上任意一点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由已知求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，得到直线方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标，把 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆方程可求；
(2)由椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，按坐标运算得 SKIPIF 1 < 0 可转换为关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，由 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
解：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所求椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
解：由椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值，并求此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 分别作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)讨论直线方程斜率不存在时，根据直线与圆相交弦长公式求弦长，检验是否符合；直线斜率存在时，设直线方程，根据直线与圆相交弦长公式，求出参数的值，即得直线的方程；
(2)设直线的方程，求出圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出弦长 SKIPIF 1 < 0 的表达式，代入面积公式中，由二次函数的最值求出其最大值，进而求出参数的值，求得直线的方程；
(3)设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆的方程，则线段 SKIPIF 1 < 0 为该圆与圆 SKIPIF 1 < 0 相交形成的相交弦，两圆方程作差可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，即可求得直线过定点.
【小问1详解】
解：圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，此时圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
则相交弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
此时圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则相交弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
所以此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解： SKIPIF 1 < 0 在圆外，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以弦长 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 最大，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为1，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0
设点 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ①
又 SKIPIF 1 < 0 ②，则线段 SKIPIF 1 < 0 为两圆相交弦，
故由①②得 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
22. 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，E，F分别是PC，PB上的动点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积；
(3)若E，F分别是PC，PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围．
【答案】(1)见解析 (2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)利用面面垂直的性质及判定定理即可；
(2)建立空间直角坐标系，确定球心坐标，可得球的半径大小即可求解；
(3)建立空间直角坐标系，利用向量表示出直线PQ与平面AEF所成角的正弦值即可确定范围.
【小问1详解】
因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC,
且平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面ABC,
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，过C 且垂直于平面ABC的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ,
所以设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心为 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以球心为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球的半径 SKIPIF 1 < 0 ,
所以外接球的体积 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
由E，F分别是PC，PB的中点，所以BC//EF，
由(1)知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 就是异面直线AF与BC所成的角,
因为异面直线AF与BC所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
又EF SKIPIF 1 < 0 平面AEF,BC SKIPIF 1 < 0 平面AEF,所以BC SKIPIF 1 < 0 平面AEF，
又BC SKIPIF 1 < 0 平面ABC，平面EFA SKIPIF 1 < 0 平面ABC=l,所以BC SKIPIF 1 < 0 l,
所以在平面ABC中，过点A作BC 的平行线即为直线l,
以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，过C 且垂直于平面ABC的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，设AC=2.
因为△PAC为正三角形，所以AE= SKIPIF 1 < 0 ，从而EF=2，
由已知E，F分别是PC,PB的中点，所以BC=2EF=4,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为BC SKIPIF 1 < 0 l，所以可设 SKIPIF 1 < 0 ，平面AEF的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 .