2022-2023学年山东省青岛市青岛第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省青岛市青岛第二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据韦恩图知阴影部分为，结合集合交补运算求集合即可.

【详解】由题图，阴影部分为，而或，且，

所以.

故选：D

2．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的奇偶性，利用奇偶性及在上函数值的范围判断作答.

【详解】函数定义域为R，，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除C；

当时，，当且仅当时取等号，即当时，，A，D不满足，B符合题意.

故选：B

3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国资学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受志不等号的引入对不等式的发展景响深远．已知a，b为非零实数，且；则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.

【详解】A：，若有、，故，错误；

B：，若有、，故，错误；

C：若，则，错误；

D：，故，正确.

故选：D

4．在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是增函数，则（    ）

A．在区间上是增函数，在区间上是增函数

B．在区间上是增函数，在区间上是减函数

C．在区间上是减函数，在区间上是增函数

D．在区间上是减函数，在区间上是减函数

【答案】D

【分析】由题设得是周期为的偶函数且关于对称，结合已知，利用偶函数、周期性判断、的单调性.

【详解】由题设，即，

所以是周期为的偶函数且关于对称，

又在上是增函数，所以在上是减函数，

而与恰好间隔一个周期，所以在上是减函数.

故选：D

5．已知，，且；则下列结论正确的是（    ）

A．xy的最小值是1 B．的最小值是2

C．的最小值是8 D．的最大值是

【答案】B

【分析】利用基本不等式得、分别求、的最值，注意取等条件；由题设有且代入、，结合基本不等式求最值，注意取等条件.

【详解】由，当且仅当时等号成立，

即，又，，故，仅当时等号成立，

所以，故xy的最大值是1，A错误；

由，当且仅当时等号成立，

所以，即，又，，

则，仅当时等号成立，故的最小值是2，B正确；

由，，，可得，且，

所以，

当且仅当，即、时等号成立，故，C错误；

同上，，

当且仅当，即、时等号成立，故，D错误；

故选：B

6．已知，函数，若，则a的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据复合函数的解析式求出关于a的表达式，结合已知求a值.

【详解】由，而，

所以，故.

故选：B

7．已知函数的定义域为，设函数的定义域为D，若，使得成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复合函数定义求法确定D，将问题转化为在上即可.

【详解】由题意，，可得，故，

若，使得成立，故在上，

又，即开口向上且对称轴为，易知上递减，

所以，故.

故选：C

8．已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据偶函数的性质及区间单调性可得上单调递增且，进而确定的区间符号，讨论、求解集即可.

【详解】由题设，上单调递增且，

所以、上，上，

对于，

当，即或，可得；

当，即，可得；

综上，解集为.

故选：A

9．设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合基本不等式求各项中代数式的范围，注意等号成立条件.

【详解】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误；

B：由，仅当时等号成立，故，正确；

C：由，仅当时等号成立，故，错误；

D：由，仅当时等号成立，故，错误.

故选：B

二、多选题

10． (多选)已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.

【详解】由命题:，成立，得，解得.

故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，

故选：ABD.

11．下列命题正确的是（    ）

A．偶函数的定义域为，则

B．若函数，则

C．已知定义在上的函数，设的最大值为m，最小值为n，则

D．若定义在R上的函数满足：，，都有，则当时有

【答案】ABD

【分析】A应用偶函数定义域对称性求值；B整理得即可确定解析式；C由，利用基本不等式求值域范围；D由题意知在R上递减，结合即可判断.

【详解】A：由题意，故，正确；

B：由，故，正确；

C：由，且，

当时，，仅当时等号成立；

对勾函数性质知：在上递增，在上递减；

当时，，仅当时等号成立，

对勾函数性质知：在上递减，在上递增；

注意趋向于或时，趋向于1，

综上，，故，错误；

D：由题意在R上递减，而，故在时恒成立，正确.

故选：ABD

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，则下列命题正确的是（    ）

A．， B．，

C．函数的值域为 D．不等式：的解集为或

【答案】BCD

【分析】根据的定义判断A，且由判断B、C，解一元二次不等式求得或，进而确定的范围判断D.

【详解】A：当时，当时，错误；

B、C：由定义知：，故，正确；

D：由，故或，则或，所以解集为或，正确.

故选：BCD

三、填空题

13．命题：“，”的否定是_______

【答案】.

【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结果.

【详解】因为全称命题的否定为特称命题，

所以“，”的否定是“”

故答案为：

14．函数的值域为_________．

【答案】

【分析】利用换元法，令，则，根据二次函数性质得，然后再根据反比例函数的单调性判断值域.

【详解】令，则，由二次函数的性质可得，因为函数在和上单调递减，所以当时，；当时，，综上，函数的值域为.

故答案为：

15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则当时， __________.

【答案】

【分析】根据奇函数满足,结合所给时的解析式,即可求得时的解析式.

【详解】令

则

因为当时,

所以

因为奇函数满足

所以

即

故答案为:

【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求解析式,注意自变量的取值范围,属于基础题.

16．已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为______

【答案】

【分析】根据分段函数解析式分析得在R上单调递减且，进而将问题化为，恒成立，即在R上恒成立，即可求参数范围.

【详解】由题设在上递减，在上也递减，且在处连续，

所以在R上单调递减，且，

由，恒成立，

所以在R上恒成立，故，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合．，或．

(1)当时，求，；

(2)若，求实数a的取值范围

【答案】(1)， ；

(2).

【分析】（1）应用集合的交、并、补运算求集合即可；

（2）根据并集结果得，即可求参数范围.

【详解】（1）时，，所以，

因为，所以.

（2）若，则，解得.

18．设函数，．

(1)解关于x的不等式，；

(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）讨论的大小关系分别求解集即可；

（2）将不等式化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得a的取值范围．

【详解】（1）当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为．

（2）因为，由可得：，即，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以．

19．已知，，且．

(1)求的最大值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)4

(2)1

【分析】（1）（2）由基本不等式求解，

【详解】（1）方法一：，

令，则，得，

∴，当且仅当时取等号，

方法二：设

则，代入，

得即，

令得即，

∴，

（2）∵，，

∴，当且仅当时取等，

∴

20．某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y（单位：万元）与年产量x（单位：吨，）之间的函数关系式为，已知该生产线年产量最大为220吨．

(1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本．

(2)若每吨产品出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润？最大年利润是多少？

【答案】(1)当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低为30万元

(2)当年产量为220吨时，可以获得最大年利润为4300万元

【分析】（1）生产每吨产品的平均成本，结合基本不等式运算求解；（2）年利润为，结合二次函数求最值.

【详解】（1）生产每吨产品的平均成本

当且仅当，即时等号成立

∴当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低为30万元

（2）年利润为

当时，随x增大而增大

当时，年利润取到最大值4300

∴当年产量为220吨时，可以获得最大年利润为4300万元

21．已知函数是定义域上的奇函数.

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明：在区间上是减函数；

（3）解不等式.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；

（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；

（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，

即，化简得，因此，；

（2）任取、，且，即，

则，

，，，，，，.

，，因此，函数在区间上是减函数；

（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，

由得，所以，解得.

因此，不等式的解集为.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

22．对于定义域为D的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“黄金区间”．

(1)判断函数和函数是否存在“黄金区间”，如果存在，请写出符合条件的一个“黄金区间”（直接写出结论，不要求证明）；如果不存在，请说明理由．

(2)如果是函数的一个“黄金区间”，求的最大值．

【答案】(1)存在黄金区间是，不存在黄金区间，理由见解析；

(2).

【分析】（1）根据黄金区间的定义，先判断、是否存在单调区间，再确定是否存在区间使值域为即可；

（2）根据题意，将问题化为有两个同号的不等实根，并整理为含参数a关于x的一元二次方程，结合判别式、根与系数关系得到关于a的表达式及a的范围，进而求范围，即可得最值.

【详解】（1）在上单调递增，令得：或1，存在黄金区间是；

由于是增函数，若存在黄金区间，则无解，

因此，不存在黄金区间．

（2）在和上都是增函数，

因此黄金区间或，

由题意，所以有两个同号的不等实根，

令，整理得．

所以，故，解得或，

又，故、同号，满足题意，，

因为或，所以即时，.