2022-2023学年山东省青岛市青岛第九中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省青岛市青岛第九中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程.

【详解】∵双曲线的标准方程为，

∴双曲线的焦点在轴，，，且双曲线的渐近线方程为，即.

故选：C.

2．若两个不同平面的法向量分别为，则（       ）

A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确

【答案】A

【分析】根据法向量，可得，可得法向量和平行即可得解.

【详解】由，

所以法向量和平行，

所以平面和平行，

故选：A.

3．已知圆的圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】设直径的两个端点分别A（a，0）B（0，b）．圆心C为点（2，﹣3），

由中点坐标公式得，a=4，b=﹣6，

∴r=，

则此圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=13，

即x2+y2﹣4x+6y=0．

故选A．

4．过点作直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，点为坐标原点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，根据已知条件求出的取值范围，并求出、两点的坐标，再利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】由于过点作直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，

在直线的方程中，令，可得，即点；

令，可得，即点.

由题意可得，解得，

所以，.

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：C.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

5．如图，在长方体中，，，点在线段上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构建空间直角坐标系，求，的坐标，应用空间向量夹角的坐标表示求与所成角的余弦值即可.

【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，

∴，.

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

故选：B

6．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于

A．2 B．6 C．2或6 D．

【答案】C

【详解】∵圆 截直线 所得的弦的长度为 ，圆心 到直线的距离 ，∴，解得 或 ．故选C．

7．椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）

A．3 B． C． D．

【答案】D

【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．

【详解】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）

则点P到直线的距离

d=，

，故选D．

【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．

8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】B

【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.

【解析】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.

二、多选题

9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（    ）

A．

B．

C．向量与的夹角是

D．与AC所成角的余弦值为

【答案】ACD

【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．

【详解】解：对于A，

，

所以，选项A错误；

对于B：

，

所以，即，选项B正确；

对于C：向量 与 的夹角是，所以向量 与的夹角也是，选项C错误；

对于D：，

得，

，

同理，可得

，

所以，所以选项D错误．

故选：ACD．

10．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ）

A．的周长为 B．面积的最大值为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

【答案】BCD

【分析】计算周长得到6，A错误，，B正确，，根据定义域得到范围，C正确，，得到值域，得到答案.

【详解】根据题意：，，，

的周长为，A错误；

面积的为，当在上下顶点时等号成立，B正确；

设，则，

，故，C正确；

，设，，

则，故的取值范围为，D正确.

故选：BCD.

11．如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．该几何体外接球的体积为

C．若为中点，则平面 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得，，，，，的坐标，由，的数量积可判断A选项；该几何体外接球的球心为矩形的对角线交点，即可求得半径，可判断B选项；求得的坐标，求得平面的法向量，计算可判断C选项；设（），由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断D选项．

【详解】由题意以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，

可得，，，，，，

对于A选项：有，，由，可得即，所以A选项正确；

对于B选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形的中心的垂面上，即为矩形的对角线的交点，

则该球的半径，

即该几何体外接球的体积，所以B选项错误；

对于C选项：若为中点，则，

即，，，

设平面的法向量为，

由，令，可得，

即，可得，

又平面，则平面，所以C选项正确；

对于D选项：由三角形是等腰直角三角形，可设（），

则，

又，则当时，取得最小值，所以D选项正确．

故选：ACD.

12．卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点是平面内两个定点，（是定长），特别地，当时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（    ）

A．曲线过原点

B．关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称

C．方程为

D．曲线上任意点，，

【答案】ABC

【分析】根据得到轨迹方程为得到ABC正确，验证知在曲线上，故D错误，得到答案.

【详解】设，时，，

化简得到：，故C正确；

曲线过原点，A正确；关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称，B正确；

验证知在曲线上，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．直线与直线平行，则的值为____________．

【答案】##

【分析】利用直线的一般式方程确定两直线平行的条件即可求解.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，解得,

所以的值为.

故答案为：.

14．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．

【答案】2（满足皆可）

【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.

【详解】解：，所以C的渐近线方程为,

结合渐近线的特点，只需，即，

可满足条件“直线与C无公共点”

所以，

又因为，所以，

故答案为：2（满足皆可）

15．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．

【答案】

【解析】设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程.

【详解】设点，如图连接交于，

由矩形可知为的中点，，

连接，在直角中，，则

即，整理得，

所以顶点的轨迹方程是

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x, y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.

四、双空题

16．已知点 是空间直角坐标系 内一点， 则点 关于 轴的对称点 的 坐标为 ________． 若点 在平面 上的射影为 ， 则四面体 的体积为________．

【答案】     （1，－2，－3）     2

【分析】由空间直角坐标系中的点的对称性质求解，利用棱锥的体积公式直接求解

【详解】 是空间直角坐标系 内一点， 则点 关于 轴的对称点 的 坐标为（1，－2，－3），

因为点 在平面 上的射影为 ，所以，

所以四面体 的体积为，

故答案为：（1，－2，－3），2

五、解答题

17．已知斜率为的直线与圆心为的圆相切于点，且点在轴上.

（1）求圆的方程；

（2）若直线与直线平行，且圆上恰有四个不同点到直线距离等于，求直线纵截距的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意可知，从而可得，求出，再由即可求解.

（2）设：，由题意可得圆心到直线的距离，解不等式即可.

【详解】解：（1）依题意，设点的坐标为.，，解得，

即点的坐标为，从而圆的半径.

故所求圆的方程为.

（2）因为，设：，

由圆上恰有四个不同点到直线距离等于，

得圆心到直线的距离，

解得.即直线纵截距的取值范围为.

18．已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.

【答案】(1) (2)

【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；

（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．

试题解析：

（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为

（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．

点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.

19．已知的顶点，直线的方程为，边上的高 所在直线的方程为.

(1)求顶点和的坐标；

(2)求外接圆的一般方程.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标；

（2）设圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解.

【详解】（1）由可得，所以点的坐标为，

由可得，所以

由，可得，

因为，所以直线    的方程为：，即，

由可得，所以点的坐标为.

（2）设的外接圆方程为，

将，和三点的坐标分别代入圆的方程可得：

，解得：，

所以的外接圆的一般方程为.

20．在正四棱柱中在线段上.

（1）若平面，求的长；

（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知可得两两垂直，建立空间直角坐标系，利用已知条件写出点的坐标，设()，进而得到点的坐标，利用平面，

可得，即可得出的值，即可得出结果；（2）由（1）得，为平面的一个法向量，利用线面的所成角的向量求法求解即可.

【详解】解：（1）由已知可得两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，

，

设()，

则，

，

∴，

∴.

由平面，

得，

解得，

即的长为.

（2）由（1）得，

为平面的一个法向量，

∴，

∴与平面所成角的正弦值为.

21．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，

则，

解得，

所以点A到平面的距离为；

（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,

又平面平面，平面平面，

且平面，所以平面，

在直三棱柱中，平面，

由平面，平面可得，，

又平面且相交，所以平面，

所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得，所以，，所以，

则,所以的中点，

则，,

设平面的一个法向量，则，

可取，

设平面的一个法向量，则，

可取，

则，

所以二面角的正弦值为.

22．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的下顶点，，当轴时，的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线不过坐标原点时，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知建立关于的方程组，解之可求得椭圆的标准方程.

（2）由（1）知，设，，由直线不过坐标原点，所以设直线的方程为，与椭圆的方程联立得，得出根与系数的关系式，表示，代入可求得的取值范围.

【详解】（1）因为为直角三角形，所以，则，

又，所以，

又，所以，则，

，故椭圆的标准方程为

（2）由（1）知，设，，

则，，

又直线不过坐标原点，所以设直线的方程为，则，

消去得，

所以，，

则

，

因为，所以，所以，

所以，即的取值范围是.

【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.