2022-2023学年山东省青岛市青岛第十九中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省青岛市青岛第十九中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解出集合和取交集即可.

【详解】，

，

所以.

故选：A

2．若“x>1或x<-2”是“x<a”的必要条件，则a的最大值是（　　）

A．2 B．-2 C．-1 D．1

【答案】B

【分析】由必要不充分条件的定义结合数轴即可求解

【详解】∵“x>1或x<-2”是“x<a”的必要不充分条件，

∴x<a⇒x>1或x<-2，

但x>1或x<-2x<a.

如图所示，

∴，

∴a的最大值为-2.

故选：B

3．下列四组函数中，与表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论．

【详解】四个选项中函数的定义域都是实数集，AC选项中函数的定义域是，

D选项迥函数定义域是，定义域不相同，不是同一函数，

B选项定义域是，根据绝对值的定义知对应法则也相同，是同一函数．

故选：B．

4．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】待定系数求得幂函数解析式，再求对数运算的结果即可.

【详解】设幂函数为，由题意得，，

∴

故选：A．

【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，涉及对数运算，属综合简单题.

5．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果

【详解】由题意得，

则

，

当且仅当，即时取等号，

所以三角形面积的最大值为.

故选:B

6．若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可.

【分析】因为函数在R单调递增，且，

所以当时，，

不等式可化为，

所以，

当时，，

不等式可化为，

所以满足条件的不存在，

当时，，不满足关系，

所以满足的x的取值范围是，

故选：D.

7．已知，其中a，b为常数，若，则（    ）

A．4042 B．2024 C．－4042 D．－2024

【答案】A

【分析】构造奇函数，求出，利用奇函数定义求得，然后可得．

【详解】令，则，为奇函数，

又，

所以，则，

所以，

故选：A.

8．下列大小关系不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性即可判断.

【详解】A选项：，，

因为，

又因为指数函数在R上单调递增，

所以，即，故A正确；

B选项：，因为，；

又因为指数函数在R上单调递减，

所以，故B正确；

C选项：因为，，所以，故C错误；

D选项：因为，，所，故D正确；

故选:C.

二、多选题

9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案.

【详解】，是偶函数，且在上单调递增

是奇函数，在上单调递减

故选：AC

10．设为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】对于A，取特殊值进行判断；

对于B，取特殊值进行判断；

对于C，利用作差法比较；对于D，利用作差法比较；

【详解】对于A，当时，，但，故A中不等式不一定成立；

对于B，当时，，但，故B中不等式不一定成立；

对于C，，，故C中不等式恒成立；

对于D，，，，

又，，故D中不等式恒成立.

故选：CD

11．下列说法正确的是（    ）

A．函数且的图象恒过定点(1，-1)

B．若则的充要条件是

C．函数的最小值为 6

D．函数的单调递增区间为

【答案】AD

【分析】根据指数函数的性质可判断A的正误；根据充分条件和必要条件的定义即可判断B的正误；利用基本不等式可判断C的正误；根据复合函数“同增异减”的原则可判断D的正误.

【详解】对于A，，故的图象恒过，故A正确；

对于B，当时，，则由不能推出，

所以“”的充要条件不是“”，故B错误；

对于C，，令，

所以，

因为（当且仅当即时，取等号，因为，故等号取不到），

所以函数的最小值不为6，故C错误；

对于D，由可得，

令，因为为减函数，

而在上为增函数，在上为减函数，

故在上为增函数，在上为减函数，

故在上为减函数，在上为增函数，故D正确.

故选：AD.

12．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据条件可得，函数为偶函数，在上单调递减.根据单调性与奇偶性的关系可得，函数在上单调递增，进而可推出恒成立.对是否为0进行讨论，利用基本不等式即可求得实数的范围.

【详解】由已知可得，函数为偶函数，

又对于，当时，恒成立，

即，若，都有成立，

则在上单调递减，

又函数为偶函数，则在上单调递增.

又对任意的恒成立，则可得.

当时，不等式为显然成立；

当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可.

因为，

当且仅当，即时，等号成立.

所以，，解得.

综上所述，实数的范围是.

故选：ABC.

三、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】根据题意列出简单不等式，求解即可.

【详解】要使得函数有意义，则，且，

解得：且，即的定义域为：.

故答案为：.

14．已知函数，则_________．

【答案】

【分析】代入分段函数逐步求解即可求出结果.

【详解】因为，所以，

因此.

故答案为：.

15．已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】由题意可得，解不等式组即可得出答案.

【详解】由题意得,即，

解得：．

所以的取值范围为.

故答案为：.

16．对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数是定义在上的“局部奇函数”，只需方程有解．可设，从而得出方程在时有解，从而设，由二次函数的性质分析可得答案．

【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：

若函数是定义在上的“局部奇函数”，

则方程有解，即有解；

变形可得，

即有解即可.

设，则，当且仅当时，等号成立.

则方程等价为在时有解.

设，若方程的两根分别为、，则，

所以，，

解可得：，即的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题

17．计算：

(1)．

(2)．

【答案】(1)．

(2)．

【分析】利用指数、对数的运算性质可得解.

【详解】（1）

（2）

.

18．已知函数，．

(1)当时，求函数的最大值和最小值；

(2)求函数在区间上的最小值．

【答案】(1)，．

(2)

【分析】（1）利用二次函数的性质即可求出函数的最大值和最小值.

（2）根据二次函数对称轴，开口方向，分类讨论指定区间上的单调性，进而求出最小值

【详解】（1）当时，，

∵，∴，．

（2）∵函数的对称轴为，

当时，即，

由二次函数性质可得为最小值，；

当时，即，为最小值，；

当时，即，取最小值，.

综上所述，在区间上的最小值.

19．已知幂函数在上单调递增，

(1)求实数的值；

(2)当记的值域分别是集合，设命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围

【答案】(1);

(2).

【分析】(1)根据幂函数的性质求解即可；

(2)分别求出函数的值域，即可得集合，由是的充分不必要条件可得,再由集合的包含关系求解即可.

【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递增，

所以，

解得；

（2）解：因为，

当的值域为，

所以；

，开口向上，对称轴为，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为，，

所以的值域为：，

所以；

又因为命题是命题的充分不必要条件，

所以,

所以，

解得，

所以实数的取值范围是.

20．已知函数是奇函数（a为常数）

（1）求的值；

（2）解不等式

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据是R上的奇函数，由求解.

（2）由，转化为求解.

【详解】（1）因为是R上的奇函数，则

所以

所以    

（2），所以，  

 解得，

所以不等式的解集为．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用以及指数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．已知二次函数．

(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围：

(2)解关于x的不等式（其中）．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）不等式化为，利用分离常数法得出，求出右边函数的最小值，即可得出实数的取值范围；

（2）不等式化为，讨论的取值，从而求出对应不等式的解集．

【详解】（1）解：（1）不等式即为：，即，

当时，可变形为：，

即，又，

当且仅当，即时，等号成立，

，

即，

实数的取值范围是：；

（2）不等式，

等价于，即，

①当时，不等式整理为，解得：；

当时，方程的两根为：，，

②当时，可得，解不等式得：或；

③当时，因为，解不等式得：；

④当时，因为，不等式的解集为；

⑤当时，因为，解不等式得：；

综上所述，不等式的解集为：

①当时，不等式解集为；

②当时，不等式解集为；

③当时，不等式解集为；

④当时，不等式解集为；

⑤当时，不等式解集为．

22．函数（，且）对任意非零实数，，恒有．

(1)求及的值；

(2)判断并证明函数的奇偶性；

(3)若，判断并证明f(x)在（0，+∞）上的单调性；

(4)求不等式的解集．

【答案】(1)；

(2)函数是偶函数；证明见解析

(3)f(x)在（0，+∞）上单调递增；证明见解析

(4)且且

【分析】(1)直接将和分别代入，即可求解结果.

(2)取，代入，再根据奇偶性的定义判定即可.

(3)利用和函数单调性定义证明可构造出

，进而判断单调性.

(4)结合2和3问的单调性和奇偶性可大致确定图像，并将

转化为，再结合图像和定义域求解出的取值范围

【详解】（1）对任意非零实数，恒有，

∴令，代入，得，解得

令，代入得，可得．

（2）取，，代入得

又函数的定义域为∴函数是偶函数．

（3），∈（0，+∞），且．则，．

，，f(x)在（0，+∞）上单调递增．

（4）由2和3问的结论，可大致确定函数图像，，，结合图像可得出

，解得且且，所以的解集为

且且