备战高考2024年数学第一轮专题复习3.2.2 函数的性质（二）（精讲）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习3.2.2 函数的性质（二）（精讲）（提升版）（解析版），共18页。试卷主要包含了函数的周期性，函数的对称性，Mm函数，函数性质的综合运用等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 函数的周期性
【例1-1】（2022·黑龙江）己知是定义在R上的周期为4的奇函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，为定义在R上的周期为4的奇函数，故 ，
故，所以
故即，
即，而当时，，
故，则当时，，
故，故选：D
【例1-2】（2022·湖南衡阳·三模）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故
因此即是以4为周期的周期函数.
，
当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以 故选：A
【一隅三反】
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（ ）
A．-11B．-8C．D．
【答案】A
【解析】因为函数图象关于原点对称，所以，
由知，函数是以4为周期的函数，
又当时，，
则
.故选：A.
2．（2022·江西鹰潭·二模）已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【解析】因为是定义在R上的奇函数，又为偶函数，
所以、且，
则，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
由，
所以，
，
，
所以；故选：C
3．（2022·新疆·三模）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，时，单调递增；
，，单调递增；

，，综上所述，.
故选：A.
考点二 函数的对称性
【例2-1】（2022·安徽合肥）函数（是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线对称B．点对称
C．直线对称D．点对称
【答案】D
【解析】由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而，所以的图象关于点对称．故选：D．
【例2-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意的恒成立，且函数的图像关于点对称，，则（ ）
A．2021B．－2021C．2022D．－2022
【答案】A
【解析】对任意的都有，令x＝0，则，即，即有，即，所以函数的图像关于直线x＝2对称．又函数的图像关于点对称，则函数的图像关于点对称，即函数为奇函数．
所以，所以，
所以8是函数的最小正周期．
，所以，故选：A．
【例2-3】．（2022·山西吕梁）已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以的图象关于直线对称，
又在区间上单调递增，所以在上单调递减，
因为，，
即，平方后解得.所以的取值范围为.故选：B.
【例2-4】（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【解析】令，得，
图象关于对称，在上递减.
，令，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，
，在上递增，
所以与有两个交点，
两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·北京四中高三阶段练习）下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
2．（2022·河北保定·一模）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】图象关于点对称，，
又，
，
，解得：，.故选：C.
3．（2022·吉林·长春外国语学校高三开学考试（文））已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．关于直线对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于直线对称
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
∴，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
4．（2022·天津市第七中学模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2020B．1010C．1012D．2022
【答案】A
【解析】因为是定义在上的奇函数，
所以，即当时，
由已知，
，
，故是周期函数，且对称轴为，
又，即，
所以函数关于对称
如图函数和函数在上的图像
在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，
在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，
所以函数和函数在和上都有个交点，
根据对称性可得所有交点的横坐标之和为.故选：A.
考点三 Mm函数
【例3】（2022.广东）已知，，，若的最大值为，的最小值为，则等于
A．0B．2C．D．
【答案】B
【解析】令，，，函数的定义域关于原点对称，且，函数为奇函数，
，即，，即．故选：．
【一隅三反】
1．（20022•椒江区）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于
A．2B．4C．D．
【答案】B
【解析】设，则是奇函数，
的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为，
．故选：．
2．（2022•沙河）函数在，，上的最大值为，最小值为，则
A．4038B．4C．2D．0
【答案】B
【解析】，
设，则是奇函数，在，，上的最大值和最小值互为相反数，又在，，上的最大值为，最小值为，
．故选：．
3．（2021•河北）已知，则在区间，上的最大值最小值之和为
A．2B．3C．4D．8
【答案】A
【解析】由
令，
可得是奇函数，
可得区间，上的最大值最小值之和为0．
那么在区间，上的最大值为，最小值为；
在区间，上的最大值最小值之和为2．
故选：．
4．（2022•广东月考）已知函数在，上的最大值为，最小值为，则
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由
令，
，上，
可得，；
那么转化为
由于是奇函数
可得，，的最大值与最小值之和为0，
那么的最大值与最小值之和为2．
故选：．
考点四 函数性质的综合运用
【例4】（2022·辽宁·模拟预测）（多选）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为6B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称D．在区间上共有100个零点
【答案】BC
【解析】因为，取，得，故，又是偶函数，所以，所以，
故，即的一个周期为12，故A项错误；
又在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确；
因为是偶函数，所以的图像关于y轴对称，由周期性可知的图像关于直线对称，故C项正确；
因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，，由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由为偶函数，可知在区间上有674个零点，故D项错误．
故选：BC项．
【一隅三反】
1．（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）（多选）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为4B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为是偶函数， 所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以，
所以，所以的周期为，故A错误；
又当时，，
所以，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选：BCD.
2．（2022·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
3．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【解析】因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：
由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A.
4．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，，且时，都有，有下列命题：
①；
②点是函数图象的一个对称中心；
③函数在上有2023个零点；
④函数在上为减函数；
则正确结论的序号为______．
【答案】①②③
【解析】，令得，，令得，，
所以，又是奇函数，
，，是周期函数，4是它的周期，
当，，且时，都有，即时，，在是增函数，由奇函数性质知在上也是增函数，所以在上递增，
所以，从而，
，
，①正确；
，则函数图象关于直线对称，又函数图象关于原点对称，因此也关于点对称，②正确；
由上讨论知在上有2个零点，，
注意，
因此在上零点个数为，③正确；
由周期性知函数在与时的图象相同，函数同为增函数，④错误．
故答案为：①②③．