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2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 3.2.2 函数的性质（二）（精练）（提升版）（原卷版+解析版）
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这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 3.2.2 函数的性质（二）（精练）（提升版）（原卷版+解析版），共26页。
A．B．0C．1D．2
2． (2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知为定义在R上的周期为4的奇函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·天津市）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________.
6． (2023·重庆·二模）已知定义域为R的函数满足且，则函数的解析式可以是______.
7． (2023·陕西渭南·二模（文））已知为R上的可导的偶函数，且满足，则在处的切线斜率为___________.
8． (2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则___________.
题组二 函数的对称性
1． (2023·内蒙古呼和浩特）函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-8B．0C．-4D．-2
2． (2023·甘肃兰州）已知定义在R上的奇函数满足．当时，，则（ ）
A．7B．10C．D．
3． (2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·辽宁实验中学模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的周期为2D．
5． (2023·江西·二模（理））已知函数则（ ）
A．在R上单调递增，且图象关于中心对称
B．在R上单调递减，且图象关于中心对称
C．在R上单调递减，且图象关于中心对称
D．在R上单调递增，且图象关于中心对称
6． (2023·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知函数，则（ ）
A．10130B．10132C．12136D．12138
7． (2023·全国·高三专题练习（理））若函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数，则下列函数图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
9 (2023·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是______.
题组三 Mm函数求值
1． (2023宁波）已知函数的最大值为，最小值为，则
A．B．0C．1D．2
2． (2023 •合肥）已知，设函数，，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为
A．4与3B．3与1C．5和2D．7与4
3． (2023•温州）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．2025B．2022C．2020D．2019
4． (2023•郫都）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．2020B．2019C．4040D．4039
5． (2023•湖南）已知函数在，上的最大值为，最小值为，则
A．4B．2C．1D．0
6． (2023•广西）已知函数，，，的最大值为，最小值为，则
A．4B．C．D．
7． (2023•吉安）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．1B．2C．3D．4
8． (2023•云南）设函数的最大值为，最小值为，则
A．B．0C．1D．2
9． (2023•广州）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则
A．8B．6C．4D．2
10． (2023•上海）设函数，，的最大值为，最小值为，那么 ．
题组四 函数性质的综合运用
1． (2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数B．的图象关于直线对称
C．是奇函数D．的图象关于点对称
2． (2023·云南德宏）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．有2个零点D．是偶函数
4． (2023·全国·高三专题练习（文））函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
5． (2023·宁夏·银川一中一模（理））已知函数，下列说法中正确的个数是（ ）
①函数的图象关于点对称；
②函数有三个零点；
③是函数的极值点；
④不等式的解集是.
A．1个B．2个C．3个D．4个
6． (2023·天津南开·高三期末）函数的所有零点之和为（ ）.
A．10B．11C．12D．13
7． (2023·江苏）（多选）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
8． (2023·辽宁沈阳·二模）（多选）已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减B．
C．D．
9． (2023·海南·模拟预测）（多选）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
10． (2023·河北）（多选）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
11． (2023·河北沧州·模拟预测）（多选）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（ ）
A．B．有3个零点
C．的对称中心是D．
12． (2023·四川省泸县）（多选）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且．则下列选项中说法不正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2C．D．是奇函数
3.2.2 函数的性质（二）（精练）（提升版）
题组一 函数的周期性
1． (2023·四川攀枝花）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则的值为（ ）．
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】∵定义在R上的奇函数满足，∴的周期为4，
∴，，
∴.故选：A
2． (2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知为定义在R上的周期为4的奇函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，为定义在R上的周期为4的奇函数，
故 ，
故 ，
又，故即，
即，而当时，，
故，则当时，，
故，
故选：B
3． (2023·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，因此函数的周期为，
所以，
又函数是上的奇函数，所以，
所以，即，
所以原式，
又当时，，可得，因此原式.
故选：B．
4． (2023·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
则，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：C
5． (2023·天津市）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________.
【答案】
【解析】是上的奇函数，
又，
，所以是周期函数，且周期为4
.故答案为：2
6． (2023·重庆·二模）已知定义域为R的函数满足且，则函数的解析式可以是______.
【答案】（答案不唯一）；
【解析】由题意，函数满足且，
可得函数是定义域上的奇函数，且周期为2，
可令函数的解析式为（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）；
7． (2023·陕西渭南·二模（文））已知为R上的可导的偶函数，且满足，则在处的切线斜率为___________.
【答案】0
【解析】由题设，，则，即，
所以的周期为4，又为R上的可导的偶函数，即，
而，故，即，
且，故.
故答案为：0
8． (2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则___________.
【答案】
【解析】由题意知为定义在上的奇函数，，即.
因为，所以，所以函数的周期为4，则.
因为，为奇函数，
所以.
故答案为：
题组二 函数的对称性
1． (2023·内蒙古呼和浩特）函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-8B．0C．-4D．-2
【答案】B
【解析】∵关于对称，
∴关于对称，即是奇函数，
令得，，即，解得．
∴，即，
∴，即函数的周期是4．
∴．故选：B.
2． (2023·甘肃兰州）已知定义在R上的奇函数满足．当时，，则（ ）
A．7B．10C．D．
【答案】C
【解析】在R上是奇函数，
，即
，即函数是周期为的函数
故选：C
3． (2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，所以函数的图象关于直线对称，又在上单调递减，所以在上单调递增，
结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式
等价于，两边同时平方后整理得，解得或.
故选：C．
4． (2023·辽宁实验中学模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的周期为2D．
【答案】B
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即.
用x代换上式中的2x，即可得到，所以关于直线对称.
函数关于点对称，所以，即所以关于点对称.
对于，令x取x+1，可得：.
对于，令x取x+2，可得：.
所以，令x取-x，可得：，
所以，令x取x+2，可得：，即的最小正周期为4.所以C、D错误；
对于B：对于，令x取x-3，可得：.
因为的最小正周期为4，所以，
所以，即.故B正确.
对于A：由，可得为对称轴，所以不能确定是否成立.故A错误.
故选：B
5． (2023·江西·二模（理））已知函数则（ ）
A．在R上单调递增，且图象关于中心对称
B．在R上单调递减，且图象关于中心对称
C．在R上单调递减，且图象关于中心对称
D．在R上单调递增，且图象关于中心对称
【答案】D
【解析】当时，，
当时，，
时，，
即对任意实数x恒有，，故图象关于中心对称；
当时，单调递增；当时，单调递增，且图像连续，
故在R上单调递增，
故选：D.
6． (2023·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知函数，则（ ）
A．10130B．10132C．12136D．12138
【答案】D
【解析】，
所以的图象关于点对称，所以当时，，
所以
.
故选：D．
7． (2023·全国·高三专题练习（理））若函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以关于对称，所以将向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数，该函数的对称中心为，故为奇函数，
故选：D
8． (2023·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数，则下列函数图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数，定义域为，则，
故函数为偶函数，则关于轴对称，
因此函数为函数向右平移一个单位得到，故函数关于对称，
且函数关于直线对称，因此函数关于点对称，
故选：C．
9 (2023·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】，
【解析】构造函数，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．
不等式 等价于，
等价于
结合单调递增可知，
所以不等式的解集是，．故答案为：，．
题组三 Mm函数求值
1． (2023宁波）已知函数的最大值为，最小值为，则
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】，
令，则，即为奇函数，图象关于原点对称，
，，，且，
，则．故选：．
2． (2023 •合肥）已知，设函数，，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为
A．4与3B．3与1C．5和2D．7与4
【答案】B
【解析】令，，，由，得为奇函数，
设的最大值为，则最小值为，，，可得，
，为偶数，即为偶数，综合选项可知，和的值可能为3和1．故选：．
3． (2023•温州）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．2025B．2022C．2020D．2019
【答案】B
【解析】，在定义域内单调递增，
，，
即（a），，
故选：．
4． (2023•郫都）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．2020B．2019C．4040D．4039
【答案】D
【解析】函数．
令，．
由于在，时单调递减函数；（a）
函数的最大值为；
最小值为（a）；那么；故选：．
5． (2023•湖南）已知函数在，上的最大值为，最小值为，则
A．4B．2C．1D．0
【答案】A
【解析】
令，
而，，
则关于中心对称，则在，上关于中心对称．．故选：．
6． (2023•广西）已知函数，，，的最大值为，最小值为，则
A．4B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，，，所以，令，，，，或，或，或，
，，，和，，，单调递增，
，和，，，单调递减，
所以，，的最大值为，最小值为，
，，，
，，中最大值及最小值，所以，，所以，故选：．
7． (2023•吉安）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】易知函数在，上单调，且
，
．
故选：．
8． (2023•云南）设函数的最大值为，最小值为，则
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【解析】，且，
所以关于点中心对称．所以最大值和最小值的和．故选：．
9． (2023•广州）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【解析】设，因为奇函数，
所以，所以，所以．
故选：．
10． (2023•上海）设函数，，的最大值为，最小值为，那么 4040 ．
【答案】4040
【解析】令，则
，
故函数为定义域上的奇函数，，即，
．故答案为：4040．
题组四 函数性质的综合运用
1． (2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数B．的图象关于直线对称
C．是奇函数D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，故选：C.
2． (2023·云南德宏）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，为奇函数，
所以，.
所以，，所以.
令，则.
令上式中t取t-4，则，所以.
令t取t+4，则，所以.
所以为周期为8的周期函数.
因为为奇函数，所以，
令，得：，所以，所以，即为，所以.
记，所以.
因为，所以，所以在R上单调递减.
不等式可化为，即为.所以.故选：C
3． (2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．有2个零点D．是偶函数
【答案】B
【解析】显然，的定义域为，的定义域为，且，
记，则有，
故是奇函数，选项D错误.
又
故的图象关于点对称，选项B正确，选项A错误；
令，则有，即或，
解得或，即，或，
故有3个零点，选项C错误.故选：B
4． (2023·全国·高三专题练习（文））函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以函数关于点对称，
因为，即，所以函数关于直线对称，
因为当时，，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数为周期函数，周期为，
由于函数一个周期内，与有2个交点，
在上，与有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.
所以关于x的方程在上的解的个数是个.
故选：B
5． (2023·宁夏·银川一中一模（理））已知函数，下列说法中正确的个数是（ ）
①函数的图象关于点对称；
②函数有三个零点；
③是函数的极值点；
④不等式的解集是.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】，
令，则，
所以函数是奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，故①正确：
又因为，
所以在R上单调递减，所以在R上单调递减，
所以只有一个零点且无极值点，故②③错误；
由得，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，故④正确：综上所述，正确的个数是2个.
故选：B
6． (2023·天津南开·高三期末）函数的所有零点之和为（ ）.
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【解析】记，，而
，
，于是这两个函数都关于对称，在同一坐标系下画出它们图像如下，可知它们有8个交点，这8个交点可以分成4组，每一组的两个点都关于对称，这样的两个点横坐标之和是3，于是这些交点的横坐标之和为.
故选：C.
7． (2023·江苏）（多选）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
【答案】BD
【解析】依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选：BD.
8． (2023·辽宁沈阳·二模）（多选）已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】方法一：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，
由题意，得，关于直线对称，
易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，
由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）
且的一个周期为4，所以，故D正确．
备注：，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
方法二：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，
又由，得，
所以，故正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，
将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故正确．
故选：BCD
9． (2023·海南·模拟预测）（多选）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
【答案】AD
【解析】
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
10． (2023·河北）（多选）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
【答案】AC
【解析】函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；
函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；
函数是周期为2的奇函数， ，故C正确；
，无法判断的值，故D错误.
故选：AC.
11． (2023·河北沧州·模拟预测）（多选）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（ ）
A．B．有3个零点
C．的对称中心是D．
【答案】ABD
【解析】由题设，，且，
所以，整理得，
故，可得，故，
又，即，A正确；有3个零点，B正确；
由，则，所以关于对称，C错误；
，D正确.
故选：ABD
12． (2023·四川省泸县）（多选）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且．则下列选项中说法不正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2C．D．是奇函数
【答案】BC
【解析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；
所以，
所以函数的周期，所以选项A正确、B错误；
，故选项C错误；
对选项D：
所以是奇函数，D正确.
故选：BC.
A．B．0C．1D．2
2． (2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知为定义在R上的周期为4的奇函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·天津市）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________.
6． (2023·重庆·二模）已知定义域为R的函数满足且，则函数的解析式可以是______.
7． (2023·陕西渭南·二模（文））已知为R上的可导的偶函数，且满足，则在处的切线斜率为___________.
8． (2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则___________.
题组二 函数的对称性
1． (2023·内蒙古呼和浩特）函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-8B．0C．-4D．-2
2． (2023·甘肃兰州）已知定义在R上的奇函数满足．当时，，则（ ）
A．7B．10C．D．
3． (2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·辽宁实验中学模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的周期为2D．
5． (2023·江西·二模（理））已知函数则（ ）
A．在R上单调递增，且图象关于中心对称
B．在R上单调递减，且图象关于中心对称
C．在R上单调递减，且图象关于中心对称
D．在R上单调递增，且图象关于中心对称
6． (2023·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知函数，则（ ）
A．10130B．10132C．12136D．12138
7． (2023·全国·高三专题练习（理））若函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数，则下列函数图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
9 (2023·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是______.
题组三 Mm函数求值
1． (2023宁波）已知函数的最大值为，最小值为，则
A．B．0C．1D．2
2． (2023 •合肥）已知，设函数，，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为
A．4与3B．3与1C．5和2D．7与4
3． (2023•温州）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．2025B．2022C．2020D．2019
4． (2023•郫都）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．2020B．2019C．4040D．4039
5． (2023•湖南）已知函数在，上的最大值为，最小值为，则
A．4B．2C．1D．0
6． (2023•广西）已知函数，，，的最大值为，最小值为，则
A．4B．C．D．
7． (2023•吉安）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．1B．2C．3D．4
8． (2023•云南）设函数的最大值为，最小值为，则
A．B．0C．1D．2
9． (2023•广州）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则
A．8B．6C．4D．2
10． (2023•上海）设函数，，的最大值为，最小值为，那么 ．
题组四 函数性质的综合运用
1． (2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数B．的图象关于直线对称
C．是奇函数D．的图象关于点对称
2． (2023·云南德宏）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．有2个零点D．是偶函数
4． (2023·全国·高三专题练习（文））函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
5． (2023·宁夏·银川一中一模（理））已知函数，下列说法中正确的个数是（ ）
①函数的图象关于点对称；
②函数有三个零点；
③是函数的极值点；
④不等式的解集是.
A．1个B．2个C．3个D．4个
6． (2023·天津南开·高三期末）函数的所有零点之和为（ ）.
A．10B．11C．12D．13
7． (2023·江苏）（多选）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
8． (2023·辽宁沈阳·二模）（多选）已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减B．
C．D．
9． (2023·海南·模拟预测）（多选）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
10． (2023·河北）（多选）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
11． (2023·河北沧州·模拟预测）（多选）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（ ）
A．B．有3个零点
C．的对称中心是D．
12． (2023·四川省泸县）（多选）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且．则下列选项中说法不正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2C．D．是奇函数
3.2.2 函数的性质（二）（精练）（提升版）
题组一 函数的周期性
1． (2023·四川攀枝花）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则的值为（ ）．
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】∵定义在R上的奇函数满足，∴的周期为4，
∴，，
∴.故选：A
2． (2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知为定义在R上的周期为4的奇函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，为定义在R上的周期为4的奇函数，
故 ，
故 ，
又，故即，
即，而当时，，
故，则当时，，
故，
故选：B
3． (2023·广东茂名·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，因此函数的周期为，
所以，
又函数是上的奇函数，所以，
所以，即，
所以原式，
又当时，，可得，因此原式.
故选：B．
4． (2023·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
则，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：C
5． (2023·天津市）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________.
【答案】
【解析】是上的奇函数，
又，
，所以是周期函数，且周期为4
.故答案为：2
6． (2023·重庆·二模）已知定义域为R的函数满足且，则函数的解析式可以是______.
【答案】（答案不唯一）；
【解析】由题意，函数满足且，
可得函数是定义域上的奇函数，且周期为2，
可令函数的解析式为（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）；
7． (2023·陕西渭南·二模（文））已知为R上的可导的偶函数，且满足，则在处的切线斜率为___________.
【答案】0
【解析】由题设，，则，即，
所以的周期为4，又为R上的可导的偶函数，即，
而，故，即，
且，故.
故答案为：0
8． (2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则___________.
【答案】
【解析】由题意知为定义在上的奇函数，，即.
因为，所以，所以函数的周期为4，则.
因为，为奇函数，
所以.
故答案为：
题组二 函数的对称性
1． (2023·内蒙古呼和浩特）函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-8B．0C．-4D．-2
【答案】B
【解析】∵关于对称，
∴关于对称，即是奇函数，
令得，，即，解得．
∴，即，
∴，即函数的周期是4．
∴．故选：B.
2． (2023·甘肃兰州）已知定义在R上的奇函数满足．当时，，则（ ）
A．7B．10C．D．
【答案】C
【解析】在R上是奇函数，
，即
，即函数是周期为的函数
故选：C
3． (2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，所以函数的图象关于直线对称，又在上单调递减，所以在上单调递增，
结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式
等价于，两边同时平方后整理得，解得或.
故选：C．
4． (2023·辽宁实验中学模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的周期为2D．
【答案】B
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即.
用x代换上式中的2x，即可得到，所以关于直线对称.
函数关于点对称，所以，即所以关于点对称.
对于，令x取x+1，可得：.
对于，令x取x+2，可得：.
所以，令x取-x，可得：，
所以，令x取x+2，可得：，即的最小正周期为4.所以C、D错误；
对于B：对于，令x取x-3，可得：.
因为的最小正周期为4，所以，
所以，即.故B正确.
对于A：由，可得为对称轴，所以不能确定是否成立.故A错误.
故选：B
5． (2023·江西·二模（理））已知函数则（ ）
A．在R上单调递增，且图象关于中心对称
B．在R上单调递减，且图象关于中心对称
C．在R上单调递减，且图象关于中心对称
D．在R上单调递增，且图象关于中心对称
【答案】D
【解析】当时，，
当时，，
时，，
即对任意实数x恒有，，故图象关于中心对称；
当时，单调递增；当时，单调递增，且图像连续，
故在R上单调递增，
故选：D.
6． (2023·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知函数，则（ ）
A．10130B．10132C．12136D．12138
【答案】D
【解析】，
所以的图象关于点对称，所以当时，，
所以
.
故选：D．
7． (2023·全国·高三专题练习（理））若函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以关于对称，所以将向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数，该函数的对称中心为，故为奇函数，
故选：D
8． (2023·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数，则下列函数图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数，定义域为，则，
故函数为偶函数，则关于轴对称，
因此函数为函数向右平移一个单位得到，故函数关于对称，
且函数关于直线对称，因此函数关于点对称，
故选：C．
9 (2023·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】，
【解析】构造函数，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．
不等式 等价于，
等价于
结合单调递增可知，
所以不等式的解集是，．故答案为：，．
题组三 Mm函数求值
1． (2023宁波）已知函数的最大值为，最小值为，则
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】，
令，则，即为奇函数，图象关于原点对称，
，，，且，
，则．故选：．
2． (2023 •合肥）已知，设函数，，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为
A．4与3B．3与1C．5和2D．7与4
【答案】B
【解析】令，，，由，得为奇函数，
设的最大值为，则最小值为，，，可得，
，为偶数，即为偶数，综合选项可知，和的值可能为3和1．故选：．
3． (2023•温州）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．2025B．2022C．2020D．2019
【答案】B
【解析】，在定义域内单调递增，
，，
即（a），，
故选：．
4． (2023•郫都）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．2020B．2019C．4040D．4039
【答案】D
【解析】函数．
令，．
由于在，时单调递减函数；（a）
函数的最大值为；
最小值为（a）；那么；故选：．
5． (2023•湖南）已知函数在，上的最大值为，最小值为，则
A．4B．2C．1D．0
【答案】A
【解析】
令，
而，，
则关于中心对称，则在，上关于中心对称．．故选：．
6． (2023•广西）已知函数，，，的最大值为，最小值为，则
A．4B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，，，所以，令，，，，或，或，或，
，，，和，，，单调递增，
，和，，，单调递减，
所以，，的最大值为，最小值为，
，，，
，，中最大值及最小值，所以，，所以，故选：．
7． (2023•吉安）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】易知函数在，上单调，且
，
．
故选：．
8． (2023•云南）设函数的最大值为，最小值为，则
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【解析】，且，
所以关于点中心对称．所以最大值和最小值的和．故选：．
9． (2023•广州）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【解析】设，因为奇函数，
所以，所以，所以．
故选：．
10． (2023•上海）设函数，，的最大值为，最小值为，那么 4040 ．
【答案】4040
【解析】令，则
，
故函数为定义域上的奇函数，，即，
．故答案为：4040．
题组四 函数性质的综合运用
1． (2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数B．的图象关于直线对称
C．是奇函数D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，故选：C.
2． (2023·云南德宏）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，为奇函数，
所以，.
所以，，所以.
令，则.
令上式中t取t-4，则，所以.
令t取t+4，则，所以.
所以为周期为8的周期函数.
因为为奇函数，所以，
令，得：，所以，所以，即为，所以.
记，所以.
因为，所以，所以在R上单调递减.
不等式可化为，即为.所以.故选：C
3． (2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．有2个零点D．是偶函数
【答案】B
【解析】显然，的定义域为，的定义域为，且，
记，则有，
故是奇函数，选项D错误.
又
故的图象关于点对称，选项B正确，选项A错误；
令，则有，即或，
解得或，即，或，
故有3个零点，选项C错误.故选：B
4． (2023·全国·高三专题练习（文））函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以函数关于点对称，
因为，即，所以函数关于直线对称，
因为当时，，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数为周期函数，周期为，
由于函数一个周期内，与有2个交点，
在上，与有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.
所以关于x的方程在上的解的个数是个.
故选：B
5． (2023·宁夏·银川一中一模（理））已知函数，下列说法中正确的个数是（ ）
①函数的图象关于点对称；
②函数有三个零点；
③是函数的极值点；
④不等式的解集是.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】，
令，则，
所以函数是奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，故①正确：
又因为，
所以在R上单调递减，所以在R上单调递减，
所以只有一个零点且无极值点，故②③错误；
由得，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以，故④正确：综上所述，正确的个数是2个.
故选：B
6． (2023·天津南开·高三期末）函数的所有零点之和为（ ）.
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【解析】记，，而
，
，于是这两个函数都关于对称，在同一坐标系下画出它们图像如下，可知它们有8个交点，这8个交点可以分成4组，每一组的两个点都关于对称，这样的两个点横坐标之和是3，于是这些交点的横坐标之和为.
故选：C.
7． (2023·江苏）（多选）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
【答案】BD
【解析】依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选：BD.
8． (2023·辽宁沈阳·二模）（多选）已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】方法一：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，
由题意，得，关于直线对称，
易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，
由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）
且的一个周期为4，所以，故D正确．
备注：，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
方法二：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，
又由，得，
所以，故正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，
将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故正确．
故选：BCD
9． (2023·海南·模拟预测）（多选）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
【答案】AD
【解析】
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
10． (2023·河北）（多选）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
【答案】AC
【解析】函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；
函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；
函数是周期为2的奇函数， ，故C正确；
，无法判断的值，故D错误.
故选：AC.
11． (2023·河北沧州·模拟预测）（多选）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（ ）
A．B．有3个零点
C．的对称中心是D．
【答案】ABD
【解析】由题设，，且，
所以，整理得，
故，可得，故，
又，即，A正确；有3个零点，B正确；
由，则，所以关于对称，C错误；
，D正确.
故选：ABD
12． (2023·四川省泸县）（多选）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且．则下列选项中说法不正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2C．D．是奇函数
【答案】BC
【解析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；
所以，
所以函数的周期，所以选项A正确、B错误；
，故选项C错误；
对选项D：
所以是奇函数，D正确.
故选：BC.
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