备战2024年高考数学一轮复习5.3三角函数的性质(精讲)(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学一轮复习5.3三角函数的性质(精讲)(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了伸缩平移等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 值域
【例1-1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数（）的图象向左平移个单位后关于直线对称，则函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．3
【例1-3】（2021·河南南阳·高三期末）已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【例1-4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2021·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南焦作·二模）已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函，对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，若f(x)在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点二 伸缩平移
【例2-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ）
A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cs 2x的图象，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．π
【一隅三反】
1．（2022·陕西）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（ ）
A．关于点对称B．关于对称C．关于点对称D．关于对称
2．（2022·湖北·一模）函数，先把函数的图像向左平移个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，则下列说法错误的是（ ）
A．函数是奇函数，最大值是2
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图像关于直线对称
D．π是函数的周期
3．（2022·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点三 三角函数的性质
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，以为最小正周期的函数有（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2020·河南）已知函数的图象与函数图象的对称中心完全相同，则（ ）
A．B．C．1D．2
【例3-3】（2022·四川·泸县五中二模（文））将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （ ）
A．为奇函数，在上单调递減
B．为偶函数，在上单调递增
C．周期为π，图象关于点对称
D．最大值为1，图象关于直线对称
【例3-4】（2022·山东青岛·一模）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，图象为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·北京西城·一模）将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·北京·一模）已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
(1)求的解析式；
(2)设，求函数在上的单调递增区间.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
4．（2022·浙江浙江·二模）已知函数，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的值域．
考点四 三角函数性质与其他知识的综合运用
【例4-1】（2022·江苏苏州）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（ ）
A．（0，5]B．（0，5）
C．（0，）D．（0，]
2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度得到的图像，则方程在上实数解的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为D．函数在上单调递增
5.3 三角函数的性质（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 值域
【例1-1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数（）的图象向左平移个单位后关于直线对称，则函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的图象向左平移个单位后的图象表达式为y，该函数的图象关于直线对称，所以，又所以，，
所以.
当时，，所以当，即时，的最小值为.
故选：A
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】C
【解析】，
令，所以，则，
所以，所以原函数可化为，，对称轴为，
所以当时，取得最大值，所以函数的最大值为，
即的最大值为，故选：C
【例1-3】（2021·河南南阳·高三期末）已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，则，.
，
若对任意恒成立，则，
即.故选：A.
【例1-4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，即时，函数有最小值，
令时，有，，，，
因为函数在内恰有两个最小值点，，
所以有：，故选：B
【一隅三反】
1．（2021·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
所以，且，又的值域为，
所以，即实数的取值范围为.故选：C.
2．（2022·河南焦作·二模）已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由方程，可得，所以，
当时，，
所以的可能取值为，，，，，，…，
因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，
解得，即的取值范围是.故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函，对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，若f(x)在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】f(x)=asinωx+cs(ωx-)=asinωx+csωxcs+sinωxsin=(+a)sin ωx+cs ωx=·sin(ωx+φ)，其中tan φ=.
对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，即f(x1)+f(x2)≤2，当且仅当f(x1)=f(x2)=f(x)max时取等号，故2=2，解得a=1或a=-2(舍去)，故f(x)=sin ωx+cs ωx=sin(ωx+).因为0≤x≤π，所以≤ωx+≤ωπ+.又f(x)在[0，π]上的值域为[]，所以≤ωπ+≤，解得≤ω≤.故选：B.
考点二 伸缩平移
【例2-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ）
A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】A. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A错；
B. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，B错；
C. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，C正确；
D. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，D错误；故选：C．
【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cs 2x的图象，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．π
【答案】B
【解析】将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移a(a>0)个单位长度，可得函数y=sin[2(x+a)-]=sin[2x+(2a-)]的图象，所以y=sin[2x+(2a-)]的图象与g(x)=cs 2x的图象重合.
因为g(x)=cs 2x=sin(2x+)，所以2a-=2kπ+，k∈Z，即a=kπ+，k∈Z.
当k=0时，可得amin=.故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·陕西）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（ ）
A．关于点对称B．关于对称C．关于点对称D．关于对称
【答案】A
【解析】依题意，解得，所以，将函数向左平移个单位长度得到，
因为关于坐标原点对称，所以，解得，因为，所以，所以，
因为，所以函数关于对称，又，所以函数关于对称，，所以函数关于对称；
故选：A
2．（2022·湖北·一模）函数，先把函数的图像向左平移个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，则下列说法错误的是（ ）
A．函数是奇函数，最大值是2
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图像关于直线对称
D．π是函数的周期
【答案】B
【解析】，把函数的图像向左平移个单位，得，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得，所以可知是奇函数，最大值是2，最小正周期为，当，得，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，，得，所以也是函数的对称轴，所以错误的选项为B.故选：B.
3．（2022·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的图象向左平移个单位长度得的图象,
向右平移（）个单位长度得的图象,
由题意得 （）所以（） 又 ,故的最小值为, 故选：A
考点三 三角函数的性质
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，以为最小正周期的函数有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】，其最小正周期为，
的最小正周期为，所以的最小正周期为，
的最小正周期为，所以的最小正周期为，
的最小正周期为故选：BD
【例3-2】（2020·河南）已知函数的图象与函数图象的对称中心完全相同，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由已知，令，解得，
所以的对称中心为，又的对称中心为，所以.故选：C
【例3-3】（2022·四川·泸县五中二模（文））将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （ ）
A．为奇函数，在上单调递減
B．为偶函数，在上单调递增
C．周期为π，图象关于点对称
D．最大值为1，图象关于直线对称
【答案】D
【解析】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象.
为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确；
，，，，函数不单调，故B错误；
的周期为，当时，，故C错误；
g（x）最大值为1，当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，
故选：D．
【例3-4】（2022·山东青岛·一模）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，
得到函数，
故，所以，
由于，所以.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，图象为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A.因为，
所以是偶函数，函数图象关于y轴对称，故正确；
B.因为的对称轴方程为：，
的对称轴方程为：，
又，
所以图象不是轴对称图形，故错误；
C.将向左平移个单位可得，
因为，
所以是偶函数，所以是轴对称图形，故正确；
D. 因为的对称轴方程为：，的对称轴方程为：，
又，所以图象不是轴对称图形，故错误；
故选：AC
2．（2022·北京西城·一模）将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数的图象向右平移个单位，可得，
又由函数的图象向左平移个单位，可得，
因为函数关于原点对称，可得，
解得，即
又因为的图象关于轴对称，可得，
解得，则，即，
因为，可得.故选：D.
3．（2022·北京·一模）已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
(1)求的解析式；
(2)设，求函数在上的单调递增区间.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选择①④或③④均可得到(2)和
【解析】(1)因为，所以，
显然当时为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即最大值为，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；
若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，所以，又的最大值为，所以，解得，所以；
(2)由（1）可得
令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，又，所以在上的单调递增区间有和；
4．（2022·浙江浙江·二模）已知函数，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由由
得所以函数的单调递增区间为：
(2)由，则
所以


由，则
所以函数的值域为
考点四 三角函数性质与其他知识的综合运用
【例4-1】（2022·江苏苏州）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为在有2个极值点，也即在区间取得一次最大值，一次最小值；
又，则当，，要使得满足题意，只需，解得.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（ ）
A．（0，5]B．（0，5）
C．（0，）D．（0，]
【答案】A
【解析】由已知条件得，
∵函数在区间上无极值，
∴函数在区间上单调，
∴或在区间上恒成立，
当时，，
∵，∴，在此范围内不成立；
当时，，
∵，∴，即，解得，则的取值范围是，故选：.
2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度得到的图像，则方程在上实数解的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】根据函数，，，的部分图象，
可得，．所以，
结合五点法作图，，，因为，，故．
再把点代入，可得，即，，
所以．
现将的图象向左平移个单位长度，
得到函数，
因为，即，所以或，
解得或，
因为，所以或或或或或，
故方程在上实数解的个数为个；
故选：B
3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为D．函数在上单调递增
【答案】C
【解析】∵，
∴，即，
∴，又，
∴，
∴，又将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，
∴，
∴函数的最小正周期为，故A错误；
当时，，函数的图象不关于直线对称，故B错误；
当时，，
即，故C正确；
当时，，所以函数在上有增有减，故D错误.
故选：C.