高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念学案

7.1.1　数系的扩充和复数的概念

知识点一　　　虚数单位i

在实数集R中添加新数i，规定：①i2＝－1，其中i叫做虚数单位；②i可与实数进行四则运算，且原有的加法、乘法运算律仍然成立．

知识点二　　　复数的相关概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}叫做复数集．

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．

知识点三　　　复数的分类

对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当且仅当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．

可以通过下图表示：

(1)复数a＋bi(a，b∈R)

(2)集合表示

知识点四　　　复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.

1．复数相等的充要条件

(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．

(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．

2．一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．当两个复数都是实数时，就可以比较大小．当两个复数不都是实数时，不能比较大小．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)

(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．(　　)

(3)bi是纯虚数．(　　)

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．做一做

(1)若a＋bi＝0，则实数a＝________，实数b＝________.

(2)(1＋)i的实部与虚部分别是________．

(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.

答案　(1)0　0　(2)0,1＋　(3)±1

题型一  复数的有关概念

例1　给出下列四个命题：

①两个复数不能比较大小；

②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．

其中真命题的个数是________．

[解析]　①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；

②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；

③若a＝0，则ai不是纯虚数；

④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．

[答案]　0

数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立．

下列命题中：

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；

③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；

④两个虚数不能比较大小．

其中，正确命题的序号是(　　)

A．①   B．② 

C．③   D．④

答案　D

解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立，故③错误；④正确.

题型二  复数的分类

例2　当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

[解]　(1)当

即m＝2时，复数z是实数．

(2)当m2－2m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．

(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．

[条件探究]　是否存在实数m，使z＝(m2－2m)＋i是纯虚数？

解　由z＝(m2－2m)＋i是纯虚数，

得解得m∈∅.

即不存在实数m，使z＝(m2－2m)＋i是纯虚数．

　利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤

(1)判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为哪些；

(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；

(3)解相应的方程(组)或不等式(组)；

(4)求出参数的值或取值范围．

已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，

(1)z为实数？

(2)z为虚数？

(3)z为纯虚数？

解　(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.

(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.

(3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.

题型三  复数相等

例3　已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．

[解]　∵M∪P＝P，∴M⊆P，

即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.

由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，

得解得m＝1.

由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，

得解得m＝2.

∴实数m的值为1或2.

复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．

已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．

解　由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，

∴解得∴a＝－1.

故实数a的值为－1.

1．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的(　　)

A．必要不充分条件   B．充分不必要条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．

2．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　)

A．3－3i   B．3＋i

C．－＋i   D．＋i

答案　A

解析　3i－的虚部为3,3i2＋i的实部为－3，所以所求复数为3－3i.

3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．

答案　a＝±，b＝5

解析　由题意得，a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.

4．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．

答案　3

解析　依题意有解得m＝3.

5．如果log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，求自然数m，n的值．

解　∵log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，

∴

∴

∵m，n∈N，∴m＝0，n＝1或n＝2.