2024年高考数学第一轮复习专题3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用（原卷版）

3.3   导数在函数最值及生活实际中的应用

思维导图

知识点总结

导数与不等式

构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：

(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln (x＋1)≤x(x＞－1)；

(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；

(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．

零点与隐零点问题

1．已知函数有零点求参数范围常用的方法

(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．

2．隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”)

对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧．

典型例题分析

考向一 移项作差构造函数证明不等式

例1　(2021·南昌调研)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．

(1)求a，b的值；

(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

 若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明不等式．

考向二   单变量不等式恒成立或存在性问题

例2　已知函数f(x)＝.

(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．

(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．

(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．

考向三 　构造双函数

例3　已知两函数f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若∀x1∈[－3，3]，∃x2∈[－3，3]，恒有f(x1)>g(x2)成立，求m的取值范围．

常见的双变量不等式恒成立问题的类型

(1)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)max.

(2)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min.

(3)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)min.

(4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max.

(5)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)min.

(6)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max.

考向四 判断函数零点(方程根)的个数

例4　已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R).

(1)当a＝0时，求证：f(x)>x；(2)讨论函数f(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．

利用导数确定含参函数零点或方程根的个数的常用方法

(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化成确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．

(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

考向五 　　已知函数零点个数求参数问题

例5　函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个零点，求实数m的取值范围．

利用函数零点求参数范围的方法

(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．

(2)利用零点存在定理构建不等式求解．

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解(客观题常用).

考向六　　可转化为函数零点个数的问题

例6　已知直线l：y＝x＋1，函数f(x)＝aex.

(1)当a＝1，x＞0时，证明：曲线y＝f(x)－x2在直线l的上方；

(2)若直线l与曲线y＝f(x)有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

处理函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点问题的常用方法

(1)数形结合，即分别作出两函数的图象，观察交点情况．

(2)将函数交点问题转化为方程f(x)＝g(x)根的个数问题，通过构造函数y＝f(x)－g(x)，利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况．

考向七　　与函数零点有关的证明问题

例7　已知函数f(x)＝ln ＋a2x2－ax.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a＝0且x∈(0，1)，求证：f(x)<ex.

处理函数隐性零点的三个步骤

(1)确定零点的存在范围(可以由零点存在定理确定，也可以由函数的图象特征得到)；

(2)根据零点的意义进行代数式的替换，替换过程中，尽可能将复杂目标式变形为常见的整式或分式，尽可能将指、对数函数式用有理式替换；

(3)结合前两步，确定目标式的范围．

基础题型训练

一、单选题

1．若，则                    (　  　)

A． B．

C． D．

2．若函数的导函数为，且，则在上的单调增区间为

A． B． C．和 D．和

3．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

4．已知在区间内任取两个不相等的实数，不等式恒成立,则实数的取值范围为                                  

A． B． C． D．

5．已知函数，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为.已知二元函数，，则（    ）

A． B．关于t的函数

C．的最小值为 D．关于t的函数有极小值

三、填空题

9．函数的导函数f ¢（x）= __________．

10．某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为__________．

11．若对任意，不等式恒成立，则实数取值的集合为__________.

12．已知函数，下列说法正确的是___________.

①的图像关于点对称

②的图象与有无数个交点

③的图象与只有一个交点

④

四、解答题

13．要使函数y=1+2x+4xa在x∈（﹣∞，﹣1]时，y＞0恒成立，求实数a的取值范围．

14．已知函数（为常数）

1）讨论函数的单调性；

2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

15．已知函数.

(1)当时，求在上的最值；

(2)曲线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.

16．已知函数.

(1)求的最小值；

(2)若，证明：.

提升题型训练

一、单选题

1．已知函数的导函数的图象如图所示，，令，则不等式的解集是

A． B．

C． D．[-1，2]

2．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

3．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数与，设，，若存在，，使得，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

5．设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．已知函数在上恒不大于0，则的最大值为（　　）

A． B． C．0 D．1

二、多选题

7．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种近似求方程根的方法—牛顿迭代法.做法如下：如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（    ）

A．若取初始近似值为1，则该方程解得二次近似值为

B．若取初始近似值为2，则该方程近似解的二次近似值为

C．

D．

8．已知函数，则（    ）．

A． B．若有两个不相等的实根，则

C． D．若，均为正数，则

三、填空题

9．已知e为自然对数的底数，则曲线e在点处的切线斜率为________．

10．当时，不等式恒成立，则a的取值范围是________

11．用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是________．

12．对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数

的零点，且有如下零点存在定理：如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点．给出下列命题：

①若函数 在 上是单调函数，则 在 上有且仅有一个零点；

②函数 有3个零点；

③函数 和 的图像的交点有且只有一个；

④设函数 对 都满足 ，且函数 恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；

其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)

四、解答题

13．设函数，其中，是实数．已知曲线与轴相切于坐标原点．

（1）求常数的值；

（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：．

14．已知函数有极小值．

（1）求实数的值；

（2）设函数．证明：当时，．

15．已知函数，曲线在处的切线斜率为.

（1）求证：函数在区间上没有零点；

（2）当时，求证：.

16．形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知

，.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)若，恒成立，求的取值范围.