2024年高考数学第一轮复习专题5.1 平面向量的概念及其线性运算（原卷版）

5.1  平面向量的概念及其线性运算

思维导图

知识点总结

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作    |.

(2)零向量：      的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于   长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量    .

(5)相等向量：长度   且方向   的向量.

(6)相反向量：长度     且方向   的向量.

2.向量的线性运算

3.共线向量定理

设a为非零向量，如果有一个实数λ，使     ，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.

[常用结论]

1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).

2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

典型例题分析

考向一 　平面向量的有关概念

例1.  设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)

A.a＝－b  B.a∥b

C.a＝2b  D.a∥b且|a|＝|b|

感悟提升　平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.

考向二 向量的线性运算

角度1　平面向量加、减运算的几何意义

例2 (2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则＝(　　)

A.－＋  B.－＋

C.－＋  D.－＋

角度2　向量的线性运算

例3 在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则等于(　　)

A.a＋b  B.a＋b

C.a－b  D.a－b

角度3　利用向量的线性运算求参数

例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若＝λ＋μ，则λ－μ＝________.

感悟提升　平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

考向三 共线向量定理的应用

例5 (1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则(　　)

A.A，B，D三点共线  B.A，B，C三点共线

C.B，C，D三点共线  D.A，C，D三点共线

(2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则＋的值为(　　)

A.3  B.4 

C.5  D.6

感悟提升　利用共线向量定理解题的策略

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线.

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.

考向四  等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.

(2)平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.

例 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.

基础题型训练

一、单选题

1．下面给出的关系式中正确的个数是（     ）

①；②；③；④；⑤

A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列结论中，正确的是（    ）

A．2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量

B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得是单位向量

C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量

D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移

3．若＝(1，1)，＝2，且，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

4．若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（      ）

A． B．

C． D．

6．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（    ）

A． B．

C． D．以上都不对

二、多选题

7．若是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C．与的夹角为 D．

8．对于两个向量和，下列命题中错误的是（    ）

A．若，满足，且与同向，则 B．

C． D．

三、填空题

9．若向量，满足，，，则与的夹角为_________.

10．在中，、、分别是角A、、的对边，，，，，则___________.

11．在中，，且，则的最小值是___________.

12．已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______.

四、解答题

13．运用数量积知识证明下列几何命题：

(1)在中，，则；

(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.

14．如图所示，中，，边上的中线交于点，设，用向量表示.

15．已知，且与的夹角为，又，，

(1)求在方向上的投影；

(2)求．

16．平面内给定三个向量，且．

(1)求实数k关于n的表达式；

(2)如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值．

提升题型训练

一、单选题

1．已知是互相垂直的单位向量，若，则（    ）

A． B． C．0 D．2

2．如图，四边形中，，则相等的向量是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

3．下列命题正确的是

A．

B．

C．

D．

4．对于非零向量，，定义．若，则

（    ）

A． B． C． D．

5．设向量，满足，，，则的取值范围是（    ）

A． [，＋∞) B． [，＋∞)

C．[，6] D．[，6]

6．已知，，则的最大值等于（    ）

A．4 B． C． D．5

二、多选题

7．有如下命题，其中真命题为（    ）

A．若幂函数的图象过点，则

B．函数（且）的图象恒过定点

C．函数在上单调递减

D．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是．

8．下列命题中假命题的是（    ）

A．向量与向量共线，则存在实数使

B．，为单位向量，其夹角为θ，若，则

C．若，则

D．已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.

三、填空题

9．下列向量中，与一定共线的有_______．（填序号）

①，；

②；；

③，；

④，．

10．已知向量，满足，，且，则与的夹角为______.

11．已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_____.

12．已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，则__．

四、解答题

13．如图，网格小正方形的边长均为1，求.

14．如图，按下列要求作答．

(1)以A为始点，作出；

(2)以B为始点，作出；

(3)若为单位向量，求、和．

15．已知，，．

（1）求向量与的夹角；

（2）求

16．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设.

(1)计算的大小；

(2)是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在请说明理由．