高考数学导数冲满分-专题09 函数的最值

这是一份高考数学导数冲满分-专题09 函数的最值，文件包含专题09函数的最值原卷版docx、专题09函数的最值解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
【方法总结】
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
【例题选讲】
[例1](1)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．
答案 －1 解析 f′(x)＝eq \f(1,x)－1，令f′(x)＝0得x＝1．当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0．∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＝－1．
(2)函数f(x)＝eq \f(1,2)x2＋x－2lnx的最小值为 ．
答案 eq \f(3,2) 解析 因为f′(x)＝x＋1－eq \f(2,x)＝eq \f((x＋2)(x－1),x)(x＞0)，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)．
(3)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－eq \f(2,3)，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为 ．
答案 －2e 解析 由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，∵f′(x)为偶函数，∴m＝0，故 f(x)＝eq \f(1,3)x3＋nx＋2，∵f(1)＝eq \f(1,3)＋n＋2＝－eq \f(2,3)，∴n＝－3．∴f(x)＝eq \f(1,3)x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3．故g(x)＝ex(x2－3)，则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)·(x＋3)，据此可知函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)＝e1·(12－3)＝－2e．
(4)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．
答案 －eq \f(3\r(3),2) 解析 ∵f(x)的最小正周期T＝2π，∴求f(x)的最小值相当于求f(x)在[0，2π]上的最小值．f′(x)＝2csx＋2cs2x＝2csx＋2(2cs2x－1)＝4cs2x＋2csx－2＝2(2csx－1)(csx＋1)．令f′(x)＝0，解得csx＝eq \f(1,2)或csx＝－1，x∈[0，2π]．∴由csx＝－1，得x＝π；由csx＝eq \f(1,2)，得x＝eq \f(5,3)π或x＝eq \f(π,3)．∵函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f(π)＝2sinπ＋sin2π＝0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝2sineq \f(π,3)＋sineq \f(2π,3)＝eq \f(3\r(3),2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π))＝－eq \f(3\r(3),2)，f(0)＝0，f(2π)＝0，∴f(x)的最小值为－eq \f(3\r(3),2)．
(5)设正实数x，则f(x)＝eq \f(ln2 x,xln x)的值域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e))) 解析 令ln x＝t，则x＝et，∴g(t)＝eq \f(t2,et2)，令t2＝m，m≥0，∴h(m)＝eq \f(m,em)，∴h′(m)＝eq \f(em(1－m),e2m)，令h′(m)＝0，解得m＝1，当0≤m0，函数h(m)单调递增，当m≥1时，h′(m)0．令h(x)＝x－eln x＋1(x>0)，则h′(x)＝1－eq \f(e,x)＝eq \f(x－e,x)．当x>e时，h′(x)>0，当0