专题3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练

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知识点总结
导数与不等式
构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)， eq \f(x,x＋1)≤ln (x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．
零点与隐零点问题
1．已知函数有零点求参数范围常用的方法
(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
2．隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”)
对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧．
典型例题分析
考向一 移项作差构造函数证明不等式
例1 (2021·南昌调研)已知函数f(x)＝1－ eq \f(ln x,x)，g(x)＝ eq \f(ae,ex)＋ eq \f(1,x)－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥ eq \f(2,x).
若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明不等式．
考向二 单变量不等式恒成立或存在性问题
例2 已知函数f(x)＝ eq \f(1＋ln x,x).
(1)若函数f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a＋\f(1,2)))上存在极值，求正实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥ eq \f(k,x＋1)恒成立，求实数k的取值范围．
(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．
(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．
考向三 构造双函数
例3 已知两函数f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若∀x1∈[－3，3]，∃x2∈[－3，3]，恒有f(x1)>g(x2)成立，求m的取值范围．
常见的双变量不等式恒成立问题的类型
(1)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)max.
(2)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min.
(3)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)min.
(4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max.
(5)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)min.
(6)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max.
考向四 判断函数零点(方程根)的个数
例4 已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R).
(1)当a＝0时，求证：f(x)>x；
(2)讨论函数f(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．
利用导数确定含参函数零点或方程根的个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化成确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
考向五 已知函数零点个数求参数问题
例5 函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个零点，求实数m的取值范围．
利用函数零点求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．
(2)利用零点存在定理构建不等式求解．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解(客观题常用).
考向六 可转化为函数零点个数的问题
例6 已知直线l：y＝x＋1，函数f(x)＝aex.
(1)当a＝1，x＞0时，证明：曲线y＝f(x)－ eq \f(1,2)x2在直线l的上方；
(2)若直线l与曲线y＝f(x)有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
处理函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点问题的常用方法
(1)数形结合，即分别作出两函数的图象，观察交点情况．
(2)将函数交点问题转化为方程f(x)＝g(x)根的个数问题，通过构造函数y＝f(x)－g(x)，利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况．
考向七 与函数零点有关的证明问题
例7 已知函数f(x)＝ln eq \f(e,x)＋a2x2－ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a＝0且x∈(0，1)，求证：f(x)< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)－x2))ex.
处理函数隐性零点的三个步骤
(1)确定零点的存在范围(可以由零点存在定理确定，也可以由函数的图象特征得到)；
(2)根据零点的意义进行代数式的替换，替换过程中，尽可能将复杂目标式变形为常见的整式或分式，尽可能将指、对数函数式用有理式替换；
(3)结合前两步，确定目标式的范围．
基础题型训练
一、单选题
1．若，则 ( )
A．B．
C．D．
2．若函数的导函数为，且，则在上的单调增区间为
A．B．C．和D．和
3．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
4．已知在区间内任取两个不相等的实数，不等式恒成立,则实数的取值范围为
A．B．C．D．
5．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为.已知二元函数，，则（ ）
A．B．关于t的函数
C．的最小值为D．关于t的函数有极小值
三、填空题
9．函数的导函数f ¢（x）= __________．
10．某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为__________．
11．若对任意，不等式恒成立，则实数取值的集合为__________.
12．已知函数，下列说法正确的是___________.
①的图像关于点对称
②的图象与有无数个交点
③的图象与只有一个交点
④
四、解答题
13．要使函数y=1+2x+4xa在x∈（﹣∞，﹣1]时，y＞0恒成立，求实数a的取值范围．
14．已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
15．已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)曲线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
16．已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若，证明：.
提升题型训练
一、单选题
1．已知函数的导函数的图象如图所示，，令，则不等式的解集是
A．B．
C．D．[-1，2]
2．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数与，设，，若存在，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．已知函数在上恒不大于0，则的最大值为（ ）
A．B．C．0D．1
二、多选题
7．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种近似求方程根的方法—牛顿迭代法.做法如下：如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（ ）
A．若取初始近似值为1，则该方程解得二次近似值为
B．若取初始近似值为2，则该方程近似解的二次近似值为
C．
D．
8．已知函数，则（ ）．
A．B．若有两个不相等的实根，则
C．D．若，均为正数，则
三、填空题
9．已知e为自然对数的底数，则曲线e在点处的切线斜率为________．
10．当时，不等式恒成立，则a的取值范围是________
11．用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是________．
12．对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点，且有如下零点存在定理：如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点．给出下列命题：
①若函数 在 上是单调函数，则 在 上有且仅有一个零点；
②函数 有3个零点；
③函数 和 的图像的交点有且只有一个；
④设函数 对 都满足 ，且函数 恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；
其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)
四、解答题
13．设函数，其中，是实数．已知曲线与轴相切于坐标原点．
（1）求常数的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：．
14．已知函数有极小值．
（1）求实数的值；
（2）设函数．证明：当时，．
15．已知函数，曲线在处的切线斜率为.
（1）求证：函数在区间上没有零点；
（2）当时，求证：.
16．形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，恒成立，求的取值范围.