第三章《不等式》同步练习高中数学苏教版（2019）必修第一册

这是一份第三章《不等式》同步练习高中数学苏教版（2019）必修第一册，共14页。
专题练习《不等式》
一．选择题（共12小题）
1．已知p＝a+，q＝﹣b2﹣2b+3（b∈R），则p，q的大小关系为（　　）
A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q
2．关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞6} B．{x|﹣1＜x＜6}
C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜3}
3．已知不等式x2+px+q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式＞0的解集为（　　）
A．（1，2） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）∪（6，+∞）
C．（﹣1，1）∪（2，6） D．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）
4．设x1，x2为方程x2﹣4ax+3a＝0（a＞0）的两个根，则x1+x2+的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数过点（n，1）（m，n＞0），则的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
6．已知命题p：x＜3，q：2x2﹣3x﹣2＜0，则p是q的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知x，y∈R，则“x+y≤2”是“x≤1且y≤1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数y＝x2﹣5x﹣6在区间[2，4]上是（　　）
A．递减 B．递增
C．先递减再递增 D．先递增再递减
9．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（　　）
A．甲先到达终点 B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
10．不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣16，0） B．（﹣16，0] C．[﹣8，0] D．（﹣8，0]
11．设x＜3，则x+（　　）
A．最大值是7 B．最小值是7 C．最大值是﹣1 D．最小值是﹣1
12．设m＞1，P＝m+，Q＝5，则P，Q的大小关系为（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q
二．填空题（共4小题）
13．设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝　 　；若对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为 　 　．
14．已知命题∀x∈R，ax2﹣3ax﹣9＜0恒成立，则a的取值范围为 　 　．
15．已知x∈R，则的最小值为 　 　．
16．若正数a，b满足a+4b＝ab，则a+b的最小值是 　 　．
三．解答题（共4小题）
17．已知函数f（x）＝2mx2+（m+2）x+1．
（1）若f（x）在[1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）≤0．
18．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2）．
（1）求二次函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤tx2﹣（t+3）x+3对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．
19．（1）若命题：“∃x∈R，mx2﹣mx﹣1≥0”是假命题，求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．
20．已知命题p：∃x0∈{x|﹣1≤x≤1}，x02﹣x0﹣m≥0是假命题．
（Ⅰ）求实数m的取值集合B；
（Ⅱ）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A．若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

专题练习《不等式》
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知p＝a+，q＝﹣b2﹣2b+3（b∈R），则p，q的大小关系为（　　）
A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q
【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】利用基本不等式的性质、二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a＞2，∴p＝a+＝（a﹣2）++2+2＝4，当且仅当a＝3时取等号．
q＝﹣b2﹣2b+3＝﹣（b+1）2+4≤4，当且仅当b＝﹣1时取等号．
∴p≥q．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞6} B．{x|﹣1＜x＜6} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜3}
【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】把不等式化为（x+1）（x﹣6）＜0，求出解集即可．
【解答】解：不等式x2﹣5x﹣6＜0可化为（x+1）（x﹣6）＜0，解得﹣1＜x＜6，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜6}．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
3．已知不等式x2+px+q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式＞0的解集为（　　）
A．（1，2） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）∪（6，+∞）
C．（﹣1，1）∪（2，6） D．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）
【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】计算题．
【分析】利用同号得正，将不等式转化为两个一元二次不等式组成的不等式组，分别求出不等式组的解集，求出它们的并集即可．
【解答】解：由题意，不等式＞0等价于或
∵不等式x2+px+q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴或
∴x＜﹣1或1＜x＜2或x＞6
故选：B．
【点评】本题以一元二次不等式为载体，考查解分式不等式，考查等价转化的数学思想，解题的关键是正确解一元二次不等式．
4．设x1，x2为方程x2﹣4ax+3a＝0（a＞0）的两个根，则x1+x2+的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的性质与图象【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用韦达定理结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x1和x2为方程x2﹣4ax+3a＝0 （a＞0）的两个根，
所以x1+x2＝﹣＝4a，x1•x2＝＝3a，
所以x1+x2+＝4a+≥2＝，（a＞0），
当且仅当4a＝，即a＝时取等号，
所以x1+x2+的最小值为：．
故选：D．
【点评】本题主要考查了韦达定理和基本不等式的应用，考查了方程思想，属于基础题．
5．已知函数过点（n，1）（m，n＞0），则的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用函数过的点，推出m、n的关系，然后利用基本不等式求解最小值即可．
【解答】解：函数过点（n，1），
可得m+n﹣1＝0，
则＝（）（m+n）＝5+≥5+2＝9，
当且仅当：n＝2m＝时，取等号，
所以的最小值为9．
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质，基本不等式的应用，考查计算能力，是中档题．
6．已知命题p：x＜3，q：2x2﹣3x﹣2＜0，则p是q的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】计算题；方程思想；构造法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．
【分析】由2x2﹣3x﹣2＜0可得（2x+1）（x﹣2）＜0，即﹣＜x＜2，A＝（﹣∞，3），B＝（﹣，2），根据集合A与B之间的关系即可判断出正确选项．
【解答】解：由2x2﹣3x﹣2＜0，得（2x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣＜x＜2，
令A＝（﹣∞，3），B＝（﹣，2），则BA，
所以p是q的必要不充分条件，
故选：C．
【点评】本题考查充分、必要条件，涉及一元二次不等式的求解，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
7．已知x，y∈R，则“x+y≤2”是“x≤1且y≤1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】不等关系与不等式；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】综合题；分类讨论；综合法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】x+y≤2分为3种情况：x≤1且y≤1，x≤1且y＞1，x＞1且y≤1．依次可解决此题．
【解答】解：x+y≤2分为3种情况：x≤1且y≤1，x≤1且y＞1，x＞1且y≤1．
∴“x+y≤2”是“x≤1且y≤1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分、必要条件的判断，考查数学推理能力，属于基础题．
8．函数y＝x2﹣5x﹣6在区间[2，4]上是（　　）
A．递减 B．递增
C．先递减再递增 D．先递增再递减
【考点】二次函数的性质与图象．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】求解二次函数的对称轴，判断对称性与区间的关系，然后判断函数的单调性即可
【解答】解：函数y＝x2﹣5x﹣6的对称轴为x＝，
因为[2，4]，二次函数的开口向上，所以函数是先递减再递增，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的单调性的应用，二次函数的性质的应用，是基础题．
9．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（　　）
A．甲先到达终点 B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式；数学运算．
【分析】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设全程的距离为2s，
对于甲，前半程s的时间为，后半程的时间为，则甲的时间t1＝+＝，
对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有a×+b×＝2s，
变形可得t2＝，
则有t1﹣t2＝﹣＝[（a+b）2﹣4ab]＝（a﹣b）2，
又由a≠b，则t1﹣t2＞0，
故乙先到达终点，
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意正确求出甲乙的时间，属于基础题．
10．不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣16，0） B．（﹣16，0] C．[﹣8，0] D．（﹣8，0]
【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】分类讨论；判别式法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】讨论a＝0和a≠0时，求出不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R时实数a的取值范围．
【解答】解：当a＝0时，不等式ax2+ax﹣4＜0化为﹣4＜0，对任意的x∈R恒成立，满足题意；
当a≠0时，不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，应满足，解得﹣16＜a＜0；
综上知，实数a的取值范围是（﹣16，0]．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了运算求解能力与分类讨论思想，是基础题．
11．设x＜3，则x+（　　）
A．最大值是7 B．最小值是7 C．最大值是﹣1 D．最小值是﹣1
【考点】基本不等式及其应用．【专题】函数思想；综合法；不等式．
【分析】转化为（x﹣3）++3，利用基本不等式求解即可，注意符号．
【解答】解：∵x+＝（x﹣3）++3，
x＜3，x﹣3＜0，
∴基本不等式的运用：﹣（x﹣3）﹣≥4，（x＝﹣1等号成立）
∴（x﹣3）+≤﹣4，
∴（x﹣3）++3最大值为：﹣1
故选：C．
【点评】本题分式函数的最值的求解，考查基本不等式的运用，正确转化构造不等式的条件是关键．
12．设m＞1，P＝m+，Q＝5，则P，Q的大小关系为（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q
【考点】不等式比较大小．【专题】探究型；转化思想；作差法；不等式；数学运算．
【分析】利用作差法即可判断大小．
【解答】解：P﹣Q＝m+﹣5＝＝＝，
因为m＞1，所以（m﹣3）²≥0，m﹣1＞0，
所以≥0，所以P≥Q．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式比较大小，考查作差法的应用，属于基础题．
二．填空题（共4小题）
13．设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝　2x2﹣12x+10　；若对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为 　[﹣8，+∞）　．
【考点】一元二次不等式及其应用；不等式恒成立的问题．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据不等式f（x）＜0的解集得出对应方程的解，由此求出b、c的值，即可写出函数解析式．
把问题转化为求函数在闭区间上的最值，从而求出实数t的取值范围．
【解答】解：因为不等式f（x）＜0的解集是（1，5），
所以1和5是方程2x2+bx+c＝0的解，
所以，
解得b＝﹣12，c＝10，
所以f（x）＝2x2﹣12x+10．
对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，
即t≥2x2﹣12x+8对于x∈[1，2]有解，
设g（x）＝2x2﹣12x+8，x∈[1，2]，
则g（x）在[1，2]内单调递减，最小值为g（x）min＝g（2）＝8﹣24+8＝﹣8，
所以实数t的取值范围是[﹣8，+∞）．
故答案为：2x2﹣12x+10；[﹣8，+∞）．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
14．已知命题∀x∈R，ax2﹣3ax﹣9＜0恒成立，则a的取值范围为 　（﹣4，0]　．
【考点】一元二次不等式及其应用；不等式恒成立的问题【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】分a＝0和a≠0两种情况，利用二次函数的图象与性质，列式求解即可．
【解答】解：因为∀x∈R，ax2﹣3ax﹣9＜0恒成立，
①当a＝0时，﹣9＜0恒成立，符合题意；
②当a≠0时，，解得﹣4＜a＜0．
综上所述，实数a的取值范围为（﹣4，0]．
故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
15．已知x∈R，则的最小值为 　1　．
【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】化简＝x2+1+﹣1，利用基本不等式求最小值即可．
【解答】解：＝x2+1+﹣1≥2﹣1＝1，
当且仅当x2+1＝，即x＝0时，等号成立，
故的最小值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
16．若正数a，b满足a+4b＝ab，则a+b的最小值是 　9　．
【考点】基本不等式及其应用【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由已知得＝1，而a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式可求．
【解答】解：因为正数a，b满足a+4b＝ab，
所以＝1，
所以a+b＝（a+b）（）＝5+＝9，当且仅当且a+4b＝1，即a＝6，b＝3时取等号，此时a+b取得最小值9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件．
三．解答题（共4小题）
17．已知函数f（x）＝2mx2+（m+2）x+1．
（1）若f（x）在[1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）≤0．
【考点】一元二次不等式及其应用；二次函数的性质与图象．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】（1）先考虑m＝0的情况，然后当m≠0时，利用二次函数对称轴、开口方向与函数单调性的关系，列式求解即可；
（2）利用一元二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：（1）当m＝0时，f（x）＝2x+1，则f（x）在[1，+∞）单调递增，符合题意；
当m≠0时，函数f（x）的对称轴为，
因为f（x）在[1，+∞）单调递增，
所以，解得m＞0．
综上所述，实数m的取值范围为[0，+∞）；
（2）当m＝0时，f（x）＝2x+1≤0，解得x≤；
当m＞0时，f（x）＝2mx2+（m+2）x+1≤0，即（mx+1）（2x+1）≤0，
若＜，即0＜m＜2时，解得≤x≤；
若≥，即m≥2时，解得≤x≤；
当m＜0时，此时＞0＞，解得x≤或x≥．
综上所述，当m＜0时，不等式的解集为{x|x≤或x≥}；
当m＝0时，不等式的解集为{x|x≤}；
当0＜m＜2时，不等式的解集为{x|≤x≤}；
当m≥2时，不等式的解集为{x|≤x≤}．
【点评】本题考查了二次函数单调性的理解与应用，含有参数的一元二次不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
18．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2）．
（1）求二次函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤tx2﹣（t+3）x+3对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】二次函数的性质与图象；函数恒成立问题．【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；数形结合法；分析法；函数的性质及应用；直观想象．
【分析】（1）利用待定系数法求a、b、c的值；（2）将不等式f（x）≤tx2﹣（t+3）x+3转化为（1﹣t）x2+tx﹣1≤0，讨论二次项系数是否为0，该题则变为二次函数的恒成立问题．
【解答】解：（1）由题知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0）和（2，0），与y轴交于点（0，2），
代入二次函数可得，解得，
∴f（x）＝x2﹣3x+2．
（2）f（x）≤tx2﹣（t+3）x+3即x2﹣3x+2﹣tx2+（t+3）x﹣3≤0⇒（1﹣t）x2+tx﹣1≤0．
令g（x）＝（1﹣t）x2+tx﹣1
若使g（x）≤0恒成立，则需：
①1﹣t＝0即t＝1时，g（x）＝x﹣1，一次函数的值域为R，∴不成立；
②1﹣t≠0时，即g（x）为二次函数，根据二次函数的恒成立问题，需满足：，
解得t＝2．
综上，实数t的取值范围是{t|t＝2}．
【点评】该题考查二次函数解析式的求法，及二次函数的图像、恒成立问题，属于中档题型．
19．（1）若命题：“∃x∈R，mx2﹣mx﹣1≥0”是假命题，求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．
【考点】一元二次不等式及其应用；存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．
（2）根据a的范围，分a＞1，a＝1，0＜a＜1三种情况分别讨论，即可得到不等式的解集．
【解答】解：（1）命题∃x∈R，mx2﹣mx﹣1≥0是假命题，
则命题∀x∈R，mx2﹣mx﹣1＜0恒成立为真命题，
①当m＝0时，﹣1＜0恒成立，
②当，解得m∈（﹣4，0），
故m的范围为（﹣4，0]．
（2）原不等式变为（ax﹣1）（x﹣1）＜0，
∵a＞0，∴（x﹣）（x﹣1）＜0，
①当a＞1，即＜1时，解得＜x＜1，
②当a＝1时，解得x∈∅，
③当0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜，
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为（1，），
当a＝1时，不等式的解集为∅，
当a＞1时，不等式的解集为（，1）．
【点评】本题考查特称命题和全称命题的转化，二次函数的性质，含有字母系数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想，属于中档题．
20．已知命题p：∃x0∈{x|﹣1≤x≤1}，x02﹣x0﹣m≥0是假命题．
（Ⅰ）求实数m的取值集合B；
（Ⅱ）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A．若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】分类讨论；转化思想；定义法；简易逻辑；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据命题p与它的否定命题一真一假，写出￢p，再求实数m的取值集合B；
（Ⅱ）根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行转化求解．
【解答】解：（Ⅰ）命题p：∃x0∈{x|﹣1≤x≤1}，x02﹣x0﹣m≥0是假命题，
所以命题￢p：∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，x2﹣x﹣m＜0是真命题．
所以m＞x2﹣x，﹣1≤x≤1时，f（x）＝x2﹣x有最大值为f（﹣1）＝2，
所以实数m的取值集合B＝{m|m＞2}；
（Ⅱ）不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0对应方程（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＝0的根为x＝3a或x＝a+2，
①若3a＞a+2，即a＞1时，A＝{x|2+a＜x＜3a}，
若x∈B是x∈A的必要不充分条件，
则x∈A是x∈B的充分不必要条件，即AB，
所以2+a≥2，解得a≥0，此时a∈（1，+∞）；
②当3a＝2+a，即a＝1时，解集A＝∅，满足AB，
③若3a＜a+2，即a＜1时，A＝{x|3a＜x＜2+a}，
若AB，
则3a≥2，得a≥，此时≤a＜1，
综上知，实数a的取值范围是[，+∞）．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，以及根据定义转化为集合关系的应用问题，是中档题．