新教材数学苏教版必修第一册第3章 3.3 3.3.2 第2课时　一元二次不等式的应用 课件

第2课时　一元二次不等式的应用

知识点1　分式不等式的解法

主导思想：化分式不等式为整式不等式

1．>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？

[提示]　等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)>1的解集为x<1．  (　　)

(2)≥0的解集与(2x－3)(x＋1)≥0有相同的解集． (　　)

(3)解不等式>2时可转化x＋2>2(2x＋1)求解． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

知识点2　与一元二次不等式相关的恒成立问题

(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件

(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法

2．x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？

[提示]　x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．

2．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围为________．

{k|－3<k≤1}　[当k＝1时，－1<0恒成立．当k≠1时，由题意知解得－3<k<1．

所以实数k的取值范围是{k|－3<k≤1}．]

知识点3　从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤

(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．

(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．

(3)解不等式(或求函数最值)．

(4)回扣实际问题．

3．用一根长为100 m的绳子，围成一个一边长为x米，面积大于600 m2的矩形，则x的取值范围为________．

(20,30)　[设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，且0<x<50．

由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)>600，

即x2－50x＋600<0，

解得20<x<30．

所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．]

类型1　分式不等式的解法

【例1】　解下列不等式：

(1)<0；

(2)≥1．

[解]　(1)不等式<0可转化为(2x＋1)(x－3)<0，即－<x<3．

∴原不等式的解集为．

(2)原不等式可化为－1≥0即≥0．

不等式等价于，解得≤x<3．

∴原不等式的解集为．

1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

1．解下列不等式：

(1)≤0；

(2)>1．

[解]　(1)由≤0知，

解得x≥1或x<－，

即原不等式的解集为．

(2)不等式>1可化为－1>0，即<0，

∴(6x－4)(4x－3)<0，∴<x<，

∴原不等式的解集为．

类型2　一元二次不等式的应用

【例2】　国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．

[思路点拨]　将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%．

[解]　设税率调低后“税收总收入”为y元．

y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%

＝－m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．

依题意，得y≥2 400m×8%×78%，

即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，

整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2．

根据x的实际意义，知0<x≤8，所以x的范围为(0,2]．

解不等式应用题的步骤

2．国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的销售量减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？

[解]　设产销量每年为x万瓶，则销售收入为每年70x万元，

从中征收的附加税为70x·R%万元，其中x＝100－10R．

由题意得70(100－10R)·R%≥112，

整理，得R2－10R＋16≤0．

∵Δ＝36>0，∴方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为R1＝2，R2＝8．

由二次函数y＝R2－10R＋16的图象可得不等式的解集为{R|2≤R≤8)．

所以，当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元．

类型3　不等式恒成立问题

【例3】　若函数y＝x2－ax－3在x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3<0恒成立．求a的取值范围．

结合图象说明对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3<0的意义是什么？

[提示]　当x∈[－3，－1]时函数图象在x轴下方.

[解]　要使x2－ax－3<0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由函数y＝x2－ax－3的图象可知，此时a应满足

即

解得a<－2．

故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3<0在x∈[－3，－1]时恒成立．

[母题探究]

若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？

[解]　由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数y＝f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝g(a)＝2x·a＋x2－4x＋4．

要使对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立，只需满足

即

因为x2－2x＋4<0的解集是空集，

所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立．

1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；

当a≠0时，

2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；

当a≠0时，

3．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)对任意x∈恒成立⇔

4．ax2＋bx＋c＞0(a＜0)对任意x∈恒成立⇔

5．y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M)，

y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m)．

3．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．

[解]　当a－2＝0即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立．

当a－2≠0时，则a满足，解得－2<a<2．

综上所述，a的范围是－2<a≤2．

1．不等式≤0的解集为(　　)

A．(－∞，－1)∪(－1,2)　　 

B．[－1,2]

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 

D．(－1,2]

D　[不等式可化为，解得－1<x≤2．]

2．已知x＝2是不等式m2x2＋(1－m2)x－4m≤0的解，则m的值为(　　)

A．1　　 　　B．　　 　　C．　　 　　D．4

A　[由题意知4m2＋(1－m2)·2－4m≤0，∴m2－2m＋1≤0．即(m－1)2≤0，∴m＝1．]

3．(多选题)对于x∈R，式子恒有意义，则常数m的值可能为(　　)

A．0     B．2   

C．3     D．4

ABC　[m＝0时，mx2＋mx＋1＝1满足题目要求，m≠0时，mx2＋mx＋1>0恒成立，需，解得0<m<4．综上0≤m<4．故ABC正确．]

4．不等式<0的解集为________．

{x|－2<x<3且x≠－1}　[不等式可化为(x＋2)(x－3)<0且x＋1≠0，解得－2<x<3且x≠－1．]

5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．

150　[y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，

所以x2＋50x－30 000≥0，得x≤－200(舍去)或x≥150，

又因为0<x<240，x∈N，所以150≤x<240，x∈N．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．怎样解分式不等式？

[提示]　等价变形为一边为零的形式，然后化归为一元二次不等式(组)求解．

2．怎样求函数ax2＋bx＋c>0在集合A中恒成立问题？

[提示]　集合A是不等式ax2＋bx＋c>0的解集的子集，可以先求解集．由子集的含义求解参数的取值(范围)．

3．解一元二次不等式应用题的关键是什么？

[提示]　关键在于构造一元二次不等式模型，列出不等关系．