备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题38-阿基米德三角形

2024高考数学二轮复习

重难点专题38

阿基米德三角形

【方法技巧与总结】

如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．

1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．

2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．

3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．

4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．

5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．

6、点的坐标为；

7、底边所在的直线方程为

8、的面积为．

9、若点的坐标为，则底边的直线方程为．

10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.

11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．

12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．

图1

【题型归纳目录】

题型一：定点问题

题型二：交点的轨迹问题

题型三：切线垂直问题

题型四：面积问题

题型五：外接圆问题

题型六：最值问题

题型七：角度相等问题

【典例例题】

题型一：定点问题

例1．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．

（1）证明：轴；

（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

【解析】解：（1）证明：设切点为，，，，

即的导数为，

所以切线的斜率为，切线的方程为，

设，则有，

化简可得，

同理可得，

所以，是方程的两根，

所以，，

，

所以轴；

（2）因为，

所以，

因为，

所以直线的方程为，

即，

所以直线恒过定点．

题型二：交点的轨迹问题

例2．已知抛物线．的焦点为，直线与轴相交于点，与曲线相交于点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，求证点的纵坐标为定值．

【解析】解：（1）由已知抛物线的焦点，

由，得，即，

点，

所以，

所以抛物线方程：．

（2）抛物线的焦点为，

设过抛物线的焦点的直线为．

设直线与抛物线的交点分别为，，，，

由，消去得：，根据韦达定理，得，

抛物线，即二次函数，对函数求导数，得，

所以抛物线在点处的切线斜率为，

可得切线方程为，化简得，

同理，得到抛物线在点处切线方程为，

两方程消去，得两切线交点纵坐标满足，

，，即点的纵坐标是定值．

题型三：切线垂直问题

例3．已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点．

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；

（Ⅱ）设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

【解析】解：（Ⅰ）设椭圆和抛物线的方程分别为，，，

椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，

，解得，，，，

椭圆的方程为，抛物线的方程为．

（Ⅱ）证明：设，过点与抛物线相切的直线方程为，

由，得，

由△，得，

直线，的斜率分别为，，．

为定值．

题型四：面积问题

例4．如图，已知抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，，且直线交线段于点．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）（ⅰ）求证：为定值；

（ⅱ）设，的面积分别为，，求的最小值．

【解析】解：（Ⅰ）抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，

由抛物线定义得，解得，

抛物线的方程为．

（Ⅱ）证明：设直线，

由，得，

△，解得，

代入方程，得，

设，，则，，

设，，设直线，

则由，得，

由△，可得，解得，或（舍，

，，，

由，得，

为定值．

由得，，

，，

，，

，

，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

（1），的最小值为6．

题型五：外接圆问题

例5．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．

（1）判断点是否在直线上？说明理由；

（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．

【解析】解：（1）由抛物线的方程可得顶点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，

联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，△，即，

，，，，

因为，，，

而，所以，解得，满足判别式大于0，

即直线方程为，所以恒过

可得点在直线上．

（2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点，

设线段的中点为，线段的中点为，

因为，设，，，

所以，，，，，，

所以线段的中垂线的方程为：，

因为在抛物线上，所以，

的中垂线的方程为：，即，

同理可得线段的中垂线的方程为：，

联立两个方程，解得，

由（1）可得，，

所以，，

即点，所以，

即点的轨迹方程为：．

题型六：最值问题

例6．如图，已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于，．

（1）求证：直线过定点，并求出该定点；

（2）设直线与轴相交于点，记，两点到直线的距离分别为，；求当取最大值时的面积．

【解析】解：（1）证明：设过点与抛物线相切的直线方程为：，

由，

因为相切，所以，

设，是该方程的两根，

由韦达定理得：，

，分别表示切线，斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，

所以切点

所以直线为：，

直线方程为：，

所以过定点．

（2）方法一

由（1）知，

由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，

即：，，分居直线两侧，，

，

当且仅当，

又由，令得：，

；

方法二：

因为，

由（1）知点坐标为，，

又由（1）知直线方程为：，

，

当且仅当取到等号，

又由，令得：，．

题型七：角度相等问题

例7．如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线分别相切于、两点．（1）求的重心的轨迹方程；

（2）证明．

【解析】解：（1）设切点、坐标分别为，和，、，

切线的斜率为，用点斜式求得它的方程为：；

同理求得切线的方程为：．

解得点的坐标为：，．

所以的重心的坐标为，，

所以．

由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为：，即．

（2）方法1：因为，，，，，．

由于点在抛物线外，则．

，

同理有，

．

方法2：①当时，由于，不妨设，则，所以点坐标为，，

则点到直线的距离为：．

而直线的方程：，即．

所以点到直线的距离为：

所以，即得．

②当时，直线的方程：，即，

直线的方程：，即，

所以点到直线的距离为：，

同理可得到点到直线的距离，因此由，可得到．